一類相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動及時滯速度反饋控制

尚慧琳，李偉陽，韓元波，文永蓬

（1．上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，上海 200235；2．上海工程技術(shù)大學(xué)城市軌道交通學(xué)院，上海 201620）

一類相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動及時滯速度反饋控制

尚慧琳1，李偉陽1，韓元波1，文永蓬2

（1．上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，上海 200235；2．上海工程技術(shù)大學(xué)城市軌道交通學(xué)院，上海 201620）

研究一類典型的相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)引起的復(fù)雜運(yùn)動（如混沌運(yùn)動和安全域侵蝕），并對系統(tǒng)施加時滯速度反饋來控制系統(tǒng)的這些復(fù)雜動力學(xué)行為，從而保障系統(tǒng)的振動可靠性。利用Melnikov函數(shù)法獲得時滯速度反饋控制相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)產(chǎn)生混沌和安全域分岔的臨界激勵；并數(shù)值模擬了系統(tǒng)在不同控制參數(shù)條件下的動力學(xué)行為，從而驗(yàn)證了理論分析的正確性。研究結(jié)果表明，在正的反饋增益系數(shù)下，時滯速度反饋能夠有效地用于控制相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的混沌運(yùn)動和安全域侵蝕。

相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)；Melnikov函數(shù)；時滯速度反饋；混沌；安全域

轉(zhuǎn)動是最常見的能量傳輸方式之一，轉(zhuǎn)動機(jī)械廣泛應(yīng)用于機(jī)械加工制造，動力傳遞等領(lǐng)域。相對轉(zhuǎn)動是轉(zhuǎn)動機(jī)械系統(tǒng)中普遍存在的動力學(xué)現(xiàn)象，相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的復(fù)雜振動會影響設(shè)備的平穩(wěn)運(yùn)行，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)構(gòu)件破壞的嚴(yán)重后果，因此，相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)中的振動問題受到學(xué)術(shù)界的廣泛關(guān)注。趙武等［1］研究了一類非線性相對轉(zhuǎn)動周期系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性問題，將非線性的相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)扭振問題的運(yùn)動穩(wěn)定性分析轉(zhuǎn)化為一類周期性變系數(shù)常微分方程解的穩(wěn)定性。劉爽等［2］研究一類時滯非線性相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)時滯的改變能夠引起系統(tǒng)的Hopf分岔，從而對系統(tǒng)動力學(xué)行為帶來定性影響。劉浩然等［3］建立了具有時變剛度、非線性阻尼和諧波激勵的類相對轉(zhuǎn)動時滯非線性動力系統(tǒng)的動力學(xué)方程。張文明等［4］研究了一類非線性相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的混沌運(yùn)動及多時滯反饋控制，發(fā)現(xiàn)通過減小或者增大多時滯反饋參數(shù)，能有效地將系統(tǒng)的混沌運(yùn)動控制到單周期運(yùn)動。喬杰敏等［5］建立了具有廣義阻尼力和非線性恢復(fù)力的二端面相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的模型與一類兩質(zhì)量相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的統(tǒng)一的非線性動力學(xué)模型，給出系統(tǒng)發(fā)生混沌運(yùn)動的必要條件，并利用數(shù)值仿真進(jìn)一步研究了系統(tǒng)的混沌運(yùn)動。目前相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的研究主要集中在關(guān)于模型、穩(wěn)定性、周期解等系統(tǒng)特性的分析，而對于相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的全局分岔和混沌等方面的研究的相關(guān)報道相對較少［6］。因此研究相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)中系統(tǒng)參數(shù)引起的混沌運(yùn)動機(jī)制并提出控制方法成為本文的研究目的之一。

相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的混沌振動雖然會引起不規(guī)則的輸出響應(yīng)，并加劇了傳動軸本身的疲勞失效，仍是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的剛度范圍內(nèi)的動力學(xué)行為。然而系統(tǒng)的振動幅度過大卻往往會直接引起系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度問題，如造成傳動軸的破壞。研究相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的振動的有界性問題，特別是安全域侵蝕問題，具有非常重要的工程實(shí)際意義。安全域這個概念最早是在Thompson等［8］在研究船舶在波浪作用下的傾覆問題時提出的，它被定義為所有有界解吸引域的集合。安全域侵蝕就意味著安全域邊界分形，常常用來解釋工程結(jié)構(gòu)的振動對初始條件的敏感性［9－10］。關(guān)于相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的振動有界性和安全域侵蝕問題的控制研究目前報道極少。因此本文的另一個研究目的就是揭示一類相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的安全域侵蝕機(jī)理并實(shí)施控制。為此，本文提出利用線性時滯速度反饋來控制相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的安全域侵蝕現(xiàn)象。因?yàn)闀r滯反饋不但是控制混沌的重要手段［11－12］，而且已有許多研究表明它是控制安全域侵蝕的良好策略。如Alsaleem等利用時滯位置反饋控制了靜電驅(qū)動微加速度計(jì)振動系統(tǒng)的安全域侵蝕現(xiàn)象，從而有效地抑制了系統(tǒng)微結(jié)構(gòu)的吸合不穩(wěn)定。筆者通過對Duffing系統(tǒng)、Holmes-Duffing系統(tǒng)和一類單自由度參數(shù)激勵系統(tǒng)［13－16］施加時滯反饋控制均發(fā)現(xiàn)，時滯反饋控制能夠有效控制系統(tǒng)的安全域侵蝕。這些為利用時滯速度反饋控制相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的安全域侵蝕提供了可能性。

