換元法在求極限中的應用舉例

丁艷風 張玉靈

摘 要：換元法又稱變量替換法，它在參與數(shù)學計算和其他學科中起著重要的作用。在數(shù)學計算中不僅在所有中學數(shù)學計算中起著舉足輕重的作用，在大學數(shù)學上的作用也不可忽視。該文僅就大學數(shù)學微積分課程中，換元法在求極限運算中的作用做一下簡單闡述，通過例子我們將會看到換元法無處不在，只要靈活運用，不管多么抽象、多么復雜的數(shù)學式子都會變得容易多了。極限過程有很多種，我們通過常見的學生易錯的“”型、“”型、“”型等未定式的極限來體現(xiàn)一下?lián)Q元法的妙處。

關鍵詞：換元法 極限 未定式 羅比達法則

中圖分類號：O17 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）12（a）-0249-03

Abstract：Change element method called variable substitution method，it plays an important role in mathematics and other disciplines.In mathematics not only in the calculation of all the middle school mathematics plays an important role in College Mathematics role can not be ignored.The calculus mathematics courses in universities，change element method in limit operation do a simple exposition，through examples，we will see changing Yuan Law is everywhere，as long as the flexible use，regardless of how abstract，how complex mathematical formula will becomes much easier.Limit process there are many，we through the common student error prone“”type，“”type，“”type without formulary limit to reflect the look for the beauty of element method.

Key Word：Method of Transformation；Limit；Infinitive；Robida Rule

美國著名數(shù)學教育家G.波利亞在《怎樣解題》中說過：“數(shù)學教學的目的在于培養(yǎng)學生的思維能力”“掌握數(shù)學就意味著要善于解題”“而數(shù)學解題就是命題的連續(xù)變換”[1]。

換元法就是在解數(shù)學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換對象，把陌生的問題轉化為熟悉的問題，把復雜的問題化為簡單的問題，從而變得容易處理。它可以化高次為低次、劃分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式，在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列三角等問題中有廣泛的應用。我們僅就換元法在求極限過程中的作用簡單闡述一下。

1 換元法在極限定義中的應用

極限不僅是微積分這門課程的重要工具，也是其他數(shù)學課程很多問題分析的基礎，所以，求極限就變得很重要。求極限不僅要準確理解極限的概念、性質和極限存在的條件，而且還要能準確的求出各種極限。求極限是初學微積分者首先要面對的問題，不論后續(xù)課程的求導、求積分、判斷級數(shù)的斂散性及二重積分都離不開求極限。求極限的方法很多，該文僅就一些細節(jié)部分，大家平時不易注意的地方稍作一下概括，接下來我們通過例子僅看一下?lián)Q元法在求極限的相關題目中的使用。

初學極限時，有些基本的需要直接用結果的極限時，需要驗證一下結論的正確性，而此時連續(xù)性這個概念還未介紹，只有極限的定義。接下來我們利用極限的定義和換元法來看一下最基本的求極限的例子。

此例告訴我們，在只有極限的定義可用的情況下，結合著換元法也同樣起到化繁為簡的效果。

2 換元法在求極限中的應用

求函數(shù)極限出現(xiàn)在微積分課本的第二章，在羅比達法則未介紹之前，對于有些“”型、“”型等未定式的極限，若采用換元法會使計算更簡單，學生也更能接受。接下來我們分幾種情況對這個問題闡述一下。

2.1 換元法在求“”型未定式的極限中的應用

例2：求極限。

此例形式為簡單的“”型，但是要證明二者為等價無窮小不做換元是不容易解決的，做一下?lián)Q元就豁然開朗了。若我們令，利用反函數(shù)與復合函數(shù)的關系既得，從而就化為第一重要極限的形式了。

與此例類似的還有極限，同樣做換元令，就很容易轉化為第一重要極限的形式了。接下來看一個多項式的例子。

例3：證明：當X→0時，-1與是等價無窮小。

因為，此極限為“”型，若直接利用多項式的因式分解也可以做出來，但是式子太麻煩，原因是多項式的指數(shù)都為分數(shù)，學生不易看懂。若換元令則，從而函數(shù)就化為關于的多項式的形式了，這樣就很容易把指數(shù)是分數(shù)的函數(shù)變成指數(shù)是整數(shù)的函數(shù)了，這樣就化為我們常見的多項式了，因式分解后一目了然，學生也很容易接受。

