混凝土灌注樁中混含硫酸鹽的時變分布規(guī)律

姚明博，李鏡培

(同濟大學(xué) 地下建筑與工程系;巖土及地下工程教育部重點實驗室,上海 20092)

混凝土灌注樁中混含硫酸鹽的時變分布規(guī)律

姚明博，李鏡培

(同濟大學(xué) 地下建筑與工程系;巖土及地下工程教育部重點實驗室,上海 20092)

硫酸鹽環(huán)境下，為模擬混凝土灌注樁施工時混入的硫酸鹽在樁中的時變分布行為，基于Fick第二定律并結(jié)合初始條件與邊界條件，應(yīng)用分離變量法，建立硫酸鹽在樁中的時變分布模型。通過算例將本文解與傳統(tǒng)解進行比較，并進一步探討了硫酸鹽擴散分布的影響因素和影響規(guī)律。結(jié)果表明，傳統(tǒng)解用于分析混凝土灌注樁樁中硫酸鹽擴散有局限性，而本文解相對于傳統(tǒng)解具有一定的優(yōu)勢?；炷凉嘧栋霃皆叫?，應(yīng)用傳統(tǒng)解分析灌注樁中硫酸鹽時變分布誤差較大，同時，誤差隨時間增大。硫酸鹽在混凝土灌注樁中的時變分布呈沙漏形，沿半徑方向x=0處和樁表面處擴散行為明顯，在x=0處附近區(qū)域，初始第一年擴散速率較快，在后續(xù)的50 a內(nèi)擴散速率顯著減小，但每10 a的平均速率基本相同。擴散系數(shù)和初始濃度梯度對硫酸鹽在混凝土灌注樁中的時變分布影響較大。

時變分布；擴散；硫酸鹽；混凝土灌注樁

硫酸鹽通過擴散進入混凝土灌注樁，并與混凝土水化產(chǎn)物反應(yīng)，使混凝土灌注樁膨脹開裂或降低混凝土膠結(jié)能力，加速了混凝土灌注樁性能劣化。因此，研究硫酸鹽對混凝土灌注樁的侵蝕過程與機理顯得尤為必要。在硫酸根離子擴散機理研究方面，Samson等[1]采用擴展的能斯特-普朗克模型來解釋離子擴散機制，考慮化學(xué)活性效應(yīng)，預(yù)測溶液中離子在化學(xué)勢梯度下的擴散。Marchand等[2]考慮離子傳輸與化學(xué)平衡建立了數(shù)值模型，Tixie等[3-4]建立了化學(xué)-力學(xué)數(shù)學(xué)模型，Samson等[5]基于算子分裂方法建立了多離子傳輸模型，Sarkar等[6]采用數(shù)值方法，來模擬混凝土在侵蝕環(huán)境中的劣化。Lorente等[7]對比分析了硫酸鎂和硫酸鈉兩種硫酸鹽的遷移與擴散結(jié)果，揭示了硫酸鎂擴散更慢的原因。同時，電位差對硫酸鹽的遷移有顯著影響，加速了混凝土的腐蝕與性能退化。Andrés等[8]建立硫酸鹽環(huán)境下混凝土化學(xué)-力學(xué)有限元模型，考慮裂縫對離子傳輸?shù)挠绊?，采用基于斷裂本?gòu)關(guān)系的零厚度單元，從細觀角度進行擴散-反應(yīng)分析。從理論解析、建立數(shù)值模型、室內(nèi)試驗三方面揭示硫酸根離子在混凝土中的擴散規(guī)律及影響因素。目前，對于混凝土樁中的離子擴散問題，主要研究有海水環(huán)境下的氯離子在混凝土管樁中的擴散規(guī)律[9],以及混凝土管樁的壽命理論模型及壽命預(yù)測，都涉及了氯離子在混凝土管樁中的擴散研究[10-13]。對于上述氯離子在管樁中的擴散機理以及前文中所述的硫酸鹽在常規(guī)混凝土試件中的擴散機理研究，都是基于溶液中的離子從外部進入硬化成型的混凝土試件內(nèi)部。而對于硫酸鹽環(huán)境中的現(xiàn)澆混凝土灌注樁，在未硬化前則隨機混入含硫酸鹽的腐蝕介質(zhì)，類似的內(nèi)部擴散機理研究尚不多見，因此，針對此類問題的研究顯得尤為必要。

