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    由三角范疇的Recollement構(gòu)造其心范疇的Recollement

    2015-05-25 02:26:28許燕青
    關(guān)鍵詞:福建廈門廈門大學(xué)范疇

    許燕青

    (廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005)

    由三角范疇的Recollement構(gòu)造其心范疇的Recollement

    許燕青

    (廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005)

    Nakaoka利用三角范疇上的余繞對(duì)構(gòu)造出了Abel范疇,這推廣了t-結(jié)構(gòu)的心范疇以及關(guān)于cluster傾斜子范疇的商范疇的兩種情形.之后,Nakaoka又將此結(jié)果推廣至更一般的關(guān)于雙余繞對(duì)的情形.本文通過考慮雙余繞對(duì),由三角范疇的recollement構(gòu)造出了其心范疇的recollement,它推廣了關(guān)于余繞對(duì)的相關(guān)結(jié)果.

    三角范疇;余繞對(duì);雙余繞對(duì);心范疇;recollement

    1 預(yù)備知識(shí)

    三角范疇的概念起源于代數(shù)幾何,1982年,Beilinson等[1]在研究奇異空間時(shí)引入了三角范疇的recollement的概念,recollement描述了一個(gè)范疇由兩個(gè)范疇粘合而成的思想.Abel范疇和三角范疇的recollement是數(shù)學(xué)研究的基本工具,在奇異空間,代數(shù)表示論,環(huán)論,多項(xiàng)式函子理論,拓?fù)淇臻g理論等領(lǐng)域起著重要的作用.本文通過考慮Nakaoka引入的雙余繞對(duì)的概念,由三角范疇的recollement構(gòu)造其心范疇的recollement,這是陳健敏關(guān)于余繞對(duì)和林亞南關(guān)于cluster傾斜子范疇的研究成果的一個(gè)推廣[2-3].本文的主要結(jié)論是:

    在本文中,三角范疇的shift函子記為[1],對(duì)于給定的三角范疇D,記Ext1(M,N)∶=Hom(M,N[1]),其中M,N∈D,設(shè)U,V為D的滿子范疇,U*V表示由U和V三角擴(kuò)張而成的D的加法子范疇,即U *V∶={D∈D|U→D→V→U[1],U∈U,V∈V}·

    設(shè)C是加法范疇,W是C的加法滿子范疇,則C/ W表示C關(guān)于W的商范疇.其商范疇是加法范疇,且存在加法典范函子Q:C→C/W,它具有泛性:對(duì)任意滿足F(W)=0的加法函子存在唯一的加法函子使得

    其中·如果W對(duì)直和項(xiàng)封閉,我們稱W為C的thick子范疇.

    1)D∈U當(dāng)且僅當(dāng)Ext1(D,V)=0;

    2)D∈V當(dāng)且僅當(dāng)Ext1(U,D)=0;

    3)D=U*V[1].

    注1 如果U和V是D的thick子范疇,則(U,V)是余繞對(duì)當(dāng)且僅當(dāng)(U,V[1])是文獻(xiàn)[4]中的繞對(duì),即滿足Ext1(U,V)=0和D=U*V[1]·

    Ext1(S,V)=0·

    疇[].

    2 三角范疇的recollement和雙余繞對(duì)

    首先我們回顧一下加法范疇和三角范疇的recollement的定義.

    定義4 設(shè)B,B′和B″是加法范疇,則B允許有關(guān)于B′和B″的reeollement,記

    是指6個(gè)加法函子

    滿足以下條件:

    1)(i*,i*),(i*,i?。╦!,j*)和(j*,j*)是伴隨對(duì);

    2)i*,j!和j*是滿嵌入函子;

    3)j*i*=0·

    如果B,B′和B″是Abel范疇,則這也可作為A-bel范疇的recollement的定義[7].下面引入三角范疇的recollement的定義[1].

