三對(duì)角線型行列式的求法

李海英，趙建英

（內(nèi)蒙古商貿(mào)職業(yè)學(xué)院社科基礎(chǔ)部，呼和浩特 010022）

三對(duì)角線型行列式的求法

李海英，趙建英

（內(nèi)蒙古商貿(mào)職業(yè)學(xué)院社科基礎(chǔ)部，呼和浩特 010022）

三對(duì)角線型行列式是線性代數(shù)中一種常見的具有特殊格式的行列式，通過(guò)舉例的方式對(duì)此類行列式的計(jì)算進(jìn)行探討，由簡(jiǎn)單形式的行列式到元素復(fù)雜的行列式進(jìn)行推導(dǎo)，并在行列式的元素滿足一定條件的情形下，得到一般形式三對(duì)角線型行列式的計(jì)算方法及其計(jì)算公式。

三對(duì)角線型行列式；遞推公式；消去法

三對(duì)角線型行列式[1]是n階行列式中一種常見的行列式，此行列式的特點(diǎn)是，除主對(duì)角線及其上下兩條次對(duì)角線的元素外，其余的元素都為零。對(duì)于此類行列式，我們需要尋找其所具有的具體特點(diǎn)，進(jìn)而確定具體的計(jì)算方法，得到一般的計(jì)算公式。下面我們通過(guò)舉例的方式對(duì)三對(duì)角線型行列式的計(jì)算方法進(jìn)行探討，進(jìn)而對(duì)不同特點(diǎn)的此類行列式我們得到一般的計(jì)算方法與計(jì)算公式。

例1 計(jì)算n階行列式

分析：對(duì)于這個(gè)三對(duì)角線型行列式，三條對(duì)角線上的元素都是已知的，我們可以嘗試?yán)孟シㄟM(jìn)行求解。

上面的行列式（1）是上三角形行列式，故Dn的值等于其主對(duì)角線元素的連乘積，即：

例2 計(jì)算n階行列式

分析：對(duì)于此類三對(duì)角線型行列式，消去法就不再適用了，需要尋找其他方法來(lái)解決。通過(guò)觀察，我們發(fā)現(xiàn)Dn與Dn-1、Dn-2具有相同的特點(diǎn)，因此我們想到行列式按一行或一列展開定理，將行列式降階，進(jìn)而利用遞推公式法進(jìn)行求解。

解 首先，將行列式Dn按照第一行展開，得：

即得到Dn與Dn-1、Dn-2之間的一個(gè)關(guān)系式Dn=（x+ y）Dn-1-xyDn-2，將其變形為：

或：

這樣就得到了我們想要的遞推公式。由（2）式反復(fù)利用低階代替高階，可得：

由（3）式反復(fù)利用低階代替高階，可得：

將（4）、（5）兩式聯(lián)立，即：

當(dāng)x≠y時(shí)，解方程組（6）式，得：

當(dāng)x=y時(shí)，（4）式變?yōu)镈n-xDn-1=xn，即Dn=xDn-1+xn，反復(fù)利用此公式，將高階替換為低階，得到：

所以，行列式Dn的計(jì)算結(jié)果為:

對(duì)于這個(gè)行列式，雖然我們通過(guò)觀察看出n階與n-1階有相同的結(jié)構(gòu)，然后得到遞推關(guān)系式，但我們不能盲目進(jìn)行替換，一定要看清這個(gè)遞推關(guān)系式是否可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，如果不行的話，就要適當(dāng)?shù)刈儞Q遞推關(guān)系式，得到我們想要的關(guān)系式，如本例題。

比較例1與例2可以看出，例1是例2的一個(gè)特殊情形，事實(shí)上，例1中的主對(duì)角線元素2可以看作2= 1+1，主對(duì)角線上方的元素可以看作1=1×1，即x+y=2, xy=1，也即x=1，y=1的情形。利用例2所得的公式（7），代入x，y的值自然可以得到例1的答案，即Dn=（n+1）xn=n+1，與消去法所得結(jié)果一致，但利用公式（7）進(jìn)行求解方便很多。所以，例2可以作為一個(gè)典型的三對(duì)角線型例子，好多的此類行列式都可以套用公式（7）求解，既節(jié)省時(shí)間，結(jié)果又簡(jiǎn)單明了。需要注意的是例1、例2所給的三對(duì)角線型行列式并不包括所有的類型，例1、例2所對(duì)應(yīng)的三對(duì)角線型行列式的主對(duì)角線下方的次對(duì)角線元素都是1，因此我們要進(jìn)一步研究更一般的類型，得到一般的計(jì)算公式。

例3 計(jì)算n階行列式

分析：此行列式比例2所給的行列式更具一般性，通過(guò)觀察我們也可以用遞推公式法進(jìn)行求解。

解 將Dn按照第一行展開，得遞推公式：

將（8）式看作：

或：

由（10）式反復(fù)利用遞推公式，即可得：

其中，D2=b2-ac=（x+y）2-xy，D1=b=x+y。因此，由（11）式可得：

由（12）式可得：

所以，當(dāng)b2-4ac＞0，即x≠y時(shí)，聯(lián)立（13）、（14）兩式，可得：

當(dāng)b2-4ac=0，即x=y時(shí)，（9）式變?yōu)镈n-xDn-1=xn，即Dn=xDn-1+xn反復(fù)利用此遞推公式，將高階替換為低階，得到：

所以，

由于x，y是方程w2-bw+ac=0的兩個(gè)實(shí)根，所以在具體計(jì)算時(shí)，只需將a，b，c代入方程，得到方程的實(shí)根，再代入公式（15），即可求得到三對(duì)角線型行列式Dn的值。

如行列式[2]：

再如行列式[2]：

此行列式中a=-1，b=2，c=-1，滿足b2-4ac=4-4=0，求解方程w2-2w+1=0得到實(shí)根x=y=1，所以套用公式（15）即得Dn=（n+1）xn=n+1。

例3所舉的例子具有一般性，可以代表一類三對(duì)角線型行列式，但需要注意的是所給三條對(duì)角線的元素要滿足b2-4ac≥0時(shí)，才可以用公式（15）進(jìn)行求解，此公式也可以作為求解此類行列式的一般公式，但是對(duì)于b2-4ac＜0的情形還有待于進(jìn)一步研究。

[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)（第三版）[M].北京:高等教育出版社,2003

[2] 楊立英，李成群.n階行列式的計(jì)算方法與技巧[J].廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2006，23（1）：98～105

Solution Method of Tridiagonal Determinant

LI Hai-ying，ZHAO Jian-ying
（Department of Basic and Social Science,Inner Mongolia Business and Trade Vocational College,Huhhot 010022）

Tridiagonal determinant is a common and with special format determinant in the linear algebra,by the way of giving examples,discusses the computing method of this class determinant,and deduces it through the simple formal to the complex elements determinant.When the determinant elements satisfy a certain condition,obtains the computing method and computing formula of the general tridiagonal determinant.

Tridiagonal Determinant;Recursion Formula;Elimination Method

1007-1423（2015）02-0039-04

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.02.010

李海英（1968-），女，內(nèi)蒙古呼和浩特人，本科，副教授，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育教學(xué)

趙建英（1966-），女，內(nèi)蒙古呼和浩特人，本科，副教授，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)教育教學(xué)

2014-11-27

2014-12-19