為了更加切實的模擬硫酸鹽環(huán)境下灌注樁中硫酸鹽的內(nèi)部封閉擴散行為，筆者基于Fick第二擴散定律，考慮邊界不與外界發(fā)生硫酸鹽的擴散，應(yīng)用分離變量法和貝塞爾函數(shù)性質(zhì)，建立了硫酸鹽在混凝土灌注樁中任意分布的擴散模型，并與傳統(tǒng)擴散模型進行比較，最后，通過算例分析了混凝土灌注樁中硫酸鹽的時變分布行為及有關(guān)參數(shù)的影響。

1 硫酸鹽在灌注樁中的分布模型解析

在硫酸鹽環(huán)境條件下施工的混凝土灌注樁，不可避免的會混入硫酸鹽為主的腐蝕介質(zhì)。設(shè)混凝土灌注樁半徑為r=a，如圖1所示，初始時刻混凝土灌注樁中硫酸根離子分布為f(r)，即圖1(a)中隨機分布不同大小的圓圈代表硫酸鹽質(zhì)量濃度的隨機分布。為了問題的簡化，特提出以下假定：

1)不考慮灌注樁中混入的硫酸鹽與混凝土水化產(chǎn)物發(fā)生化學(xué)反應(yīng)以及外界硫酸鹽的侵蝕。

2)只考慮硫酸根離子在混凝土灌注樁樁中的徑向擴散，且樁邊界處不可滲透，即發(fā)生擴散時樁邊界處濃度梯度為零。

3)只考慮硫酸鹽沿半徑方向的分布，如圖1(b)所示，r=x處混入的硫酸鹽質(zhì)量濃度最大，近似等效為以r=x處為濃度峰值的線性分布，如圖1(c)，則只需要取其中一段的濃度分布分析即可，r=x處左右兩側(cè)硫酸鹽質(zhì)量濃度梯度不同的擴散分析詳見3.3節(jié)。

圖1 樁中硫酸鹽隨機分布簡化分析圖Fig.1 Schematic representation of the simplification made on stochastic distribution of sulfate in pile plane

選取單位長度的混凝土灌注樁進行分析，根據(jù)上述假定，硫酸根離子的擴散規(guī)律僅為半徑r和時間t的函數(shù)。硫酸根離子在混凝土灌注樁中的擴散系數(shù)為D，依據(jù)硫酸根離子質(zhì)量守恒和Fick第二擴散定律可得：

(1)

式中:u為樁中硫酸鹽沿半徑方向的質(zhì)量濃度。式(1)的初始和邊界條件為

(2)

應(yīng)用分離變量法，設(shè)u(r,t)=R(r)T(t)，代入式(1)得

(3)

式中:β2為分離常數(shù),β>0，式(3)的通解為：

(4)

式中:J0和Y0分別為第一類和第二類零階貝塞爾函數(shù)。

由于u(r,t)的有界性，B=0，再由式(2)中的邊界條件得J0′(βa)=0或J1(βa)=0。即βa是J1(x)的零點，以μn(n=1,2,…)表示J1(x)的正零點，則β=μn/a，所以取

(5)

這樣,un=Rn(r)Tn(t)滿足式(1)擴散方程和式(2)中的邊界條件，還需同時滿足J0′(βa)=0。由疊加原理，函數(shù)

(6)

也滿足式(1)擴散方程和式(2)中的邊界條件，根據(jù)式(2)中的初始條件得

(7)

利用貝塞爾函數(shù)的正交性，得

Cma2J02(μm)/2

(8)

(9)

式(9)即為混凝土灌注樁中硫酸鹽時變分布模型解析解。

取圖1(c)中x處右側(cè)線性分布進行分析，該線性分布向左平移x單位，使x=0，即f(r)=u0(1-kr)，式(9)加號右邊部分采用分部積分及引入斯特魯夫函數(shù)解得

(10)

式中:S1為一階斯特魯夫函數(shù)。將式(10)代入式(9)得

(11)

