學(xué)習(xí)形式化的表達是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項基本要求

☉湖南省株洲縣第五中學(xué)方厚良羅燦

學(xué)習(xí)形式化的表達是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項基本要求

☉湖南省株洲縣第五中學(xué)方厚良羅燦

在我國基礎(chǔ)教育階段，對數(shù)學(xué)的形式化及其教學(xué)一直是個爭論的話題，至今似乎仍無定論·影響較大的開端，源于1991年5月張孝達先生在西南師大的一個報告中“驚世駭俗”地提出“淡化概念”，誘發(fā)西南師大陳重穆、宋乃慶二位教授撰寫《淡化形式，注重實質(zhì)》（發(fā)表于1993年第2期《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》），繼而引發(fā)國內(nèi)學(xué)者對“形式”與“實質(zhì)（本質(zhì)）”的熱烈探討甚至爭議·進入21世紀(jì)，隨著新一輪課程改革的展開、深入，關(guān)于數(shù)學(xué)及其教學(xué)的“形式化”又有了新的變化，對形式化和本質(zhì)的認(rèn)識、處理直接影響了數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量與效果：教育家們曾基于“作為科學(xué)性原則的補充（或反思）”提出在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“淡化形式”（需要指出的是《淡化形式，注重實質(zhì)》一文主要針對初中數(shù)學(xué)教學(xué)）有其深刻的時代背景，即是對我國中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)受前蘇聯(lián)影響而過分強調(diào)“科學(xué)性”、過分形式化的批判，自有其積極意義；但矯枉過正，如今數(shù)學(xué)課“去數(shù)學(xué)化”鬧得厲害，數(shù)學(xué)課缺乏數(shù)學(xué)味，這必須引起我們的高度警覺！教育是一件十分重大的事情，不能從一個極端走向另一個極端·事實上，2003年國家教育部制定的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》對此作出了平衡意義下的表述，將“強調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”作為“課程的基本理念”之一，旨在指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中協(xié)調(diào)好“形式與本質(zhì)”的關(guān)系·從2004年廣東、山東、海南和寧夏四省率先實施課改至今已愈十年，課改的理念很好地得到踐行了嗎？一線教師對數(shù)學(xué)形式化教學(xué)要求處理到位了嗎？筆者的觀察是不太樂觀的：大家對“形式化”是很忌諱的，各種數(shù)學(xué)期刊、教育雜志刊發(fā)文章中，最熱鬧、最時髦的詞匯也許是“本質(zhì)”，而“形式”則是批判的對象，是作為“本質(zhì)”的對立面看待的！甚至將教學(xué)手段、方式誤解為數(shù)學(xué)“形式”的也大有人在！這些誤解、混淆、混亂是不正常不應(yīng)該的，嚴(yán)重影響了中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)·章建躍老師的《數(shù)學(xué)課要教數(shù)學(xué)》絕不是偶感而發(fā)，所列舉現(xiàn)象實乃頗具普遍性，筆者的思考是：10年課改，我們是不是應(yīng)對“作為科學(xué)性原則的補充（或反思）”再做反思？限于討論課題的專業(yè)性和復(fù)雜性，本文僅探討其中一個子課題，即“學(xué)習(xí)形式化的表達是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項基本要求”，側(cè)重探討如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中落實這一要求·

一、學(xué)習(xí)形式化的表達是數(shù)學(xué)教學(xué)的一項基本要求

1·數(shù)學(xué)教學(xué)為什么要學(xué)習(xí)形式化表達

首先，學(xué)習(xí)形式化表達是課標(biāo)對數(shù)學(xué)教學(xué)提出的一項基本要求·課標(biāo)指出：形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一·所以，避開、拋開數(shù)學(xué)的形式化是做不到的，也是不應(yīng)該的·課標(biāo)明確提出“在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化表達是一項基本要求”，請注意“基本”二字！試問，數(shù)學(xué)教學(xué)有哪些是基本要求？

其次，學(xué)習(xí)形式化的表達是達成“提高數(shù)學(xué)表達和交流能力”課程具體目標(biāo)的主要途徑·數(shù)學(xué)表達和交流當(dāng)然有多種方式和途徑，但誰也無法否認(rèn)，形式化表達是其主要方式，尤其是書面的、文本的成果展示·