本文考慮一類典型的相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，研究系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動如混沌運(yùn)動和安全域侵蝕的機(jī)制，并利用時滯速度反饋對系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)行為實(shí)施控制。

1 模型及無擾動分析

本文以一類兩質(zhì)量相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)為研究對象，對系統(tǒng)引入時滯相對速度反饋控制，其簡化模型見圖1，圖1中θ1和θ2為集中質(zhì)量的扭轉(zhuǎn)角，J1和J2為相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)集中質(zhì)量的轉(zhuǎn)動慣量，和為系統(tǒng)集中質(zhì)量的角速度為時滯速度反饋控制項(xiàng)，式中t－τ時刻兩質(zhì)量傳動系統(tǒng)的相對角速度，q為反饋增益系數(shù)，τ為時滯量。將時滯相對速度反饋控制項(xiàng)當(dāng)成廣義力，可對系統(tǒng)建立有耗散項(xiàng)的廣義拉格朗日方程

式中：K1為線性剛度，K2為非線性剛度，c12為線性阻尼系數(shù)，T1和T2為外部施加扭矩，f12為非線性粘滑摩擦力

式中：c0，c1和c2分別為靜摩擦常數(shù)，線性和三次非線性阻尼系數(shù)。由于工程中動力傳動系統(tǒng)的扭矩通常是簡諧激勵，因此可設(shè)

令ψ1＝θ1－θ2，線性變換式（1）即可得到時滯速度反饋相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)

當(dāng)τ＝0時，時滯速度反饋項(xiàng)α（ψ·1τ－ψ·1）＝0，式（4）退化為無控制的相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)

式中：a是Coulomb干摩擦力項(xiàng)的系數(shù)，滿足a＞0；系數(shù)b與軟彈簧非線性剛度K2成正比，有b＜0；線性剛度相關(guān)系數(shù)d＞0，且三次非線性阻尼相關(guān)系數(shù)g＞0［17］。式（4）相當(dāng)于對相對轉(zhuǎn)動式（6）施加了單通道的線性時滯速度反饋α（ψ·1τ－ψ·1）的控制系統(tǒng)，其中控制參數(shù)有兩個，α為反饋增益系數(shù)，根據(jù)式（5），與施加在式（1）中的反饋增益系數(shù)成正比；τ為時滯量，與式（1）中時滯量一致。

為了考察式（3）的Hamilton系統(tǒng)及其同宿軌道，考慮式（3）的非保守項(xiàng)為弱擾動，將阻尼、外激勵及反饋增益在小參數(shù)ε作用下重新標(biāo)度。設(shè)

圖1 一類時滯速度反饋控制相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的簡化模型Fig．1 The simplified model of a relative rotation system with the delayed velocity feedback

式中：a～＝O（1），g～＝O（1），f～＝O（1），α～＝O（1）．則式（4）可表示為：

其Hamilton函數(shù)為：

顯然，當(dāng)ε＝0時，式（8）退化為無擾系統(tǒng)

2 全局分岔?xiàng)l件

首先將Melnikov函數(shù)法應(yīng)用到無控制的相對轉(zhuǎn)動式（6），從而得到系統(tǒng)發(fā)生全局分岔的必要條件。由式（8）和式（11），式（6）的Melnikov函數(shù)可表示為

則存在某t0使得M±（t0）＝0，且M±（t0）′≠0。由此可知式（12）存在簡單零點(diǎn)。這就意味著穩(wěn)定流形和不穩(wěn)定流形在Poincaré截面上橫截相交，同宿軌線破裂，從而導(dǎo)致Smale馬蹄意義下的混沌運(yùn)動和系統(tǒng)的安全域侵蝕。因此，當(dāng)

會引起系統(tǒng)的混沌運(yùn)動和安全域分形侵蝕，其中f0則為式（6）同宿分岔的激勵振幅閾值。

則根據(jù)Melnikov定理，當(dāng)P（τ）＜0時式（17）存在簡單零點(diǎn)，式（4）會發(fā)生同宿分岔。相反地，當(dāng)P（τ）＞0時，有

