分塊矩陣的幾個重要應用

劉華

(重慶師范大學數(shù)學學院，重慶 401331）

分塊矩陣的幾個重要應用

劉華

(重慶師范大學數(shù)學學院，重慶 401331）

分塊矩陣在線性代數(shù)中是一個重要工具，研究許多問題都要用到它，研究了分塊矩陣在計算矩陣行列式、求矩陣的逆矩陣及矩陣的秩方面的應用.

分塊矩陣；行列式；逆矩陣；矩陣的秩

矩陣的分塊不僅是高等代數(shù)中一個非常重要的內(nèi)容，而且也是研究高等代數(shù)很多分支問題的工具，它貫穿了整個高等代數(shù)的內(nèi)容，已經(jīng)得到廣泛的研究［1－4］.在學習高等代數(shù)的時候常常碰到一些很難的問題，要用到矩陣的分塊去解決，它可以使問題的解決更簡明，學生易于理解和掌握，而且能開拓思維，提高靈活應用知識解決問題的能力.此處主要介紹了分塊矩陣的概念、初等變換，還有在高等代數(shù)中的幾個應用，所介紹的幾個應用將對今后學習高等代數(shù)有重要作用.

1 預備知識

定義1［5］把一個m×n矩陣A，在行的方向分成s塊，在列的方向分成t塊，稱為A的s×t分塊矩陣，記作A＝Ak×l[]s×t，其中Ak×l(k＝1，2，…，s；l＝1，2，…，t )稱為A的子塊，它們是各種類型的小矩陣.

定義3［6］以下3種變換稱為分塊矩陣的初等行變換：

1)用一個行列式不為零的方陣左乘(右乘)分塊矩陣的某一塊行；

2)互換兩塊行的位置；

3)把一個塊行的P(矩陣)倍(即這個塊行里每一個小矩陣都左乘或右乘一個矩陣P)加到另一塊行上.

定義4［7］設A，B都是m×n矩陣，并且對A，B用同樣的方法進行分塊：

定理1［7］設A為m×n矩陣，B為n×l矩陣，若對A，B作如下分塊：

2 利用分塊矩陣計算行列式

行列式是高等代數(shù)的一個重要組成部分，在高等代數(shù)中常常遇到些計算高階行列式的問題，如果直接去計算的話，計算量不僅很大，而且很容易出錯.利用矩陣的分塊可以使矩陣的結(jié)構更簡單，這里主要介紹幾種用分塊矩陣求行列式值的方法.

3 利用分塊矩陣求逆矩陣

證明與定理5的證明完全類似，在這里就不再贅述.

4 利用分塊矩陣處理矩陣秩的相關問題

秩作為矩陣理論的一個基本概念，在矩陣計算中有著相當重要的作用，在線性代數(shù)的學習中涉及矩陣或矩陣秩的命題的證明時因為本身的抽象性而感到困難，利用矩陣的分塊方法可以使這些命題的證明簡單而直觀.一般采用兩種方法，一是利用已知矩陣作為元素來構成矩陣來證明；二是將已知矩陣拆分成級數(shù)低的矩陣來證明.

定理7設A為n×m矩陣，B為m×s矩陣，則有R （AB)≤R （A)，R （AB)≤R（ B)即R （AB)≤ min(R（A)，R(B)).

令C＝AB，B1，B2，…，Bm表示B的行向量，C1，C2，…，Cn表示C的行向量，則有Ci＝ai1B1+ai2B2+…aimBm(i＝1，2，…，n)，即AB的行向量組可經(jīng)B的行向量組線性表示，所以R(AB)≤R(B).

同理，令A1，A2，…，Am表示A的列向量，D1，D2，…，Ds表示AB的列向量，可得Di＝b1iA1+b2iA2+…amiAm(i＝1，2，…，s)，得R(AB)≤R(A).

綜合得到R(AB)≤min(R(A)，R(B)).

推論2假設A為s×n矩陣，B為n×m矩陣，則R(A)+R(B)－n≤R (AB).

所以R (C)≥R( A)+R( B)，又R (C)＝R (AB)+n，所以R( A)+R( B)－n≤R (AB).特別地，當AB＝O時，R( A)+R( B)≤n.

定理8矩陣的和的秩不超過這兩個矩陣的秩的和，即R( A+B)≤R( A)+R( B).

［1］嚴坤妹.分塊矩陣的行列式的恒等式［J］.福建商業(yè)高等專科學校學報，2005，6(3)：78－80

［2］喬占科.矩陣分塊方法的應用［J］.高等數(shù)學研究，2010，13(1)：89－90

［3］侯秋果.矩陣分塊的應用［J］.科技信息，2008，13(2)：190－191

［4］林瑾瑜.分塊矩陣的若干性質(zhì)及其在行列式計算中的應用［J］.廣東廣播電視大學學報，2006，15(2)：110－112

［5］居余馬.線性代數(shù)［M］.北京：清華大學出版社，2005

［6］北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2003

［7］王祖朝，褚寶增.線性代數(shù)［M］.北京：北京師范大學出版社，2008

Several Important Applications of Block Matrix

LIU Hua

(School of Mathematics，Chongqing Normal University，Chongqing 401331)

Block matrix is an important tool to study many problems in linear algebra.In paper researches the application of block matrix in matrix determinant calculation，seeking inverse matrix and rank of matrix.

Block matrix；determinant；inverse matrix

O151.21

A

1672－058X(2015)04－0040－06

10.16055/j.issn.1672－058X.2015.0004.011

2014－07－25；

2014－09－20.

劉華(1987－)，男，碩士研究生，四川雷波人，從事微分方程與動力系統(tǒng)研究.