分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制*

李鳳英，吳然超

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制*

李鳳英，吳然超＊＊

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

用一種狀態(tài)反饋控制器實(shí)現(xiàn)對一類非線性分?jǐn)?shù)階Hindmarsh-Rose(HR)神經(jīng)元系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制，根據(jù)分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論，得出受控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件;最后給出數(shù)值模擬，驗(yàn)證定理的結(jié)論，并通過分析得到受控系統(tǒng)可通過改變反饋增益系數(shù)來擴(kuò)大系統(tǒng)的穩(wěn)定域。

分?jǐn)?shù)階;穩(wěn)定性;Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型;反饋控制

HR神經(jīng)元模型是20世紀(jì)80年代提出的，它在描述神經(jīng)系統(tǒng)、神經(jīng)元興奮性和心肌纖維等生理過程中有重要的作用，并且用模型來研究神經(jīng)元的放電行為。分岔是神經(jīng)元放電的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，控制神經(jīng)元的放電活動(dòng)是理論神經(jīng)科學(xué)中最吸引力的研究內(nèi)容之一，并且有極大地臨床價(jià)值。最近研究人員對整數(shù)階的HR神經(jīng)元模型的穩(wěn)定和分岔研究的較多，而分?jǐn)?shù)階的研究還較少。

近幾年來，分?jǐn)?shù)階微分方程，尤其是分?jǐn)?shù)階動(dòng)力方程，越來越受研究人員的廣泛關(guān)注和興趣。一方面是由于分?jǐn)?shù)階微分積分學(xué)理論的自身發(fā)展，另一方面是由于分?jǐn)?shù)階微分方程能更好地描述物質(zhì)的特性，文獻(xiàn)［1－3］分別研究了分?jǐn)?shù)階方程在信號(hào)處理、控制理論和電化學(xué)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。從文獻(xiàn)［4］中知道系統(tǒng)的分岔控制已經(jīng)吸引了很多研究人員的關(guān)注，由于它在各個(gè)領(lǐng)域都有著潛在的應(yīng)用性，如研究電力系統(tǒng)，人的心率和神經(jīng)活動(dòng)行為及人類大腦皮層的活動(dòng)等領(lǐng)域。文獻(xiàn)［5，6］給出了幾種分岔控制的方法，采用了一個(gè)含有過濾器的動(dòng)態(tài)狀態(tài)反饋控制律的方法來研究一個(gè)改變固有的Hopf分岔的問題，并對Lorenz和Rossler系統(tǒng)采用了帶有多項(xiàng)式函數(shù)狀態(tài)反饋控制的方法來控制其分岔，可知狀態(tài)反饋控制在Hopf分岔方面已經(jīng)成功地應(yīng)用到了自治系統(tǒng)中。分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)相比傳統(tǒng)的整數(shù)階控制系統(tǒng)的控制性能有更大的優(yōu)越性，然而，關(guān)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的反饋控制還研究很少。

現(xiàn)將研究狀態(tài)反饋控制器下的一類分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元模型的穩(wěn)定性，得出受控系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分條件?？刂品椒梢酝ㄟ^改變反饋增益系數(shù)較快地控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后給出數(shù)值模擬驗(yàn)證此控制下的結(jié)論的正確性及其控制效果。

1 預(yù)備知識(shí)

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)有3種定義，即Gr¨unwald-Letnikov定義，Riemann-Liouville定義和Caputo定義。現(xiàn)采用的是Caputo定義。

一元函數(shù)x(t)的Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義:

其中a，t分別為積分的下限和上限，xn(t)為x(t)的n階微分，Γ(·)是Eulergamma函數(shù)。

考慮分?jǐn)?shù)階微分的線性系統(tǒng)如下:

其中x(0)=(x10，x20，…，xn0)T，x=(x1，x2，…，xn)T∈Rn且矩陣A∈Rn×n，α∈(0，1］，Dα為α階分?jǐn)?shù)微分算子。

分?jǐn)?shù)階線性微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性已經(jīng)得到了深入的研究，得到了判斷穩(wěn)定性的定理。

引理1［7］系統(tǒng)(2)是漸近穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)(2)是不穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng) arg(λ)≤，其中λ是矩陣A的特征值。

再考慮分?jǐn)?shù)階微分的非線性系統(tǒng):

其中x=(x1，x2，…，xn)∈Rn且g=(g1，g2，…，gn)∈Rn的非線性函數(shù)，為α階分?jǐn)?shù)微分算子。

引理2［8］如果當(dāng)時(shí)，λ為系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)x0處的雅可比矩陣的特征值，即x0滿足g( x0)=0，則系統(tǒng)(3)在平衡點(diǎn)x0處是局部漸近穩(wěn)定的。

2 神經(jīng)元模型及主要結(jié)論

Tsuji等人［9］詳細(xì)地分析了這個(gè)二維的整數(shù)階HR神經(jīng)元模型，其系統(tǒng)為

其中x，y分別對應(yīng)于神經(jīng)元系統(tǒng)的膜電位和恢復(fù)變量，a，b，c和d為參數(shù)，I為外加電流強(qiáng)度?，F(xiàn)將討論二維的分?jǐn)?shù)階HR神經(jīng)元模型，其系統(tǒng)為

由系統(tǒng)(5)可知道階數(shù)沒有改變系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，這里設(shè)系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)為E0=(x0，y0)，故它是下面方程組的解:

系統(tǒng)(5)在平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣:

雅可比矩陣對應(yīng)的特征方程為

引理3［10］對于系統(tǒng)(5)，有結(jié)論:

3 分?jǐn)?shù)階HR模型的狀態(tài)反饋控制

對系統(tǒng)(5)進(jìn)行線性反饋控制如下:

這里k1，k2是反饋增益系數(shù)，這種控制使得控制前后系統(tǒng)的平衡點(diǎn)不變。

系統(tǒng)(9)在平衡點(diǎn)E0的雅可比矩陣為

雅可比矩陣對應(yīng)的特征方程為

其中

因此，得到 λ1，λ2的幅角的正切又因?yàn)?mk＜0，故，由引理2，3可知當(dāng)，即時(shí)，系統(tǒng)(9)的平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的，當(dāng)，即時(shí)，系統(tǒng)(9)的平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的。定理得證。

注:定理中當(dāng)k1，k2都為0時(shí)，即為引理3的情況，給定參數(shù)后能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定域;當(dāng)k1不為0，k2為0時(shí)是參考文獻(xiàn)［11］中所研究的控制情況，即只對x進(jìn)行控制，這種控制下給k1適當(dāng)?shù)闹登覞M足定理?xiàng)l件能擴(kuò)大系統(tǒng)的穩(wěn)定域;而此通過k1，k2對x，y進(jìn)行同時(shí)控制也能擴(kuò)大系統(tǒng)的穩(wěn)定域，且較文獻(xiàn)［11］可以更快地達(dá)到穩(wěn)定效果，更靈敏地?cái)U(kuò)大穩(wěn)定域。顯然這里的線性反饋控制通過適當(dāng)改變反饋增益系數(shù)k1，k2且滿足定理?xiàng)l件時(shí)能更明顯快速地?cái)U(kuò)大系統(tǒng)的穩(wěn)定域。

4 數(shù)值舉例

例1 在系統(tǒng)(5)中取a=－1，b=1．4，c=3，d=1．8和I=0，通過計(jì)算可得系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)E0=(0．727 5， 0．599 2)，滿足引理3可計(jì)算出穩(wěn)定到不穩(wěn)定的臨界階數(shù)，故當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)(5)的平衡點(diǎn)E0是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)時(shí)，平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的。這里取α=0．75(圖1)，再取α=0．85 (圖2)，可以知道當(dāng)α穿過臨界值時(shí)，系統(tǒng)失去了穩(wěn)定性，并出現(xiàn)周期振蕩現(xiàn)象，此時(shí)在參數(shù)下系統(tǒng)的穩(wěn)定域?yàn)?(0 ，0．810 4)。

圖1 系統(tǒng)(5)平衡點(diǎn)E0在α=0．75時(shí)的穩(wěn)定性

圖2 系統(tǒng)(5)平衡點(diǎn)E0在α=0．85時(shí)的不穩(wěn)定性

例2 在系統(tǒng)(9)中取a=－1，b=1．4，c=3，d=1．8和I=0，若取反饋增益系數(shù)k1=－0．7，k2=0．2，此時(shí)滿足定理?xiàng)l件，可計(jì)算出穩(wěn)定到不穩(wěn)定的臨界階數(shù)，故當(dāng)時(shí)，系統(tǒng)(9)的平衡點(diǎn)E0是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)時(shí)，平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的，取 α=0．85如圖3所示，此時(shí)的穩(wěn)定域?yàn)?0，0．918 8)。若取反饋增益系數(shù)，滿足定理?xiàng)l件，可計(jì)算出穩(wěn)定到不穩(wěn)定的臨界階數(shù)0．973 5，故當(dāng)α∈(0，0．973 5)時(shí)，系統(tǒng)(9)的平衡點(diǎn)E0是漸近穩(wěn)定的，當(dāng)α∈[0．973 5，1]時(shí)，平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的，取α=0．92如圖4所示，此時(shí)的穩(wěn)定域?yàn)?0，0．973 5)。

圖3 系統(tǒng)(9)平衡點(diǎn)E0在α=0．85時(shí)的穩(wěn)定性

圖4 系統(tǒng)(9)平衡點(diǎn)E0在α=0．92時(shí)的穩(wěn)定性

分析可知，如果適當(dāng)?shù)剡x擇反饋增益系數(shù)k1，k2可以使分?jǐn)?shù)階神經(jīng)元系統(tǒng)的穩(wěn)定域盡可能的大，所以，此狀態(tài)反饋控制器能較好地控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

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Stability Control of Fractional Order Neuron System

LI Feng-ying，WU Ran-chao
(School of Mathematical Science，Anhui University，Hefei 230601，China)

The stability control of a class of nonlinear fractional order Hindmarsh-Rose(HR)neuron system is implemented by a state feedback controller，according to the stability theory of fractional order linear system．The sufficient condition for the stability of the controlled system is obtained，and finally numerical simulation is given to prove the conclusion of the theorem，and that the stability domain of the system can be expanded via changing feedback gain coefficient in the controlled system through the analysis．

fractional order;stability;Hindmarsh-Rose Neuron Model;feedback control

O231．4

A

1672－058X(2015)02－0037－06

10．16055/j．issn．1672－058X．2015．0002．008

責(zé)任編輯:田 靜

2014－05－20;

2014－07－12．

高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)基金(20093401120001);安徽省自然科學(xué)基金(11040606M12);安徽大學(xué)“211項(xiàng)目”(KJJQ1102)資助．

李鳳英(1987-)，女，安徽阜陽市人，碩士研究生，從事非線性動(dòng)力系統(tǒng)研究．

＊＊通訊作者:吳然超(1971-)，男，安徽六安市人，博士，教授，從事非線性動(dòng)力系統(tǒng)研究．Email:rcwu@ahu．edu．cn．