此時系統(tǒng)不發(fā)生同宿分岔，因此混沌運(yùn)動和安全域侵蝕得以抑制。由此可以得到式（4）安全域侵蝕和混沌運(yùn)動的激勵振幅門檻值

當(dāng)τ＞0時，有l(wèi)4（τ）＞0，這說明增益系數(shù)大于零時，fτ＞f0，反饋控制下引起安全域侵蝕和混沌運(yùn)動的激勵振幅門檻值得以提高。

將式（4）的參數(shù)取值定為

圖2 α＝0．1時不同激勵振幅下P（τ）隨時滯的變化Fig．2 Variation of P（τ）with time delay under different values of excitation amplitude whenα＝0．1

則不同激勵下P（τ）隨時滯的變化（見圖2）。根據(jù)圖2，f＝0．355時，在正的反饋增益下，無論有無時滯速度反饋控制，式（6）均不發(fā)生同宿分岔；而當(dāng)f＝0．412，τ＝0時P（τ）＜0，說明式（6）發(fā)生同宿分岔；但P（τ）會隨著時滯量的增大，特別是當(dāng)τ≥1．88時，有P（τ）＞0，這說明式（4）的同宿分岔得到抑制。由此可見，在正的反饋增益下，時滯速度反饋可以抑制相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的混沌運(yùn)動和安全域侵蝕。

3 數(shù)值仿真

3.1 混沌的產(chǎn)生及其控制

以2／ω頻率截取Poincaré截面，獲得相應(yīng)參數(shù)下系統(tǒng)變化的數(shù)值仿真分岔圖，從而研究系統(tǒng)動力學(xué)行為隨參數(shù)的演變無控制情況下相對轉(zhuǎn)動式（6）隨外激勵f的分岔情況見圖3。由圖3可知，隨著外激勵f的增大，式（6）的動力學(xué)行為從周期運(yùn)動經(jīng)倍周期分岔最終走向混沌運(yùn)動，與上一節(jié)的理論預(yù)測相吻合；當(dāng)外激勵振幅f＝0．412時，式（6）會出現(xiàn)混沌運(yùn)動，這一點(diǎn)由該參數(shù)條件下系統(tǒng)時間歷程圖和頻譜圖證實(shí)（見圖4）。

圖3 無控制系統(tǒng)（6）的激勵振幅分岔圖Fig．3 Bifurcation diagram of theexcitation of the uncontrolled system（6）

對于時滯速度反饋系統(tǒng)式（4），給定外激勵f＝0．412并給定時滯量，系統(tǒng)動力學(xué)行為隨增益系數(shù)的演變（見圖5）。此時，由圖4可知，當(dāng)時滯量τ＝0時，式（4）會發(fā)生混沌運(yùn)動。根據(jù)圖5，隨著反饋增益系數(shù)的增大，式（4）的混沌運(yùn)動會經(jīng)歷倍周期分岔最后被控制成為簡單的周期運(yùn)動。類似地，并給定一個正的增益系數(shù)，系統(tǒng)動力學(xué)行為隨時滯量的演變（見圖6）。根據(jù)圖6，式（4）的混沌運(yùn)動會隨時滯量的增加而最終演變?yōu)橹芷谡駝?。這說明在正的反饋增益系數(shù)下，時滯速度反饋能有效地控制相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的混沌運(yùn)動。由于相對轉(zhuǎn)動角度ψ1＝θ1－θ2，根據(jù)式（5）中式（4）和式（1）的反饋增益系數(shù)的正比例關(guān)系可知，在正的反饋增益系數(shù)下，時滯速度反饋也能夠在一定程度上控制兩質(zhì)量轉(zhuǎn)動系統(tǒng)式（1）的復(fù)雜運(yùn)動。

圖4 f＝0．412時系統(tǒng)（6）Fig．4（a）Diagram of time-history and（b）frequency spectrum of system（6）when f＝0．412

圖5 f＝0．412和τ＝0．2時受控系統(tǒng)（4）隨增益α分岔圖Fig．5 Bifurcation diagram of the gainαof the controlled system（4）when f＝0．412 andτ＝0．2

3.2 安全域侵蝕控制的數(shù)值仿真

圖6 f＝0．412和α＝0．1時系統(tǒng)（4）隨時滯τ分岔圖Fig．6 Bifurcation diagram of the delayτof the controlled system（4）when f＝0．412 andα＝0．1

