新定義題破題策略與命題商榷
——以北京市海淀區(qū)初三第一學(xué)期測試卷第25題為例

☉山東省莒南縣嶺泉鎮(zhèn)初級中學(xué) 閆守范

新定義題破題策略與命題商榷
——以北京市海淀區(qū)初三第一學(xué)期測試卷第25題為例

☉山東省莒南縣嶺泉鎮(zhèn)初級中學(xué) 閆守范

眾所周知，北京市中考數(shù)學(xué)卷已連續(xù)多年在最后一題的位置上設(shè)計(jì)原創(chuàng)的新定義題，這種命題導(dǎo)向引發(fā)了其他地區(qū)新定義題型的命題跟進(jìn)，“上有所好，下必迎合”，在應(yīng)試復(fù)習(xí)仍然嚴(yán)重的當(dāng)下，特別是北京市各區(qū)的模擬考卷常常也在關(guān)鍵位置設(shè)計(jì)出新定義考題，為考生提前做好預(yù)熱.本文以新近一道北京市海淀區(qū)初三第一學(xué)期期末考試中的最后一題為例，講解破題策略，最后再由這道習(xí)題出發(fā)，談?wù)勥@類問題的命題商榷意見，與大家研討.

一、新定義題的破題策略

例1（2014-2015年北京市海淀區(qū)初三第一學(xué)期期末卷）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）是圖形W上的任意兩點(diǎn).

定義圖形W的測度面積：若|x1-x2|的最大值為m，|y1-y2|的最大值為n，則S=mn為圖形W的測度面積.

例如，若圖形W是半徑為1的⊙O.當(dāng)P、Q分別是⊙O與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖1，|x1-x2|取得最大值，且最大值m= 2；當(dāng)P、Q分別是⊙O與y軸的交點(diǎn)時(shí)，如圖2，|y1-y2|取得最大值，且最大值n=2.則圖形W的測度面積S=mn=4.

圖1

圖2

（1）若圖形W是等腰Rt△ABO，OA=OB=1.

①如圖3，當(dāng)點(diǎn)A、B在坐標(biāo)軸上時(shí)，它的測度面積S= ________；

圖3

圖4

②如圖4，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，它的測度面積S=________.

（2）若圖形W是一個(gè)邊長為1的正方形ABCD，則此圖形的測度面積S的最大值為________.

（3）若圖形W是一個(gè)邊長分別為3和4的矩形ABCD，求它的測度面積S的取值范圍.

思路講解：

第一步，理解定義好起步.

初讀所謂的“測度面積”有些晦澀，不太好理解，這時(shí)需要認(rèn)真閱讀題目所配例子，那個(gè)圓的圖形測度面積可以加深對新定義的理解.再進(jìn)入第（1）問第①小問的求解，△AOB的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，0）、（0，0）、（0，1），這樣，|x1-x2|的最大值m就是AO的值1，|y1-y2|的最大值n是BO的值1，于是“測度面積”S=mn=1.

第二步，并列問題實(shí)遞進(jìn).

第（2）問看似與上一問無關(guān)，并列式設(shè)問，其實(shí)只是把第（1）問中的等腰直角三角形補(bǔ)成一個(gè)正方形繼續(xù)探究，分兩種情況思考：

如圖5，|x1-x2|的最大值m就是正方形的邊長1，|y1-y2|的最大值n是正方形的邊長1，于是“測度面積”S=mn=1.

如圖6，|x1-x2|的最大值m就是正方形的對角線的長，|y1-y2|的最大值n是正方形的對角線的長于是“測度面積”S=mn=2.

圖5

圖6

第三步，拓展生長需挑戰(zhàn).

第（3）問從上一問正方形變式為矩形，問題也改為求“測度面積”的范圍，可以分別思考其上限、下限.

以下給出網(wǎng)絡(luò)上流行的所謂“參考答案”：

不妨設(shè)矩形ABCD的邊AB=4，BC=3.由已知可得，平移圖形W不會改變其測度面積S的大小，將矩形ABCD的其中一個(gè)頂點(diǎn)B平移至x軸上.

當(dāng)頂點(diǎn)A、B或B、C都在x軸上時(shí)，如圖7和圖8，矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的面積，此時(shí)S取得最小值，且最小值為12.

圖7

圖8

圖9

上面通過分類思考圖7、圖8兩種情況，它們的共同點(diǎn)就是矩形的兩邊分別與坐標(biāo)軸平行（含重合）時(shí)，這樣矩形ABCD的測度面積S就是矩形ABCD的長、寬的積.