若k=a-1,帶入式(11)得

u(r,t)=

(12)

2 傳統(tǒng)三角級數(shù)解析

為了便于與本文解答進行對比，取單位長度的平板，其厚度為2a,如圖2所示。板厚關(guān)于x=0對稱，只考慮x方向[0,a]區(qū)間的一維擴散，硫酸鹽在板邊界x=a處不與外界發(fā)生擴散，板內(nèi)硫酸鹽沿x正方向的分布為f(x)。

圖2 傳統(tǒng)平板截面內(nèi)硫酸鹽隨機分布Fig.2 Stochastic distribution of sulfate in slab plane

根據(jù)初始條件與邊界條件、離子質(zhì)量守恒與Fick第二擴散定律可得

(13)

結(jié)合邊界條件和初始條件[15]得解為

(14)

同理，f(x)=u0(1-x/a)，式(14)進行積分得

(15)

式中：n=2m+1,m=0,1,2,…。

3 算例及影響因素分析

3.1 與傳統(tǒng)三角級數(shù)解答的比較

混凝土灌注樁半徑為250mm，相當(dāng)于平板厚度為500mm，擴散系數(shù)D按文獻[3]取值為10-12m2/s，經(jīng)單位換算后約為32 mm2/a，x=0處初始質(zhì)量濃度u0為3%。分別取擴散時間為1、10、20、50、100a，灌注樁半徑為50、150、250mm，按照本文方法和傳統(tǒng)三角級數(shù)解答進行計算，并進行交叉對比，如圖3所示。當(dāng)擴散時間為1a時，如圖3(a)所示，兩種解析得出的硫酸鹽質(zhì)量濃度分布吻合度比較高，硫酸鹽質(zhì)量濃度分布差異性不明顯，尺寸效應(yīng)對硫酸鹽質(zhì)量濃度分布的影響亦不明顯。當(dāng)擴散時間為10a時，如圖3(b)所示，兩種解析得出的硫酸鹽質(zhì)量濃度分布差異性明顯，傳統(tǒng)解得出的質(zhì)量濃度分布略高，平均擴散速率更慢；而隨著混凝土灌注樁半徑的減小，兩種解得出的硫酸鹽質(zhì)量濃度分布差異性增大，尺寸效應(yīng)影響明顯。20～100a的時間節(jié)點上，如圖3(c)、(d)、(e)所示，同尺寸的兩種解答得出的硫酸鹽質(zhì)量濃度分布差異性隨時間進一步增大，尺寸效應(yīng)影響更加明顯。當(dāng)擴散時間為100年時，在現(xiàn)有假設(shè)條件下，隨著灌注樁半徑成倍增大至1 000mm時，兩種解答差異又逐漸減小至接近可忽略的程度，如圖3(f)所示。根據(jù)圖3(d)、(e)、(f)的解析結(jié)果可以看出，當(dāng)灌注樁樁半徑較小時，傳統(tǒng)解法應(yīng)用于灌注樁中的硫酸鹽擴散分析與本文解的差異較大，形狀因素對傳統(tǒng)解析所得的結(jié)果影響較大；灌注樁半徑足夠大時，樁的形狀因素對傳統(tǒng)解的影響可以忽略。因此，灌注樁的形狀和尺寸大小對傳統(tǒng)解析所得結(jié)果的影響是相互制約的，傳統(tǒng)解適合于圓柱樁中硫酸鹽的初期擴散分析以及尺寸足夠大的圓柱樁中硫酸鹽擴散分析，因而具有局限性。

圖3 硫酸鹽解析分布對比Fig.3 Comparison of sulfate analytical distributions

綜上所述，硫酸鹽擴散分布的解答與擴散域的形狀密切相關(guān)；同時，傳統(tǒng)解法應(yīng)用于灌注樁中硫酸鹽的擴散分析，與本文解相比，受擴散時間和樁尺寸制約?；炷凉嘧杜c常見的梁、板等平面結(jié)構(gòu)形式不同，其硫酸鹽在混凝土灌注樁中的擴散行為也會有所差別；尺寸越小，硫酸鹽在兩種擴散域的擴散行為差異性越大。因此，針對傳統(tǒng)解用于圓柱形樁中硫酸鹽擴散分布分析的局限性，本文解的提出有助于更加準(zhǔn)確分析硫酸鹽在圓柱形樁中的擴散分布行為。

