有關(guān)“定點(diǎn)”問題的探究

☉內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中孫廣仁

有關(guān)“定點(diǎn)”問題的探究

☉內(nèi)蒙古赤峰市赤峰二中孫廣仁

有關(guān)“定點(diǎn)”問題在近幾年的高考試題中頻繁出現(xiàn)·本文將結(jié)合例題圍繞有關(guān)“定點(diǎn)”問題展開，以饗讀者·

一、探究直線過“定點(diǎn)”問題

例1（2009年高考江蘇第18題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：（x+3）2+（y-1）2=4和圓C2：（x-4）2+（y-5）2= 4·

（1）若直線l過點(diǎn)A（4，0），且被圓C1截得的弦長為，求直線l的方程；

（2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2，它們分別與圓C1和圓C2相交，且直線l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)·

解：（1）略·

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），直線l1、l2的方程分別為：

因?yàn)橹本€l1被圓C1截得的弦長與直線l2被圓C2截得的弦長相等，兩圓半徑相等，由垂徑定理，得圓心C1到直線l1的距離與圓心C2到直線l2的距離相等·

化簡得：（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5·

點(diǎn)評：本題實(shí)際上是探究兩條直線過同一“定點(diǎn)”問題，由于“過點(diǎn)P有無窮多對互相垂直的直線l1和l2”，注意到直線l1和l2的斜率是變化的，為此我們可以選擇l1的斜率k為變量·因?yàn)閮蓤A的半徑相等，由垂徑定理得到圓心C1到直線l1的距離與圓心C2到直線l2的距離相等，從而得到關(guān)于k的方程（2-m-n）k=m-n-3或（m-n+8）k=m+n-5有無窮多解，亦即與k無關(guān)·

變式：（2010年高考江蘇第18題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F，設(shè)過點(diǎn)T（t，m）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0·

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF|2-|PB|2=4，求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)x=2，x=，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；12

（3）設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）·

點(diǎn)評：考生普遍反映第三問計(jì)算量大·因?yàn)樯婕暗膭?dòng)點(diǎn)T（9，m）的縱坐標(biāo)m的不確定性，所以要求的定點(diǎn)肯定與m的值無關(guān)·不妨先研究特殊情況，當(dāng)直線MN與x軸垂直時(shí)，過x軸上的定點(diǎn)D（1，0），然后研究一般情況下直線MN過點(diǎn)D（1，0），這里又有兩條途徑：一是求出直線MN的方程，令y=0，解得x=1；二是運(yùn)用kDM=kND證明M、N、D三點(diǎn)共線·

二、探究圓過“定點(diǎn)”問題

例2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y2=2px上橫坐標(biāo)為4的點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)的距離為5·

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)C是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若以C為圓心的圓在y軸上截得的弦長為4，求證：圓C過定點(diǎn)·

變式：已知圓O：x2+y2=1，直線l1過點(diǎn)A（3，0），且與圓O相切·

（1）求直線l1的方程·

（2）設(shè)圓O與x軸相交于P、Q兩點(diǎn)，M是圓O上異于P、Q的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)A且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2于點(diǎn)P′，直線QM交直線l2于點(diǎn)Q′·求證：以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)·

點(diǎn)評：因?yàn)镸是圓O上異于P、Q的動(dòng)點(diǎn)，所以直線PM的斜率是變化的·故本題處理的方法有兩種：一是設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x0，y0），由圓C的方程與x0、y0無關(guān)，確定定點(diǎn)；二是設(shè)直線PM的斜率k，由圓C的方程與k無關(guān)，令y=0，求出定點(diǎn)·

三、探究平面內(nèi)存在定點(diǎn)問題

例3已知⊙O：x2+y2=1和點(diǎn)M（4，2）·

（1）過點(diǎn)M向⊙O引切線l，求直線l的方程·

（2）求以點(diǎn)M為圓心，且被直線y=2x-1截得的弦長為4的⊙M的方程·

（3）設(shè)P為（2）中⊙M上任一點(diǎn)，過點(diǎn)P向⊙O引切線，切點(diǎn)為Q·試探究：平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn)R，使得|PQ| |PR|為定值？若存在，請舉出一例，并指出相應(yīng)的定值；若不存在，請說明理由·

所以⊙M的方程為（x-4）2+（y-2）2=9·

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)R（a，b），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），相應(yīng)的定值為λ·

（1）求圓C的方程·

（2）若直線FG與直線l交于點(diǎn)T，且G為線段FT的中點(diǎn)，求直線FG被圓C所截得的弦長·

點(diǎn)評：對于第三問，設(shè)P（s，t），G（x0，y0），和點(diǎn)G在圓C上，得兩個(gè)關(guān)于x0、y0的方程，聯(lián)立可得一個(gè)關(guān)于x0、y0的方程，比較系數(shù)，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）·

總之，處理有關(guān)“定點(diǎn)”問題，要注意動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化，確定好誰為變量，加深對概念本質(zhì)的理解，培養(yǎng)思維的深刻性·同時(shí)也要對動(dòng)與靜的關(guān)系仔細(xì)觀察，便于尋求規(guī)律，培養(yǎng)思維的靈活性與廣闊性·A