基于已實現(xiàn)跳躍GARCH模型的波動率預(yù)測研究

侯信盟，吳鑫育

(安徽財經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233000)

一、引 言

對金融資產(chǎn)收益和風(fēng)險管理的相關(guān)研究一直是金融學(xué)界的核心問題之一，現(xiàn)有的資產(chǎn)定價模型多以歐美等發(fā)達(dá)國家成熟的金融市場為模型的理論基礎(chǔ)搭建而成[1]。波動率作為影響資產(chǎn)定價的核心因子之一，成為現(xiàn)代金融學(xué)研究熱點。波動率是衡量市場中金融資產(chǎn)風(fēng)險和收益的指標(biāo)，已成為市場管理者和參與者進(jìn)行相關(guān)操作參考的重要依據(jù)，被廣泛應(yīng)用于金融投資與風(fēng)險管理當(dāng)中[2][3]。

經(jīng)典的線性計量模型一般假定時間序列的方差恒定不變。在現(xiàn)實的金融市場中，隨著時間的推移，時間序列的方差是不斷波動的，為克服原有局限性，Engle(1982)[4]創(chuàng)新性地提出了以方差為時間變量對收益率建模的自回歸條件異方差(ARCH)模型，為金融時間序列波動性的研究開辟了新的思路。但由于ARCH模型存在滯后項冗余，待估參數(shù)精確度低等問題，Bollerslev(1986)[5]將原有模型進(jìn)行改進(jìn)，提出了廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型，實證結(jié)果表明模型預(yù)測有一定改進(jìn)。張曼等(2016)[6]將中位數(shù)GARCH模型運(yùn)用于人民幣兌美元匯率的實證研究，表明該模型可減少預(yù)測誤差。

單從日收益率中提取的信息含量過低，條件方差的緩慢調(diào)整使得標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型需要很長時間才能適應(yīng)新的波動率變化，越來越不適應(yīng)市場參與者追求更加精密信息集的要求。隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，高頻數(shù)據(jù)變得越來越容易獲取，大量學(xué)者也在嘗試將高頻數(shù)據(jù)加入模型中，結(jié)果顯示高頻數(shù)據(jù)的采用的確可以提高波動率預(yù)測。Shephard等(2010)[7]構(gòu)建了高頻波動率模型(high frequency based volatility),實證表明該模型可識別波動率的動量和均值回復(fù)效應(yīng)。Hansen 和Huang(2012)[8]提出了包含已實現(xiàn)波動率的已實現(xiàn) GARCH模型，實證結(jié)果優(yōu)于傳統(tǒng)GARCH模型[9]。龔玉婷等(2014)[10]基于自回歸混頻抽樣模型研究了金融市場一階矩收益和二階矩波動的日度信息對CPI短期預(yù)測的影響，結(jié)果表明高頻的收益率和波動率均有助于CPI短期預(yù)測，且混頻抽樣模型可以實現(xiàn)實時預(yù)測。于孝建和王秀花(2017)[11]將包含日內(nèi)高頻收益率、日收益率和已實現(xiàn)波動率的混頻數(shù)據(jù)加入已實現(xiàn)GARCH模型中對2013～2016年滬深300指數(shù)波動率進(jìn)行預(yù)測，發(fā)現(xiàn)混頻已實現(xiàn)GARCH模型比標(biāo)準(zhǔn)已實現(xiàn)GARCH模型在預(yù)測能力方面有一定提高。

有不少學(xué)者將跳變系數(shù)加入模型中，細(xì)化波動率分解。吳恒煜等(2015)[12]對已實現(xiàn)波動率異質(zhì)自回歸模型(HAR-RV)進(jìn)行了拓展，發(fā)現(xiàn)區(qū)分跳躍波動方向和考慮波動結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換特征可以顯著提升樣本預(yù)測能力。宋亞瓊、王新軍(2016)[13]以上證綜指為研究對象，通過構(gòu)建包含跳躍強(qiáng)度的HAR-TCI和HAR-TCJI模型，考察了跳變測度在波動率建模中的作用。瞿慧、周惠(2016)[14]將跳躍強(qiáng)度與聯(lián)跳強(qiáng)度加入向量異質(zhì)自回歸模型后對滬深300股指期貨構(gòu)造動態(tài)套期保值策略，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)的模型所提供的保值策略明顯優(yōu)于常用二元GARCH模型。王明濤等(2017)[15]利用滬深300指數(shù)期貨數(shù)據(jù)，分離已實現(xiàn)波動率中的連續(xù)波動和跳躍幅度與次數(shù)的時間序列，發(fā)現(xiàn)國內(nèi)期貨市場具有連續(xù)且顯著的波動，跳躍次數(shù)具有顯著的日效應(yīng)。