3.2 灌注樁中硫酸鹽時變分布規(guī)律

圖4 灌注樁中硫酸鹽初始線性分布的時變分布Fig.4 Time-varying distribution of sulfate in bored pile with the initial linear distribution of sulfate

當(dāng)灌注樁中硫酸鹽分布是線性分布時，由式(11)得出不同擴散時間下的質(zhì)量濃度分布，并與初始質(zhì)量濃度分布進行比較，如圖4所示。在x=0，硫酸鹽初始質(zhì)量濃度最大，為3%。由于樁中沿半徑方向初始硫酸根質(zhì)量濃度梯度較大，擴散速率較快，x=0處硫酸鹽質(zhì)量濃度減少量為0.3%，為初始質(zhì)量濃度的1/10。在1a后的50a內(nèi)，隨著x=0處硫酸根離子在樁中不斷擴散，硫酸鹽質(zhì)量濃度梯度減小，擴散速率大大降低，但擴散速率比較穩(wěn)定，每一年的硫酸鹽質(zhì)量濃度降低量大約為0.01%，為初始質(zhì)量濃度的1/300。第2個50a間的擴散速率，與第1個50a間的平均擴散速率相比略有下降，每一年的硫酸鹽質(zhì)量濃度降低量為0.008%。對于樁身表面處，初始硫酸鹽質(zhì)量濃度為零。在初始擴散階段的1a內(nèi)，同理，樁表面處硫酸鹽質(zhì)量濃度增加量為0.3%，為初始質(zhì)量濃度的1/10。但硫酸鹽在后續(xù)的擴散過程中，樁身表面處硫酸鹽質(zhì)量濃度的增加規(guī)律不夠明顯。另外，從圖4中可以得知，灌注樁中的硫酸鹽時變分布整體呈沙漏型，隨著時間的變化，x=0處與樁表面的硫酸鹽質(zhì)量濃度差減少，整體硫酸鹽質(zhì)量濃度梯度減?。淮蟾旁陔x樁軸心為0.6r處有一個硫酸鹽質(zhì)量濃度不變點，猶如沙漏的中間通道，在空間表現(xiàn)為臨界質(zhì)量濃度通過面。

3.3 灌注樁中硫酸鹽不同質(zhì)量濃度梯度的分布規(guī)律

擴散速率大小與濃度梯度大小有關(guān)，取k=0.5 a-1，t=20 a。從圖5中可以得出，不論質(zhì)量濃度梯度大小，[0,50]和[200,250]范圍內(nèi)兩區(qū)間的梯度變化較大， 擴散作用明顯。剩余區(qū)域硫酸鹽質(zhì)量濃度梯度變化不明顯，質(zhì)量濃度略有下降。另外，質(zhì)量濃度梯度越大，兩端區(qū)域擴散速率越大，質(zhì)量濃度變化量越大。

圖5 不同質(zhì)量濃度梯度的硫酸鹽分布Fig.5 Sulfate distribution with different concentration gradients

3.4 擴散系數(shù)不同時灌注樁中硫酸鹽分布規(guī)律

硫酸鹽在混凝土材料中的擴散系數(shù)取值范圍[4]為(0.75～9)×10-12m2/s,在此范圍內(nèi)擴散系數(shù)取值32、62、92 mm2/a進行分析，t=20 a。如圖6所示，在同一時間內(nèi)，硫酸鹽擴散系數(shù)越小，單位時間內(nèi)的硫酸鹽擴散量越小，質(zhì)量濃度梯度越大。因此，硫酸鹽擴散系數(shù)大小對硫酸鹽在灌注樁中的擴散影響比較顯著。

圖6 不同擴散系數(shù)的硫酸鹽分布Fig.6 Sulfate distribution with different diffusion coefficients

