改進(jìn)的自適應(yīng)算法在諧波檢測(cè)中的應(yīng)用

周美君，王云亮,2

（1.天津理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，天津 300384；2.天津市復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300384）

0 引言

近年來(lái)，由于電力電子技術(shù)的高速發(fā)展，各種電力電子設(shè)備的應(yīng)用日益廣泛，這些非線性負(fù)荷在給人們帶來(lái)巨大便利的同時(shí)卻給電網(wǎng)造成了嚴(yán)重的污染。諧波治理變得尤為重要，傳統(tǒng)的無(wú)源濾波器作為一種被動(dòng)的補(bǔ)償裝置，已經(jīng)不能滿足電網(wǎng)的要求。有源濾波器（active power filter APF）引起能夠?qū)崟r(shí)的抑制諧波和補(bǔ)償無(wú)功，克服了無(wú)源濾波器的缺點(diǎn)，在諧波治理方面發(fā)揮了重大的作用[1]。因?yàn)锳PF的性能在很大程度上依賴于指令電流的實(shí)時(shí)、準(zhǔn)確檢測(cè)。所以，如何快速，準(zhǔn)確的獲取諧波電流變得尤為重要。

在多種諧波檢測(cè)算法中，基于自適應(yīng)對(duì)消原理的自適應(yīng)諧波檢測(cè)算法因其計(jì)算簡(jiǎn)單、具有良好的魯棒性和和自學(xué)習(xí)能力，能對(duì)頻率和相位進(jìn)行精確的跟蹤，在近些年得到了廣泛的重視[2]。最早的LMS自適應(yīng)算法是由Widrow和Hoff在1960年提出的。但是傳統(tǒng)的定步長(zhǎng)LMS算法存在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。所以，有很多學(xué)者對(duì)變步長(zhǎng)LMS算法進(jìn)行了研究。所謂變步長(zhǎng)算法就是當(dāng)權(quán)值遠(yuǎn)離最佳值時(shí)，步長(zhǎng)較大，隨著權(quán)值接近最佳值，步長(zhǎng)慢慢變小。1992年，Kwong R H等提出Kwong算法，通過(guò)均方瞬時(shí)誤差e2(n)控制步長(zhǎng)的更新。1997年，覃景繁，歐陽(yáng)景正提出了基于Sigmoid函數(shù)LMS算法（SVSLMS） ，2001年，高鷹，謝勝利提出了Sigmoid函數(shù)的改進(jìn)算法。2009年，有學(xué)者發(fā)現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的的另一種s函數(shù)與Sigmoid函數(shù)具有相似特性的雙曲正切函數(shù)也有著與Sigmoid函數(shù)作為步長(zhǎng)時(shí)的優(yōu)點(diǎn)，因此，提出了以雙曲正切函數(shù)實(shí)現(xiàn)變步長(zhǎng)的LMS算法[3]。但是，它也有Sigmoid函數(shù)作為變步長(zhǎng)時(shí)的缺點(diǎn)即用反饋誤差來(lái)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)，只適用于高信噪比情況下?；诖耍形墨I(xiàn)提出了一種用時(shí)間平均估值梯度的自適應(yīng)濾波算法[4,5]。本文在對(duì)這些算法進(jìn)行研究之后，并且考慮到電網(wǎng)本身所具有低信噪比特性。提出了一種新的基于雙曲正切函數(shù)的歸一化最小均方算法。經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，該算法在有效的提高了權(quán)值收斂速度的同時(shí)，也降低了穩(wěn)態(tài)誤差。能夠較為準(zhǔn)確的提取出所需的電流。

1 基于雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)算法

基于雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)LMS算法的表達(dá)式如式

(1)所示[6]：

式(1)中，α＞0控制著雙曲正弦函數(shù)的形狀，而β＞0控制著該函數(shù)的取值范圍，式中的h＞0用來(lái)改善函數(shù)的底部形狀，基于雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)算法的顯著優(yōu)點(diǎn)是初始收斂速度快，但是穩(wěn)態(tài)誤差較大。

2 改進(jìn)的變步長(zhǎng)自適應(yīng)諧波檢測(cè)算法

針對(duì)雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)算法存在的收斂之后穩(wěn)態(tài)誤差大的缺點(diǎn)，本文提出了一種新的變步長(zhǎng)算法。改進(jìn)的變步長(zhǎng)算法利用誤差的均值估計(jì)代替誤差來(lái)控制步長(zhǎng)和權(quán)值的更新，同時(shí)為了使算法適用于大的動(dòng)態(tài)輸入范圍，引入了歸一化算法，增強(qiáng)了算法的魯棒性。最后，為了進(jìn)一步的提高收斂速度，引入動(dòng)量因子。改進(jìn)的變步長(zhǎng)算法如下所示：

式(2)是對(duì)誤差的均值估計(jì)，式中?是遺忘因子，它是用來(lái)調(diào)整當(dāng)前信號(hào)在對(duì)系統(tǒng)的影響中所占的比重。式(3)中β(n)是控制函數(shù)的形狀的。式(4)是步長(zhǎng)更新公式，式(5)、式(6)是改進(jìn)了的權(quán)值迭代公式。