可見部分學(xué)者通過研究國內(nèi)金融市場，也發(fā)現(xiàn)了不同市場結(jié)構(gòu)中的跳躍效應(yīng)。國外學(xué)者Barunik等(2016)[16]將跳變方差加入方差方程，提出了Realized jump GARCH模型，也就是已實現(xiàn)的跳躍GARCH模型。該模型在原有已實現(xiàn)GARCH模型的基礎(chǔ)上，加入跳躍因子，同時考慮了已實現(xiàn)的方差和已實現(xiàn)雙冪次變差因素。國內(nèi)運(yùn)用此模型對股票市場波動率進(jìn)行預(yù)測的研究較為少見，本文通過運(yùn)用改進(jìn)后的模型與現(xiàn)有的波動率預(yù)測模型進(jìn)行實證對比，論證構(gòu)建模型的合理性。

二、模型介紹

(一)GARCH模型

Bollerslev(1986)[5]將原有ARCH模型進(jìn)行改進(jìn)，提出了廣義自回歸條件異方差(GARCH)模型，GARCH(p,q)模型形式表述如下:

rt=ut+at

(1)

(2)

(3)

(二)已實現(xiàn)GARCH模型

Hansen和Huang(2012)[8]在GARCH模型的基礎(chǔ)上，提出了已實現(xiàn)GARCH模型(Realized GARCH model)。與標(biāo)準(zhǔn)的GARCH模型相比，新模型加入了高頻數(shù)據(jù)、杠桿函數(shù)等更多的信息。模型不僅具有更為豐富的內(nèi)容，其計算方法也相對簡單。已實現(xiàn)GARCH(p,q)模型表述如下：

(4)

(5)

logxt=ξ+φloght+τ(zt)+ut

(6)

(7)

(5)、(6)式都進(jìn)行了對數(shù)線性處理，式(5)中的變量可以寫成ARMA模型的表現(xiàn)形式，其結(jié)構(gòu)形式更加穩(wěn)定。對數(shù)線性處理的另一個優(yōu)勢是確保了條件方差的正向性，零值不會進(jìn)入已實現(xiàn)GARCH方程，收益為零的值就不會引起任何規(guī)范性問題。度量方程(6)式中引入了更易于捕捉收益率和波動率關(guān)系的二次型杠桿函數(shù)τ(zt)，區(qū)分了正負(fù)沖擊對市場行為的不同影響。加權(quán)新息被進(jìn)一步細(xì)化為已實現(xiàn)測度的過去值、二次杠桿函數(shù)、變量的累加之和。

(三)已實現(xiàn)跳躍GARCH模型

Merton(1976)[17]在研究股市時指出，股票價格不是連續(xù)的，在短時間內(nèi)會存在大幅度的漲跌，也就是跳躍。按照有效市場假說的理解，跳躍就是新息在股價中的反映。在金融建模中，是股票在t時刻的對數(shù)價格，服從如下的跳躍擴(kuò)散過程：

dpt=ut+δtdWt+ktdqt

(8)

ut是漂移函數(shù)，δt為右連續(xù)且存在左極限的嚴(yán)格為正的隨機(jī)波動過程，Wt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，kt是對數(shù)價格跳躍規(guī)模的正態(tài)分布過程，qt代表了時變強(qiáng)度的泊松計數(shù)過程。

Barndorff和Nielsen(2006)[18]提出構(gòu)造統(tǒng)計量將波動過程分解為積分方差和跳躍方差，整個方差分為連續(xù)樣本路徑和跳躍兩部分，可導(dǎo)出：

(9)

假定不考慮由買賣價差、閉市效應(yīng)、非同步交易等因素產(chǎn)生的微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響，如果沒有發(fā)生跳躍，按照Andersen和Bollerslev(1998)[19]對已實現(xiàn)波動率的計量，已實現(xiàn)的波動率RV是計算期第t日觀測到的收益率的平方和，每日交易被分割為M段，當(dāng)M趨向于無窮大時：

(10)

公式(10)表明已實現(xiàn)的方差的準(zhǔn)確度是受抽樣頻率大小影響的，在沒有觀測誤差并且價格保持連續(xù)的前提下，兩者之間呈現(xiàn)隨抽樣頻率提高而增強(qiáng)的正相關(guān)。股市的交易不是一直連續(xù)的，但如果抽樣時間足夠小，△t→0，M→∞時,按照Barndorff-Nielsen和Shephard(2004)[20]雙冪次變差(BV)的理論，已實現(xiàn)雙冪次變差可以度量積分方差：