然而將矩形的位置旋轉(zhuǎn)一定的角度后，如圖9，當(dāng)頂點(diǎn)A、C都不在x軸上時(shí)，需要構(gòu)造輔助線進(jìn)行思考，可以過點(diǎn)A作直線AE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作直線CF⊥x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作直線GH∥x軸，與直線AE、CF分別交于點(diǎn)H和G，則可得四邊形EFGH是矩形.

當(dāng)點(diǎn)P、Q分別與點(diǎn)A、C重合時(shí)，|x1-x2|取得最大值m，且最大值m=EF；

當(dāng)點(diǎn)P、Q分別與點(diǎn)B、D重合時(shí)，|y1-y2|取得最大值n，且最大值n=GF.

要注意，這里分別探究EF、GF的最大值意義并不大，而需要整理思考圖形W的測度面積S=EF·GF的最大值.

因?yàn)椤螦BC=90°，所以∠ABE+∠CBF=90°.

因?yàn)椤螦EB=90°，所以∠ABE+∠BAE=90°，所以∠BAE=∠CBF.

設(shè)AE=4a，EB=4b（a＞0，b＞0），則BF=3a，F(xiàn)C=3b.

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2+BE2=AB2.

所以16a2+16b2=16，即a2+b2=1.

易證△ABE≌△CDG.所以CG=AE=4a.

解后反思：現(xiàn)在來反思上面的求解，容易發(fā)現(xiàn)，最后一問關(guān)于測度面積的最大值是極具挑戰(zhàn)的，主要難點(diǎn)有兩處，第一，能否及時(shí)將問題分解為三種情況思考，即圖7、8、9的情況；第二，對于圖9情況的探究，能否引入恰當(dāng)?shù)膮?shù)，并對“12+25a進(jìn)行高超的配方變形，這事實(shí)上也超越了初中階段數(shù)式變形的要求，一般學(xué)生在考場上是難以順利完成的.

讓我們認(rèn)真思考第（1）（2）問解題之外能積累的一些經(jīng)驗(yàn)，是不是可以猜想并確認(rèn)如下性質(zhì)：平移圖形W不會改變其測度面積S的大小，只是在旋轉(zhuǎn)時(shí)會改變，而且當(dāng)矩形的邊分別與坐標(biāo)軸平行時(shí)，測度面積S會取得最小值；而當(dāng)矩形的一邊與坐標(biāo)軸成45°角時(shí)，測度面積會取得最大值.

圖10

二、后續(xù)思考

如前所述，由于像北京市中考卷常常在最后一題這樣的位置設(shè)計(jì)新定義題的風(fēng)向標(biāo)作用，很多地區(qū)也紛紛效仿，對新定義題過分偏好，出現(xiàn)很多不夠恰當(dāng)?shù)男露x題，比如簡單地將高中階段的某個(gè)數(shù)學(xué)概念、公式或性質(zhì)下放到中考試卷；或者個(gè)性化地命名所謂的新概念，造成試題的信度、效度不好，以下再圍繞上面這道考題商榷兩點(diǎn)：

1.“新定義”是否嚴(yán)謹(jǐn)

該考題的最上面一句話“在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）是圖形W上的任意兩點(diǎn)”.而“定義圖形W的測度面積：若|x1-x2|的最大值為m，|y1-y2|的最大值為n……”時(shí)，容易讓人誤解為y1與x1是嚴(yán)格對應(yīng)的，那樣的話，當(dāng)“若|x1-x2|取得最大值m”時(shí)，而|y1-y2|只能跟前面有一個(gè)唯一對應(yīng)的值，又怎能取得最大值呢？

2.拓展生長問題的解法不能“超標(biāo)”設(shè)計(jì)

第（3）問的“網(wǎng)上流傳的解法”如果是命題組提供的話，那么對于超高要求的配方變式顯然屬于“超標(biāo)”設(shè)計(jì)，在現(xiàn)行各種教材上也難找到相對應(yīng)的數(shù)式變形的要求，這樣的命題導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)引向繁難，值得商榷.如果采用后續(xù)反思過程中提及的將矩形旋轉(zhuǎn)45°的方法，又有一個(gè)麻煩，是否所有矩形的所謂測度面積都是旋轉(zhuǎn)45°后，測度面積獲得最大？理由何在？這只是從前兩問猜想和發(fā)現(xiàn)的一種經(jīng)驗(yàn)，可見深入思考這個(gè)“經(jīng)驗(yàn)問題”還是有積極價(jià)值的.

1.周艷娟.關(guān)于試題人文價(jià)值的另類思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（下），2015（1）.

2.劉東升.并列式問題與遞進(jìn)式求解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2012（8）.