4 結(jié) 論

建立了混入混凝土灌注樁中的硫酸鹽在樁中的封閉擴散模型，并與傳統(tǒng)解析比較，得出了兩種解答的一致性與差異性，表明傳統(tǒng)解法應(yīng)用于混凝土灌注樁中具有局限性，且通過算例分析了硫酸鹽在灌注樁中的時變分布規(guī)律以及參數(shù)影響，得出如下結(jié)論。

1)當(dāng)灌注樁尺寸越大，或硫酸鹽在混凝土灌注樁中的擴散時間越短，尺寸效應(yīng)對硫酸鹽在灌注樁中的時變分布影響越小，本文解與傳統(tǒng)解兩者具有很高的一致性，吻合度很高；反之則具有一定的差異性，由此進一步表明，硫酸鹽的擴散行為與域密切相關(guān)。

2)灌注樁中硫酸鹽的初始質(zhì)量濃度梯度一定，隨時間增加，質(zhì)量濃度梯度不斷減小，梯度越大，初期擴散作用越明顯；硫酸鹽在x=0處初始一年內(nèi)平均擴散速率較快，在后續(xù)的50a內(nèi)平均擴散速率趨于穩(wěn)定，樁身表面附近區(qū)域規(guī)律不明顯。

3)硫酸鹽在混凝土灌注樁中的時變分布呈沙漏形，樁中硫酸鹽質(zhì)量濃度差隨時間不斷減小，擴散系數(shù)越大，硫酸鹽越容易在更短時間內(nèi)擴散均勻。

硫酸鹽與混凝土水化產(chǎn)物發(fā)生化學(xué)反應(yīng)是影響硫酸鹽在混凝土灌注樁中分布的一個非常重要的因素，也是導(dǎo)致混凝土結(jié)構(gòu)耐久性退化、服役壽命縮短的重要環(huán)境因素之一，在后續(xù)的研究中，有待對硫酸鹽在灌注樁中的反應(yīng)-擴散進一步深入，以及考慮內(nèi)外擴散腐蝕對樁中硫酸鹽分布的影響。

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(編輯 王秀玲)

Theoretical analysis of the time-varying distribution behavior of bored pile internal mixed sulfate

YaoMingbo,LiJingpei

(Department of Geotechnical Engineering;Key Laboratory of Geotechnical and Underground Engineering of Ministry of Education,Tongji University,Shanghai 200092,P.R. China)

The time-varying distribution behavior of sulfate with diffusion is investigated for bored pile internal mixed corrosion at different amounts of service times. The formulation of diffusion,based on Fick-second law combined with the initial condition and the boundary condition,for sulfate in the bored pile is formed with the method of separation of variables. A model of concrete pile is offered as an example for illustrating the time-varying distribution behavior of sulfate and making comparison with the traditional model. Further,the influence factors and their effects on the sulfate diffusion distribution are also analyzed. The results show that the application of traditional method in analysis of sulfate diffusion in bored pile has some limitations and advantages of the proposed method are obvious. The radius of bored pile decreasing induces the discrepancy of sulfate distribution increasing with employing the traditional method,while the discrepancy increases over time. The time-varying distribution of sulfate in bored pile resembles hourglass figure that along the radius direction,diffusion behavior atx=0 and surface of pile is significant. In the region nearx=0,the diffusion rate of sulfate is fast during the first year and then the diffusion rate is dramatically reduced to constant rate during the 50 years. Diffusion coefficient and the concentration gradient of sulfate in bored pile have a pronounced effect on the time-varying distribution of sulfate.

time-varying distribution; diffusion; sulfate; bored pile

10.11835/j.issn.1674-4764.2015.05.014

2015-06-12 基金項目：國家自然科學(xué)基金(51178341)

姚明博(1987-)，男，博士,主要從事樁基耐久性研究,(E-mail)supersonic3035@qq.com。 李鏡培(通訊作者)，男，教授,(E-mail)lijp2773@#edu.cn。

Foundation item：National Natural Science Foundation of China(No.51178341)

TU528

A

1674-4764(2015)05-0095-06

Received:2015-06-12

Author brief：Yao Mingbo (1987-),PhD candicate,main research interest:durability of pile foundation,(E-mail)supersonic3035@qq.com. Li Jingpei (1963-),professor,(E-mail)lijp2773@#edu.cn.