幾何證明選講之“圓”的題根研究
——從“圓周角定理”說起

☉上海市桃浦中學(xué) 張正麗

幾何證明選講之“圓”的題根研究
——從“圓周角定理”說起

☉上海市桃浦中學(xué) 張正麗

幾何證明選講在人教版新課標(biāo)教材中以選修內(nèi)容出現(xiàn)，其主要內(nèi)容之一是圓及其相關(guān)性質(zhì)定理的應(yīng)用，如“相交弦定理”“線割線定理”“割線定理”“弦切角定理”等，高考對此部分內(nèi)容的考查多以選擇或填空及附加題的形式出現(xiàn)，試題難度不大，考查的知識點(diǎn)較為固定，本文以“圓周角定理”為根，就相關(guān)定理的推廣應(yīng)用，展開探究.

題根：（圓周角定理）在同一圓上，同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍.

證明：略.

說明：由圓周角定理可直接得出結(jié)論：同弧所對的圓周角相等，這是圓最基本的性質(zhì)之一，在此基礎(chǔ)上我們可以直接或間接得出圓的其他相關(guān)性質(zhì)定理.

一、相交弦定理

定理1 過圓內(nèi)一點(diǎn)M引兩條弦AB與CD，則MA· MB=MC·MD.

圖1

證明：如圖1，由同弧所對的圓周角相等，得∠BCM=∠DAM，∠CBM=∠ADM，所以△AMD∽△CMB，所以，即MA·MB=MC·MD.

圖2

例1 如圖2，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，若AB＝6，AE＝1，則DF·DB＝_________.

解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD與△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5.

說明：在Rt△BDE中，EF⊥BD，所以Rt△BDE∽ Rt△BEF∽Rt△EDF，所以即得射影定理：DE2=DF·DB，EB2=BF·BD，EF2=DF· FB.

二、弦切角定理

定理2 圓的切線與過切點(diǎn)的弦的夾角（弦切角）等于該切點(diǎn)弦所對的圓周角.

圖3

證明：如圖3，連接OC，OB，連接BA并延長交直線TC于點(diǎn)P.

因?yàn)镺B=OC，所以∠OBC=∠OCB.

因?yàn)椤蟃CB=90°-∠OCB，在△OBC中，∠BOC=180°-2∠OCB，所以∠BOC=2∠TCB.

因?yàn)椤螧OC=2∠CAB（圓心角等于圓周角的兩倍），所以∠TCB=∠CAB.

命題得證.

圖4

例2 （2014年天津卷）如圖4所示，△ABC是圓的內(nèi)接三角形，∠BAC的平分線交圓于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)B的圓的切線與AD的延長線交于點(diǎn)F.在上述條件下，給出下列四個(gè)結(jié)論：①BD平分∠CBF；②FB2＝FD·FA；③AE·CE＝BE· DE；④AF·BD＝AB·BF.則所有正確結(jié)論的序號是（ ）.

A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④

解析：如圖4所示，因?yàn)椤?＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，所以∠4＝∠3，所以BD平分∠CBF，所以△ABF∽△BDF.

故①②④正確.

說明：利用“弦切角”定理，由對應(yīng)角的相等直接可得兩三角形相似，進(jìn)而得出如下“割線定理”.

三、切割線定理

定理3 過圓外一點(diǎn)M引圓的一條切線MT和任意一條割線MAB，其中T為切點(diǎn)，線段AB為弦，則MA·MB= MT2.

圖5

證明：如圖5所示，連接TB，TA，由弦切角定理得∠MTA=∠MBT，∠M為公共角，所以△MTA∽△MBT，所以，即MA·MB=MT2.

圖6

例3 （2014年新課標(biāo)全國卷Ⅱ）如圖6，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B、C，PC=2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長線交⊙O于點(diǎn)E，證明：

（1）BE=EC；

（2）AD·DE=2PB2.

證明：（1）連接AB，AC.由題設(shè)知PA=PD，故∠PAD=∠PDA.

因?yàn)椤螾DA=∠DAC+∠DCA，∠PAD=∠BAD+∠PAB，∠DCA=∠PAB，所以∠DAC=∠BAD，從而BE= EC.

（2）由切割線定理得PA2=PB·PC.

因?yàn)镻A=PD=DC，所以DC=2PB，BD=PB.

由相交弦定理得AD·DE=BD·DC，所以AD·DE= 2PB2.

說明：在“切割線定理”的基礎(chǔ)之上，如果過同一點(diǎn)M再作一條割線，即可得到如下“割線定理”.

四、割線定理

定理4 過圓外一點(diǎn)M引兩條直線AB、CD與該圓分別相交于A、B與C、D點(diǎn)，則MA·MB=MC·MD.

例4 如圖7，過點(diǎn)P的直線與⊙O相交于A、B兩點(diǎn).若PA=1，AB=2，PO=3，則圓O的半徑等于_________.

圖7

解析：設(shè)PO與圓O相交于點(diǎn)C，延長PO，交圓O于點(diǎn)D，設(shè)圓的半徑為r，易知PC=3-r，PD=3+r，由“割線定理”得PA·PB=PC·PD，即1×3=（3-r）（3+r），即r2=6，解得r=

說明：本題的求解也可過點(diǎn)O作AB的垂線OM，由垂徑定理知AM=BM，在Rt△PMO中，由勾股定理求得OM的長度，在Rt△AOM中，由勾股定理求得半徑r.

圖8

例5 （2014年新課標(biāo)全國卷Ⅰ）如圖8，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點(diǎn)E，且CB=CE.

（1）證明：∠D=∠E；

（2）設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB= MC，證明：△ADE為等邊三角形.

證明：（1）由題設(shè)知A、B、C、D四點(diǎn)共圓，所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E，故∠D=∠E.

（2）設(shè)BC的中點(diǎn)為N，連接MN，則由MB=MC知MN⊥BC，故O在直線MN上.

又AD不是⊙O的直徑，M為AD的中點(diǎn)，故OM⊥AD，即MN⊥AD，所以AD∥BC，故∠A=∠CBE.

又∠CBE=∠E，故∠A=∠E，由（1）知∠D=∠E，所以△ADE為等邊三角形.

說明：在割線定理的基礎(chǔ)上，由△MAC∽△MDB，可得性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于其內(nèi)對角.

例6 如圖9，EB、EC是⊙O的兩條切線，B、C是切點(diǎn)，A、D是⊙O上兩點(diǎn)，如果∠E=46°，∠DCF=32°，則∠BAD的度數(shù)是_________.

解析：連接OB，OC，AC，由題意得∠OCE=∠OBE=90°，∠DCF=∠DAC=32°.

圖9

說明：在此性質(zhì)的基礎(chǔ)上，可得出性質(zhì)：圓的內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ).

綜上，本文以圓的一個(gè)簡單性質(zhì)得出與圓相關(guān)的性質(zhì)定理，既體現(xiàn)了知識的關(guān)聯(lián)性，梳理重要知識形成體系，有助于學(xué)生在整體上把握知識的來龍去脈，進(jìn)而能夠靈活應(yīng)用其解題，望同學(xué)們以此為例拓展到其他知識的學(xué)習(xí)中.F