    是指6個(gè)正合函子,

    滿足以下條件:

    1)(i*,i*),(i*,i?。╦!,j*)和(j*,j*)是伴隨對(duì);

    2)i*,j!和j*是滿嵌入函子;

    3)j*i*=0(可推出i*j!=0和i!j*=0);

    4)對(duì)任意D∈D,可以確定D的兩個(gè)好三角i*i!D→D→j*j!D→(i*i!D)[1]和j!j*D→D→i!i*D→(j!j*D)[1],其中i*i!D→D,D→j*j!D,j!j*D→D和D→i!i*D是相應(yīng)的連接態(tài)射·

    注2 在定義4和5中,我們有i*i*?id,i!i*?id,j*j*?id和j*j!?id·事實(shí)上,我們有下面一個(gè)引理·

    考慮到雙余繞對(duì)的定義,由文獻(xiàn)[2]中關(guān)于余繞對(duì)的定理3.3和3.4,容易得到關(guān)于雙余繞對(duì)的類似結(jié)果:

    命題1 設(shè)D,D′和D″是三角范疇,D允許有關(guān)于D′和D″的recollement

    則有:

    3 心范疇的recollement的構(gòu)造

    定義6 設(shè)C和D是三角范疇,(S1,J1),(U1,V1)和(S2,J2),(U2,V2)分別是C和D的雙余繞對(duì).正合函子F:C→D稱為:

    1)左dd-正合如果F(J1)?J2和F(V1)?V2;

    2)右dd-正合如果F(S1)?S2和F(U1)?U2;

    3)dd-正合如果F既是左dd-正合又是右dd-正合.

    引理2 設(shè)C和D是加法范疇,函子F:C→D伴隨于函子G:D→C·令U和V分別是C和D的加法滿子范疇,使得F(U)?V,G(V)?U,則有:

    [1] Beilinson A,Bernstein J,Deligne P.Faisceaux pervers[J].Soc Math France,1982,100:1-172.

    [2] Chen J.Cotorsion pairs in a recollement of triangulated categories[J].Communications in Algebra,2013,41:2903-2915.

    [3] Lin Y,Wang M.From recollement of triangulated categories to recollement of abelian categories[J].Science China Mathematics,2010,53:1111-1116.

    [4] Iyama O,Yoshino Y.Mutation in triangulated categoryies and rigid Cohen-Macaulay modules invent[J].Math,2008,172:117-168.

    [5] Nakaoka H.General heart construction on a triangulated category:unifying t-structures and cluster tilting subcategories[J].Appl Categ Structures,2011,19:879-899.

    [6] Nakaoka H.General heart construction for twin torsion pairs on triangulated categories[J].Journal of Algebra,2013,374:195-215.

    [7] Chen Q,Zheng M.Recollements of abelian categories and special types of comma categories[J].Journal of Algebra,2009,321:2474-2485.

    From Recollement of Triangulated Categories to Recollement of the Heart Categories

    XU Yan-qing
    (School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China)

    In the paper of Nakaoka,he constructed an Abelian category from a cotorsion pair on a triangulated category.The resulting Abelian category generalizes the of a t-structure and the quotient a cluster tilting subcategory.After that,Nakaoka generalized these results to a more general setting called twin cotorsion pair.In this article,we construct recollement of the heart categories from a recollement of triangulated categories by considering twin cortorsion pair.It generalized the results about cotorsion pair.

    triangulated category;cotorsion pair;twin cotorsion pair;heart category;recollement

    O 154.1

    A

    0438-0479(2015)04-0493-04

    10.6043/j.issn.0438-0479.2015.04.009

    2014-12-04 錄用日期:2015-01-08

    Email:452115535@qq.com

    許燕青.由三角范疇的Recollement構(gòu)造其心范疇的Recollement[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,54(4):493-496.

    :Xu Yanqing.From recollement of triangulated categories to recollement of the heart categories[J].Journal of Xiamen University:Natural Science,2015,54(4):493-496.(in Chinese)

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