(11)

由式(10)～(11)便可得到跳躍方差。第t日雙冪次跳躍方差可表示為:

(12)

(13)

(14)

log(xt)=ξ+ φlog(ht)+τ(zt)+ut

(15)

(16)

(四)模型極大似然估計

模型相關(guān)參數(shù)可以通過極大似然方法估計得出，模型對數(shù)似然函數(shù)如下：

(17)

變量Θ是模型中的參數(shù)向量，已實現(xiàn)的跳躍GARCH中的參數(shù)可以通過最大化(16)式求得。

(18)

三、實證研究

(一)數(shù)據(jù)來源與說明

樣本的容量和抽樣頻率對實證結(jié)果有著較大影響。單純抽取日度收益數(shù)據(jù)將不能很好地提取當(dāng)天的波動信息，但如果抽樣頻率過高又會加大微觀結(jié)構(gòu)噪聲的影響。本文通過對比研究，選取上證綜指自2000年1月4日到2018年11月23日4 562個交易日的日收盤價以及五分鐘高頻交易價格作為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。本文采用的數(shù)據(jù)均取自Wind資訊。本文將總體樣本劃分為兩個部分：2000年1月4日到2014年12月31日共計3 613個樣本數(shù)據(jù)作為估計樣本，用于樣本內(nèi)參數(shù)估計；自2015年1月5日到2018年11月23日949個交易日數(shù)據(jù)作為預(yù)測評價樣本，用于樣本外預(yù)測能力評價。

表1 上證綜指描述性統(tǒng)計

(二)描述性統(tǒng)計

圖1 已實現(xiàn)的方差測度RV、已實現(xiàn)雙冪次變差BV、雙冪度跳躍方差時間序列圖、收益率曲線QQ圖

(三)參數(shù)估計

使用極大似然估計方法對GARCH、已實現(xiàn) GARCH 、已實現(xiàn)跳躍GARCH模型進(jìn)行參數(shù)估計，可以得到各參數(shù)的估計結(jié)果及其標(biāo)準(zhǔn)誤差、對數(shù)似然值(Log-lik)、赤池信息準(zhǔn)則(AIC)和貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)。為便于比較，表2給出了各項相應(yīng)的值。

表2 參數(shù)估計結(jié)果

注：Log-lik是對數(shù)似然值，AIC是赤池信息準(zhǔn)則，BIC是貝葉斯信息準(zhǔn)則，()中是極大似然估計的漸近標(biāo)準(zhǔn)誤差.

從表2的結(jié)果中可以看出，已實現(xiàn)GARCH 和已實現(xiàn)跳躍GARCH模型方差方程中方差持續(xù)性系數(shù)(β+γ)的估計值都非常接近于1，這說明上證綜合指數(shù)具有很高的波動率持續(xù)性特征。度量方程中杠桿系數(shù)符號相反，且統(tǒng)計量顯著，這說明模型很好地捕捉到了上證綜合指數(shù)的“杠桿效應(yīng)”。說明我國上海證券股票市場作為新興市場之一，在信息分布、信息加工和信息傳遞等功能方面正不斷完善，市場參與者對非理性行為和大量交易噪聲的應(yīng)對更加從容，人為造成的價格波動不斷降低，市場制度向更加成熟的方向發(fā)展。判斷模型擬合效果的依據(jù)是對數(shù)似然函數(shù)值、赤池信息準(zhǔn)則(AIC)和貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)，對數(shù)似然函數(shù)值越大，赤池信息準(zhǔn)則(AIC)和貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)越小，說明模型擬合效果越好。通過表2的指標(biāo)，可以看出帶跳躍的模型對數(shù)似然函數(shù)值要大于標(biāo)準(zhǔn)的已實現(xiàn)GARCH模型，同時AIC、BIC的值也小于已實現(xiàn)的GARCH模型，綜上所述，已實現(xiàn)的跳躍GARCH模型擬合效果要比標(biāo)準(zhǔn)已實現(xiàn)GARCH有一定的改進(jìn)。

圖2、圖3給出了已實現(xiàn)的GARCH、已實現(xiàn)的跳躍GARCH模型下的收益率rt、已實現(xiàn)的方差RVt、條件方差ht時間序列圖。從圖2、圖3右側(cè)兩圖中可明顯看到，2007年和2015年兩次股災(zāi)時，兩指標(biāo)大幅度震蕩。股災(zāi)的發(fā)生不僅給股民造成沉重的財產(chǎn)損失，也充分說明了進(jìn)行風(fēng)險管理的重要性和必要性。