再次，形式化表達是抽象概括、符號表示和推理論證等數(shù)學(xué)思維過程的重要環(huán)節(jié)和具體體現(xiàn)，是數(shù)學(xué)思維能力培養(yǎng)和理性精神啟蒙不可或缺的手段·“數(shù)學(xué)家在純粹數(shù)學(xué)的研究中，借助于明確的定義去構(gòu)造相應(yīng)的量化模式，并以此為直接對象去從事純形式的研究·”雖然教師教數(shù)學(xué)、學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)形式化的“質(zhì)”與“量”有很大的區(qū)別和不同，但有一點是肯定的：數(shù)學(xué)思維活動的展開離不開數(shù)學(xué)的形式化表達·最后，從非功利的人的素質(zhì)和精神層面的發(fā)展、累積來看，形式化表達有助于將對事物的形式與本質(zhì)思考導(dǎo)向哲學(xué)高度，提升智慧·形式與本質(zhì)的概念屬于哲學(xué)范疇，上溯古希臘，以亞里斯多德的《形而上學(xué)》為源；近窺現(xiàn)代數(shù)學(xué)，有希爾伯特“形式主義流派”為盛·隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、研究的深入，必然會提升到哲學(xué)層面的探索與思考，歷史上的大數(shù)學(xué)家像牛頓、萊布尼茨、希爾伯特、羅素、愛因斯坦等同時也是哲學(xué)家·我們的數(shù)學(xué)教師和學(xué)生，達不到這些大家思想的深度、高度和厚度，但“哲學(xué)就是愛智慧”，人人可以愛智慧，人人應(yīng)該愛智慧·

2·數(shù)學(xué)教學(xué)如何實踐“學(xué)習(xí)形式化的表達”

數(shù)學(xué)教學(xué)如何實踐“學(xué)習(xí)形式化的表達”這一要求呢？適當(dāng)?shù)亓私庑问剑ɑ?、本質(zhì)的概念、聯(lián)系、關(guān)系固然有益，但從以下幾個方面入手可能更重要、更實在：以數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論等具體知識為載體，特別是核心知識和內(nèi)容，通過內(nèi)核挖掘、表征選擇等不斷經(jīng)歷形式化過程；以數(shù)學(xué)特有的、具體的語言運用，如集合語言、算法語言、向量語言和邏輯用語等進一步在“語言”層面學(xué)習(xí)形式化表達；在公理和定理鏈條、具體數(shù)學(xué)方法的結(jié)構(gòu)、體系中了解、學(xué)習(xí)形式化表達；問題解決過程中通過推理與證明來學(xué)習(xí)形式化表達等·

（1）在數(shù)學(xué)核心概念、重要法則和結(jié)論構(gòu)建過程中學(xué)習(xí)形式化的表達·

世界知名幾何學(xué)家伍鴻熙教授在文3中提出了數(shù)學(xué)的五個基本原則，其中原則1是“每個數(shù)學(xué)概念必須精確定義，而定義是構(gòu)成邏輯推理的基礎(chǔ)·”在文中他沉重地指出目前中小學(xué)數(shù)學(xué)忽略定義已非常嚴(yán)重（這也被章建躍老師認(rèn)同的，見《數(shù)學(xué)課要教數(shù)學(xué)》）·“每個數(shù)學(xué)概念必須精確定義”在中小學(xué)數(shù)學(xué)可能難以做到（主要是基于學(xué)生學(xué)習(xí)的可接受性），但對核心概念還是要提出“精確定義”要求，章建躍老師主持的“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及教學(xué)設(shè)計的理論與實踐”課題，對核心概念教學(xué)進行了深入、系統(tǒng)和卓有成效的研究，構(gòu)建了概念教學(xué)“7環(huán)節(jié)”模式，指出概括是概念教學(xué)的核心，下定義（位于第4環(huán)節(jié)，“用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言表達”即形式化表達）建立在概括（即得到概念的本質(zhì)屬性）的基礎(chǔ)之上；張乃達先生在《教學(xué)設(shè)計與案例分析》一文中提出數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)必須經(jīng)歷“問題情境→觀念（胚胎）→概念”過程，指出“從觀念‘粗胚’到概念‘定義’是一個形式化過程”·兩位老師給我們指出了什么是概念學(xué)習(xí)的形式化表達：即用準(zhǔn)確（精確）的數(shù)學(xué)語言表達觀念或本質(zhì)屬性；同時也指出了形式化表達的時機和方法：即從樸素的觀念粗胚到嚴(yán)格的形式化的定義轉(zhuǎn)換，在共同本質(zhì)特征概括基礎(chǔ)之上用精確的數(shù)學(xué)語言表達·筆者認(rèn)為，在概念中學(xué)習(xí)形式化表達還有兩點是需要注意的：一是將概念的形式化表達既視為一個確定的對象又需關(guān)注它表述過程中的動態(tài)修正完善，對于后者意味著在教學(xué)中要盡可能讓學(xué)生用他們自己的話和方式多次的、反復(fù)的、多角度的表達；二是盡可能讓學(xué)生認(rèn)識、體會形式化表達的必要性和作用，這就要求教師精心設(shè)計問題和例子·下面所舉案例，僅重點探討學(xué)習(xí)形式化表達，不及其余；雖探討的是概念教學(xué)，但對法則和結(jié)論教學(xué)也基本相仿·