例4：求極限。

此例子直接用等價無窮小代換的推廣形式即可算出，但是初學者不太會靈活運用，且在使用過程中還容易出錯。若此時令，就是極限過程從轉化為，而函數(shù)也變得簡單了，這樣學生做起來就更容易接受且不易出錯了。

例5：設函數(shù)在內連續(xù)，求常數(shù)。

分析：由已知及連續(xù)的定義知函數(shù)在處連續(xù)從而有，而左式的求極限卻是不少同學的難點。原因是羅比達法則還未介紹，若使用一步就算出來了。若用換元法令，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質就可以把極限形式化為常見的等價無窮小的形式了。

2.2 換元法在求“”型極限中的應用

“”型未定式求極限一般思路就是化為“”型或“”型，這時就有一個把誰放到分母上的問題，有些題目若不做換元直接轉化反而會更麻煩，所以，在轉化之前一定要根據(jù)題目的特點靈活應用。

例6：求極限。

這種類型的極限是“”型未定式求極限同時也是在等價無窮小代換沒學之前遇到的，剛學過第一重要極限，學生做的錯誤百出，什么樣的錯誤都有，其實若在做的過程中做個換元令，極限過程就從“”轉化為“”，而函數(shù)就轉化成大家都熟悉的形式了，這樣不僅把過程變得簡單了，還不容易出錯，把所有易出錯的地方就都避免了。

例7：求極限。

此極限是“”型未定式求極限，此時羅比達法則已經(jīng)學過，再做這類題目就是把“”型轉化為“”型或“”型，這就需要有一個因子要放到分母上，但都是太麻煩，若作等價無窮小代換又與平時常見的等價無窮小類型不一樣，這時不妨做個換元令，極限過程就化為，而同時函數(shù)也化為常見的等價無窮小的形式了，這樣學生做起來就不容易出錯，求極限就變得簡單多了。

例8：求極限。

此極限類型與上題是一種類型，也是“”型未定式求極限，做題方法仍是轉化為“”型或“”型，若不做個換元而直接轉化，進而使用羅比達法則會越算越麻煩。這個題目的簡單做法就是令，則函數(shù)就化為常見的形式，且極限過程也從轉化為了。

2.3 換元法在求“”未定式中的應用

對于“”未定式求極限，常常采用的方法是通分或者根式有理化化為“”型或“”型，但是有些問題并沒那么簡單，大多數(shù)學生第一步都會，就是接下來錯誤百出，極個別類型題學生第一步就不知從何下手，接下來的兩個題目告訴我們換元法在解決這個問題時的方便之處。

例9：求極限。

此極限把函數(shù)通分就可以化為“”型，利用羅比達法則就可以做出來，但是分母是兩個函數(shù)的乘積，求導有點繁瑣，若換元令，再結合等價無窮小代換就可以避免分母是兩個函數(shù)乘積的情況，這樣計算起來不僅簡單而且不易出錯。

例10：求極限。

此類型亦為“”型，這個題目有點特殊，通分沒分母，根式有理化沒根號，一時間給人一種無從下手的感覺。這時就要創(chuàng)造分母，做一個換元就可以解決這個難題，此換元法也可稱為“倒代換”（即倒數(shù)代換）。

若我們令，就創(chuàng)造了分母，通分后就化為了“”型，直接利用羅比達法則就很容易做出來了。

3 結語

由上可知，換元法在求極限的過程中無處不在，不僅在極限的定義中有方便之處，在不同類型的極限中也起著簡化計算的作用。其實換元法在微積分的教學中有著廣泛的應用，解題時大家可以根據(jù)問題的特點，靈活運用，這樣能給問題帶來方便。因此，在數(shù)學的學習時，特別是計算數(shù)學問題時，要有意識的訓練運用換元法的技能，有效地提高解題的應變能力與思維能力，從而增強學生學習數(shù)學的興趣。

參考文獻

[1] G.波利亞.怎樣解題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007：2-10.

[2] 成立社.微積分[M].鄭州：鄭州大學出版社，2007.

[3] 趙樹嫄.微積分[M].3版.北京：中國人民大學出版社，2007.

[4] 統(tǒng)計大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].6版.北京：高等教育出版社，2006.