圖2 已實現(xiàn)的 GARCH模型下收益率rt、已實現(xiàn)的方差RVt、條件方差ht時間序列圖

圖3 已實現(xiàn)的跳躍GARCH模型下收益率rt、已實現(xiàn)的方差RVt、條件方差ht時間序列圖

(四)樣本外預(yù)測

本文中將樣本分為樣本內(nèi)(數(shù)據(jù)日期自2000年1月4日到2014年12月31日3 613個交易日的日收盤價和5分鐘高頻交易價格)和樣本外(數(shù)據(jù)日期自2015年1月5日到2018年11月23日949個交易日的日收盤價和5分鐘高頻交易價格)兩個評估階段，采用滾動時間窗方法對模型進(jìn)行估計。具體方法是先將第一個樣本外觀測值(2015年1月5號)的數(shù)據(jù)添加到樣本內(nèi)，同時刪除最新樣本內(nèi)數(shù)據(jù)的第一個樣本，也就是日期最早的那一個，如此不斷重復(fù)，直到將樣本外最后一個日期所對應(yīng)的數(shù)據(jù)添加到樣本內(nèi)構(gòu)建新模型為止。以日度數(shù)據(jù)為拆分單位進(jìn)行計量，理論上能較好地檢驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測能力。但我國股市在2007年和2015年經(jīng)歷了兩次劇烈波動，在一定程度上抑制了二級市場的投資情緒，給投資者帶來了經(jīng)濟(jì)損失，也暴露了很多金融市場的問題。這一方面說明了我國股票市場還存在著這樣那樣的問題，值得市場管理者進(jìn)一步發(fā)掘和完善；另一方面，對于市場參與者而言，準(zhǔn)確預(yù)測風(fēng)險，進(jìn)行合理的資源配置、降低投資風(fēng)險的重要性不言而喻。

通常選用的損失函數(shù)指標(biāo)有均方根誤差(RMSE)、平均絕對誤差(MAE)和平均絕對百分比誤差(MAPE)：

(22)

(23)

(24)

其中L為上證綜合指數(shù)的樣本外數(shù)據(jù)長度(個數(shù))，m為估計波動率所采用的模型(已實現(xiàn)的GARCH模型和已實現(xiàn)的跳躍GARCH模型兩種)。圖4、圖5給出了已實現(xiàn)方差和模型預(yù)測方差的時間序列圖。表3給出了兩種模型的評價指標(biāo)數(shù)值。評判標(biāo)準(zhǔn)是各損失函數(shù)對應(yīng)的結(jié)果，其數(shù)值越小，模型的改進(jìn)效果越好?？傮w而言，植入跳躍因子的模型預(yù)測效果要比標(biāo)準(zhǔn)已實現(xiàn)GARCH模型表現(xiàn)要好。

表3波動率預(yù)測結(jié)果

模型SSECRMSEMAEMAPE已實現(xiàn)GARCH2.0229e-071.7874e-040.8598已實現(xiàn)的跳躍GARCH1.8209e-071.6265e-040.8660

圖4 上證綜合指數(shù)已實現(xiàn)GARCH模型下的條件方差預(yù)測結(jié)果

圖5 上證綜合指數(shù)已實現(xiàn)的跳躍GARCH模型下的條件方差預(yù)測結(jié)果

四、總結(jié)與建議

本文以上證綜合指數(shù)為研究對象，通過對比已實現(xiàn)GARCH模型和已實現(xiàn)的跳躍GARCH模型，實證發(fā)現(xiàn)：

第一，上證綜合指數(shù)具有明顯的波動率聚集特征，一個較大的市場波動后會跟隨著一個與之相比較小的波動，也就是說之前的市場波動會對后來的市場波動性產(chǎn)生一定正向、逐步衰減的影響，如此重復(fù)下去，形成波動率聚集現(xiàn)象。這在一定程度上可以反映出市場參與者“追漲殺跌”的心理狀態(tài)，說明市場中存在著大量的投機(jī)者。投機(jī)者的存在雖然可以增加證券市場中交易的靈活性和流動性，但從側(cè)面來說，也同時增加證券市場的風(fēng)險與不穩(wěn)定性。“追漲殺跌”的另一個表現(xiàn)形式就是“杠桿效應(yīng)”，利空消息的影響程度要大于同等條件下的利好信息所造成的影響，文中的模型也很好地捕捉到了上證綜合指數(shù)的杠桿效應(yīng)。市場中不同風(fēng)險偏好的參與者選擇的投資策略并不相同，因為金融市場知識、宏觀經(jīng)濟(jì)政策認(rèn)知、毫無主見式的跟風(fēng)等投資情緒影響會加大市場的杠桿效應(yīng)。