案例1：函數(shù)的單調(diào)性·

活動1：從圖形語言到自然語言表述·

教師用PPT展示一次函數(shù)f（x）=x和二次函數(shù)f（x）=x2的圖像，要求學(xué)生觀察、描述圖像的“升降變化”規(guī)律·

活動2：從數(shù)表語言到文字語言描述·

教師用PPT展示一次函數(shù)f（x）=x和二次函數(shù)f（x）=x2關(guān)于x、y值的對應(yīng)表，要求學(xué)生從自變量x取值大小變化刻畫對應(yīng)函數(shù)值y的大小變化規(guī)律·

活動3：將文字語言轉(zhuǎn)換成符號語言·

前面兩個活動應(yīng)視為不斷形式化的有機組成部分，是觀念粗胚形成、單調(diào)性本質(zhì)屬性抽象概括的重要階段·活動3則進入概念形式化實質(zhì)階段，包括用區(qū)間限定自變量范圍（單調(diào)性是在區(qū)間上討論的）、用不等式表示大小關(guān)系、關(guān)鍵詞“任意”、定義呈現(xiàn)的邏輯結(jié)構(gòu)“如果…，那么…”等不斷琢磨、精確化·具體操作時，可先給出增函數(shù)的定義，再讓學(xué)生模仿給出減函數(shù)的定義；先讓學(xué)生自己嘗試定義，再正式給出教材中規(guī)范的形式化定義·

活動4：證明函數(shù)f（x）=x2+1在（0，+∞）上是增函數(shù)·

給出一個簡單的函數(shù)證明它的單調(diào)性是有必要的，除了直接鞏固單調(diào)性概念，學(xué)會用形式化定義證明之外，還可通過學(xué)生板書過程及其暴露出的種種問題來規(guī)范、澄清一些認(rèn)識：圖像不能替代證明、說理不是推理、概念是證明的出發(fā)點等·

（2）以數(shù)學(xué)特有的、具體的語言運用，在“語言”層面學(xué)習(xí)形式化表達·

對于數(shù)學(xué)語言，大家熟悉的分類是文字語言、符號語言和圖表語言，在高中課程，還需要學(xué)習(xí)更為具體的數(shù)學(xué)語言，如集合語言、算法語言、向量語言和邏輯用語等·首先，這些具體語言有其規(guī)范的形式要求和特定的意義指向；其次，學(xué)習(xí)這些語言，其中一個主要目的是為了更好地、準(zhǔn)確簡潔地表述和刻畫數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)內(nèi)容·課標(biāo)指出：“高中數(shù)學(xué)課程只將集合作為一種語言來學(xué)習(xí)，學(xué)生將學(xué)會使用最基本的集合語言表示有關(guān)的數(shù)學(xué)對象，發(fā)展運用數(shù)學(xué)語言進行交流的能力·”“體會算法的基本思想……發(fā)展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力·”“能用向量語言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題……”“體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準(zhǔn)確地表達數(shù)學(xué)內(nèi)容，更好地進行交流·”所以，應(yīng)將這些語言學(xué)習(xí)看成是對數(shù)學(xué)形式化表達的一種要求·如課標(biāo)對算法的“說明與建議”中提出“本模塊中的算法內(nèi)容是將數(shù)學(xué)中的算法與計算機技術(shù)建立聯(lián)系，形式化地表示算法，在條件允許的學(xué)校，使其能在計算機上實現(xiàn)·”