3 改進(jìn)的自適應(yīng)諧波檢測(cè)算法分析

3.1 變步長(zhǎng)因子分析

首先來(lái)分析收斂條件，為了保證已有系統(tǒng)的穩(wěn)定性，使得算法能夠收斂，我們需要對(duì)步長(zhǎng)進(jìn)行限幅。

μ(n)的取值范圍如式(10)所示，它的表達(dá)式如式(7)所示：

其中，μmax=1/λmax，λmax是參考輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的最大特征值。μmin＞0，是一個(gè)較小的正數(shù)。μmin的選取應(yīng)該同時(shí)考慮到收斂速度和穩(wěn)態(tài)失調(diào)。

3.2 關(guān)于參數(shù)?、ε、η、α、β、m、k的選取原則

式(2)中?是遺忘因子，它是用來(lái)調(diào)整當(dāng)前信號(hào)在對(duì)系統(tǒng)的影響中所占的比重。一般的0＜?＜1。我們由參考文獻(xiàn)可以得出μ的收斂條件如式(7)所示，β是控制函數(shù)的取值范圍的，由式(4)可知，當(dāng)0＜β＜1/λmax時(shí)，則基于雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)算法必定收斂，但是并不是所有滿足這個(gè)范圍的β都能使算法的收斂達(dá)到很好的效果，理想的β應(yīng)該使算法在初始階段的時(shí)候μ(n)較大，而在權(quán)值達(dá)到最佳時(shí)，應(yīng)該使得μ(n)很小，所以β應(yīng)該隨著誤差的變化而變化，固定的β會(huì)引起較大的穩(wěn)態(tài)誤差。在式(3)中，關(guān)于ε、η的取值，為了保證收斂，二者需要滿足如下條件0＜ε＜1，η的取值很小，一般可在以小到10×10-5數(shù)量級(jí)左右。式(3)中，β(n)隨著上一時(shí)刻的值β(n-1)和誤差的均值估計(jì)T(n)的變化而變化,避免了因β固定而引起的穩(wěn)態(tài)誤差。α＞0 控制函數(shù)的形狀，α越小，函數(shù)底部形狀會(huì)越平緩。m＞0用來(lái)改善函數(shù)的底部形狀以減小穩(wěn)態(tài)失調(diào)。一般情況下，m越大，則函數(shù)的底部形狀越平緩則能夠減小穩(wěn)態(tài)失調(diào)。當(dāng)然，m也不是越大越好，當(dāng)m增加到一定程度時(shí)，也會(huì)引起穩(wěn)態(tài)失調(diào)，需要通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)尋找合適的m值。

最后，為了進(jìn)一步加快算法的收斂速度，引入動(dòng)量因子k，其中0＜k＜1。進(jìn)一步加快權(quán)值的收斂速度[8]。

4 算法的抗干擾性分析

我們從以往的文獻(xiàn)中已經(jīng)知道原有的定步長(zhǎng)算法存在著穩(wěn)態(tài)誤差和收斂速度之間的矛盾，而基于雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)算法雖然具有較高的動(dòng)態(tài)跟蹤能力，但是由于其用的是系統(tǒng)反饋誤差來(lái)更新步長(zhǎng)，因而容易受到畸變電流中諧波分量的影響,導(dǎo)致收斂精度較低[9]，詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程這里不再贅述。我們這里重點(diǎn)分析改進(jìn)的變步長(zhǎng)算法的抗干擾性。

4.1 誤差均值估計(jì)的引入

改進(jìn)的變步長(zhǎng)算法是利用誤差的均值估計(jì)來(lái)控制步長(zhǎng)的更新的，所謂的誤差的均值估計(jì)實(shí)際上相當(dāng)于對(duì)原有的反饋誤差信號(hào)加了一個(gè)滑動(dòng)時(shí)間窗，不斷的對(duì)窗內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)均值計(jì)算。這里運(yùn)用誤差的均值估計(jì)是因?yàn)樵陔娋W(wǎng)的諧波檢測(cè)中，穩(wěn)態(tài)電力諧波均值為0，利用誤差的均值估計(jì)的濾除負(fù)載電流中的畸變了的電流分量而得到實(shí)際的跟蹤誤差也即負(fù)載電流中的基波分量和通過(guò)自適應(yīng)諧波檢測(cè)算法檢測(cè)到的基波電流之差。

4.2 歸一化算法的引入

另外，在權(quán)值迭代過(guò)程中，引入歸一化算法，使算法適應(yīng)大的動(dòng)態(tài)輸入范圍，在輸入信號(hào)有大范圍動(dòng)態(tài)變化時(shí)，依然能保持系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其中分母中的c是一個(gè)很小的常數(shù)，避免出現(xiàn)使分母為0的情況。

5 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證改進(jìn)算法的準(zhǔn)確性，在MATLAB/simulink上搭建模型進(jìn)行仿真。在本仿真實(shí)驗(yàn)中，仿真參數(shù)選取如下：定步長(zhǎng)選取的為μ=0.005，基于雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)算法中，α=30，β=3×10-3，h=100，改進(jìn)的變步長(zhǎng)算法中，?=0.99，ε=0.95，η=3×10-6，α=30，h=100，k=0.3。