第二，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的描述性統(tǒng)計分析可知，上證綜合指數(shù)的收益率呈現(xiàn)出尖峰厚尾的分布特征，說明市場中非理性的投資者在市場走勢不明朗的情況下無法把控投資方向，消極投資；在行情明朗的情況下跟風(fēng)冒進(jìn)，這在一定程度上增加了收益率波動的風(fēng)險，使得收益率未呈現(xiàn)出正態(tài)性波動。

第三，改進(jìn)后的模型引入了跳躍變量，能從現(xiàn)有的價格信息集中篩選出更多有用的新息，通過改變對數(shù)化的方差方程的表現(xiàn)形式，將更多的新息加入方差方程中。這符合計量模型數(shù)據(jù)混頻處理的發(fā)展趨勢。實證表明，將更多的新息加入模型，可以改進(jìn)模型的擬合能力，提高模型的預(yù)測水平。

作為新興的股票市場，中國的股市具有波動幅度大、方向不明朗、破壞性強(qiáng)等特點，因此，加強(qiáng)市場監(jiān)管，完善上市公司披露制度和股票交易信息，嚴(yán)懲虛假交易對凈化國內(nèi)證券市場、保證市場交易安全性、維護(hù)投資者權(quán)利有重要意義。

首先，政府部門要完善資本市場監(jiān)管體系。構(gòu)建資本市場的風(fēng)險預(yù)警指標(biāo)體系是規(guī)避市場風(fēng)險的基礎(chǔ)與前提，通過對各部分風(fēng)險指標(biāo)的數(shù)字分解，利用量化分析的方法，設(shè)置指標(biāo)臨界值，將風(fēng)險因素穩(wěn)定在一定的安全區(qū)域內(nèi)。在市場準(zhǔn)入方面，要制定上市公司重大資產(chǎn)重組等或有事項的披露程序，確保披露信息的時效性和充分性，這不僅要求公司自身在制作財務(wù)報表時需要提供更多有價值的披露信息，更要求監(jiān)管部門不斷改進(jìn)相關(guān)規(guī)章制度，明確市場參與者的權(quán)利義務(wù)。在立法、執(zhí)法方面，需要重視投資者、公司主題的信息反饋，確保法律執(zhí)行有效果。

其次，加強(qiáng)投資者教育。要明確投資者教育的內(nèi)容、目標(biāo)以及意義。利用大數(shù)據(jù)、云計算等先進(jìn)計算機(jī)技術(shù)，細(xì)化投資者分類，按照其投資規(guī)模、投資偏好、投資經(jīng)驗以及相關(guān)知識等構(gòu)建適合各層次的專業(yè)教育隊伍。這一方面要求投資者明確自身的投資現(xiàn)狀以及面臨的基本問題，做到查缺補(bǔ)漏式的高效率培訓(xùn)，另一方面也要求政府增加響應(yīng)經(jīng)費投入，建立專業(yè)投資隊伍，開展線上、線下等多種形式的培訓(xùn)方式。

最后，重塑投資者對國內(nèi)證券市場的信心，提升自身市場競爭力。中國在國際的影響力不斷提升，但與發(fā)達(dá)國家的成熟金融市場相比，我國的市場在各方面還有著較大的差距，特別是2007年、2015年兩次股票市場危機(jī)之后，國內(nèi)證券市場也被蒙上了一層陰影，嚴(yán)重影響了投資者的投資熱情。各級政府、行政部門有必要也有責(zé)任凈化投資風(fēng)氣，嚴(yán)懲不當(dāng)投機(jī)，重新建立投資者對國內(nèi)金融市場的認(rèn)可度。

文章引用帶跳躍的模型，度量了上證綜合指數(shù)的波動率，通過實證研究，我們也發(fā)現(xiàn)了一些需要改進(jìn)的地方，比如能否將跳躍因子引入更多的模型中，能否重新構(gòu)造跳躍因子的表現(xiàn)形式使之更適合中國的股票市場等。這些問題可能會成為以后研究和探索的方向之一，為構(gòu)造新的波動率模型提供借鑒和思路。