當(dāng)外激勵f＝0．355＜f0＝0．377 7時，根據(jù)上節(jié)的理論分析，在正得的反饋增益系數(shù)下，無論時滯量取何值，系統(tǒng)（4）均不發(fā)生同宿分岔，因此安全域邊界不會分形，這一點(diǎn)由圖7（a），7（b）和7（c）證實(shí)。不僅如此，如圖7（a），7（b）和7（c）所示，隨著時滯量的增加，系統(tǒng)的安全域面積有所增大。而當(dāng)外激勵 f＞f0＝0．377 7，根據(jù)理論預(yù)測，無時滯反饋控制的情況下，系統(tǒng)會發(fā)生同宿分岔從而引起安全域侵蝕，這與圖7（d）中安全域的分形邊界相吻合。隨著時滯量的增大，系統(tǒng)的安全域邊界分形程度明顯減弱：如τ＝1時，盡管系統(tǒng)的安全域邊界仍有分形，但安全域的面積有所增大（見圖7（e））。數(shù)值仿真得到的f＝0．412時安全域侵蝕的時滯臨界值與根據(jù)式（21）計(jì)算得到的的臨界值基本吻合（見圖2）。當(dāng)時滯量τ增大到1．95時，系統(tǒng)的安全域邊界變得光滑，安全域侵蝕現(xiàn)象被完全抑制，見圖7（f）。綜上所述，在正的反饋增益系數(shù)下，時滯速度反饋可以有效地抑制相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)式（4）的安全域侵蝕現(xiàn)象，從而在一定程度上抑制兩質(zhì)量轉(zhuǎn)動系統(tǒng)式（1）的過度振動，保證系統(tǒng)的振動安全性。

圖7 當(dāng)α＝0．1時不同激勵振幅下受控系統(tǒng)（4）安全域隨時滯量的演變Fig．7 Evolution of safe basin of the controlled system（4）with the delay under different values of the excitation amplitude whenα＝0．1

4 結(jié) 論

以一類相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)為研究對象，對系統(tǒng)施加時滯速度反饋從而對系統(tǒng)的混沌運(yùn)動和安全域侵蝕現(xiàn)象這兩類與初值敏感性相關(guān)的復(fù)雜動力學(xué)行為實(shí)施控制，利用Melnikov函數(shù)法分析了時滯速度反饋控制同宿分岔的機(jī)理，并運(yùn)用數(shù)值算例來驗(yàn)證理論分析的有效性。研究發(fā)現(xiàn)：在正的增益系數(shù)下，時滯速度反饋能夠有效地抑制系統(tǒng)的混沌運(yùn)動和安全域侵蝕。

對非線性系統(tǒng)安全域的控制，時滯位移反饋中的時滯量常常存在雙向調(diào)節(jié)作用，即在較小的時滯量下，時滯位移反饋能夠有效地抑制系統(tǒng)的安全域侵蝕現(xiàn)象；但當(dāng)時滯量大到一定程度，時滯位移反饋反而會引起安全域侵蝕。而在本文所考慮的時滯速度反饋相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)中，平衡點(diǎn)并不會隨著時滯量的變化而穩(wěn)定性切換，這說明在正反饋增益系數(shù)下，系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)行為會隨著時滯量的增大變簡單；與時滯位移反饋不同，時滯速度反饋對系統(tǒng)的混沌運(yùn)動和安全域侵蝕能夠起到單向的抑制作用。因此，時滯速度反饋用于抑制相對轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的復(fù)雜動力學(xué)行為是一種穩(wěn)定的控制策略。

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Com p lex dynam ic behaviors of relative rotation system and its control by delayed velocity feedback

SHANGHui-lin1，LIWei-yang1，HAN Yuan-bo1，WEN Yong-pen2
（1．School of Mechanical Engineering，Shanghai Institute of Technology，Shanghai200235，China；2．College of Urban Railway Transportation，Shanghai University of Engineering Science，Shanghai201620，China）

The complex dynamic behaviors a typical relative rotation system，such as chaos and erosion of safe basin，induced by the variation of system parameterswere investigated．In order to keep the reliability of the oscillation of the system，delayed velocity feedback was applied in the system to suppress these complex dynamic behaviors．The critical excitation for chaos and erosion of safe basin of the delayed velocity feedback controlled system was obtained by the Melnikov method．Then complex dynamic behaviors of the systems with different system parameters were stimulated numerically，which verifies the validity of the theoretical prediction．It is found that the delayed velocity feedback could be used as an effectivemethod on suppressing chaos and erosion of safe basin of relative rotation systems．

relative rotation system；Melnikovmethod；delayed velocity feedback；chaos；safe basin

TP242；O322

A

10．13465／j．cnki．jvs．2015．12．022

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11472176）；上海市自然科學(xué)基金項(xiàng)目（15ZR1419200）；上海市教委晨光計(jì)劃項(xiàng)目（11CG61）

2014－01－02 修改稿收到日期：2014－04－24

尚慧琳 女，博士，副教授，1983年生