首先合成待檢測(cè)電流，其包含成分如表1所示，用下面五組數(shù)據(jù)來(lái)進(jìn)行試驗(yàn)說(shuō)明。數(shù)據(jù)如表1所示、檢測(cè)的結(jié)果如表2所示。

表1 待檢測(cè)諧波分量

表2 三種檢測(cè)算法提取基波有功電流畸變率比較

從表2的仿真數(shù)據(jù)可以看出，三種諧波檢測(cè)算法諧波檢測(cè)的精度雖然都會(huì)受到諧波畸變量的干擾。即當(dāng)諧波畸變量越高，算法檢測(cè)到的波形精度也會(huì)相應(yīng)的變低。但是同等情況下，改進(jìn)的變步長(zhǎng)算法相較于定步長(zhǎng)算法和基于雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)算法，改進(jìn)的變步長(zhǎng)算法檢測(cè)出的基波有功電流的諧波畸變率是最低的，定步長(zhǎng)算法次之，而基于雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)算法是最差的。

下面以50A的基波有功電流，諧波畸變率為27.31%為例進(jìn)一步來(lái)比較三種不同算法檢測(cè)出的基波有功電流。來(lái)比較三種算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差。合成的待檢測(cè)電流波形如圖1所示，其相應(yīng)的頻譜分析圖如圖2所示。

圖1 待檢測(cè)電流波形

圖2 待檢測(cè)電流的頻譜分析圖

用三種算法對(duì)待檢測(cè)電流中的基波有功電流進(jìn)行提取，提取出的基波有功電流如圖3所示，其中權(quán)值的收斂圖如圖4所示。之后再對(duì)三種算法穩(wěn)態(tài)跟蹤后的波形進(jìn)行FFT分析，其頻譜分析圖如圖5、圖6、圖7所示。

在圖3和圖4中，曲線1是傳統(tǒng)的定步長(zhǎng)LMS算法，曲線2是基于雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)算法，曲線3是改進(jìn)的變步長(zhǎng)算法，曲線4是參考曲線，即50A的正弦。

圖3 三種算法提取的基波有功電流波形

圖4 三種算法的權(quán)值收斂速度曲線

圖5 傳統(tǒng)的定步長(zhǎng)LMS算法

圖6 基于雙曲正切函數(shù)的變步長(zhǎng)算法

圖7 改進(jìn)的變步長(zhǎng)算法

三種算法先從收斂速度來(lái)比較，從圖3和圖4可以看出改進(jìn)的諧波檢測(cè)算法檢測(cè)到的波形在不到四分之一個(gè)周期左右就已經(jīng)能跟蹤參考波形，原始的變步長(zhǎng)算法則在一個(gè)半周期開(kāi)始跟蹤波形，收斂速度最慢的是定步長(zhǎng)算法，在將近3個(gè)周期才能跟蹤上參考波形。另外從圖4中可以看出，曲線3相比1、2來(lái)看，不僅收斂速度快，而且收斂之后曲線的波動(dòng)比較小，因而穩(wěn)態(tài)誤差也比較小。曲線2的收斂速度雖然有所增加，但是收斂后的波動(dòng)范圍也是最大的。曲線1收斂后的波動(dòng)相比于曲線2雖然小了許多，但是它的收斂速度是三者中最慢的。其次從圖5、圖6、圖7的FFT分析圖可以進(jìn)一步的來(lái)分析穩(wěn)態(tài)誤差，三者提取出的基波有功電流的畸變量分別為：傳統(tǒng)的LMS算法為1.32%，而原始的變步長(zhǎng)算是三者中最大的，達(dá)到了2.60%，而改進(jìn)的變步長(zhǎng)僅為0.42%。

從上面的仿真可以看出，三種諧波檢測(cè)算法中改進(jìn)的變步長(zhǎng)算法檢測(cè)出的基波有功電流的諧波畸變率是最低。并且在得到較低的畸變率的同時(shí)，還能有最快的收斂速度。

6 結(jié)論

基于電網(wǎng)諧波檢測(cè)速度和準(zhǔn)確性兩方面考慮，本文在對(duì)傳統(tǒng)的諧波檢測(cè)算法進(jìn)行研究的基礎(chǔ)上，提出了一種新的基于雙曲正切函數(shù)的改進(jìn)諧波檢測(cè)算法，該檢測(cè)算法以誤差的均值估計(jì)來(lái)代替系統(tǒng)誤差，以控制步長(zhǎng)的更新和權(quán)值的迭代，同時(shí)為使算法適應(yīng)大的動(dòng)態(tài)輸入范圍，在權(quán)值的迭代過(guò)程中引入了歸一化算法。另外，在權(quán)值的迭代過(guò)程中，引入了動(dòng)量因子，進(jìn)一步加快了算法收斂速度。最后，通過(guò)仿真驗(yàn)證，該算法在一定程度上有效的解決了系統(tǒng)的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。

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