案例2：秦九韶算法·

高中數(shù)學(xué)課程對算法形式化地表示一般經(jīng)歷自然語言表述→程序框圖→程序語句·以秦九韶算法為案例，具體內(nèi)容參看人教A版必修3P39·

（3）在公理和定理體系、具體數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)中了解、學(xué)習(xí)形式化表達·

新課程將立體幾何內(nèi)容作了很大的調(diào)整，改變了以往由公理到定理的演繹體系，消弱了對該內(nèi)容形式化要求，但作為數(shù)學(xué)老師，還是可以適當(dāng)介紹、滲透一些公理化思想，讓學(xué)生知道這一形式化系統(tǒng)（齊民友語）·［4］相對于消弱立體幾何公理化思想與形式化要求，與之對應(yīng)引人關(guān)注的一大變化則是專門設(shè)置“推理與證明”章節(jié)（選修1-2和選修2-2）、模塊4-1幾何證明選講、4-5不等式選講：不僅學(xué)習(xí)演繹推理，還要學(xué)習(xí)合情推理；不僅學(xué)習(xí)直接證明方法（綜合法、分析法等），還要學(xué)習(xí)間接法（反證法）；不僅在不等式選講中介紹（甚至與必修5、選修2-2內(nèi)容重復(fù)）證明不等式的基本方法，又在幾何證明選講中從幾何關(guān)系、性質(zhì)角度提出證明要求·學(xué)生學(xué)習(xí)這些方法，當(dāng)然要熟悉它的結(jié)構(gòu)、陳述形式，這是相對集中學(xué)習(xí)形式化表達的機會，有利于學(xué)生表達清晰、思考更有條理·

案例3：演繹推理的“三段論”·

先通過具體例子介紹“三段論”結(jié)構(gòu)，具有如圖1所示的形式·

圖1

再要求學(xué)生通過正反例子練習(xí)、思考、辨別，獲得“三段論”推理形式的正確認(rèn)識：只要前提和推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的；推理形式正確，大前提錯誤則結(jié)論錯誤（人教A版選修2-2P80“思考”）；“推理形式正確，大前提正確，結(jié)論正確，但小前提不是大前提的‘子集’”是偽證明（人教A版選修2-2P81練習(xí)3）·

（4）在問題解決過程中以推理與證明為核心來學(xué)習(xí)形式化表達·

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開問題解決，伍鴻熙教授五個基本原則的原則3是“每一個斷言都能用邏輯推理來證實，推理是數(shù)學(xué)的命脈，是解決問題的平臺·”在文3中對此還指出：就中小學(xué)數(shù)學(xué)中經(jīng)常缺乏推理而言，如果教師們還沒有經(jīng)過培訓(xùn)去讓學(xué)生持續(xù)地使用邏輯推理，我們怎么能要求學(xué)生解決問題呢？據(jù)此，一方面看出“推理與證明”對問題解決的重要性，另一方面卻是現(xiàn)實的無奈，這是不是受“淡化形式”和“淡化推理與證明”的影響呢？

張乃達先生在文5中從數(shù)學(xué)文化觀和理性精神的教育功能視角指出“數(shù)學(xué)證明規(guī)范是理性探索精神的產(chǎn)物，”“數(shù)學(xué)證明必須是演繹的證明，這仍然是數(shù)學(xué)證明的規(guī)范，這種規(guī)范的確定，正是理性探索精神的勝利！也是數(shù)學(xué)對人類文化發(fā)生重大影響的決定性因素·”認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)“應(yīng)該堅持演繹證明的要求”，并建議“教學(xué)中應(yīng)該把證明看成是一個過程，一種活動……重視提出問題、提出猜想、驗證猜想的過程……再在這個基礎(chǔ)上尋求演繹的證明……在證明中，要重視證明思路的探求過程，在證明后，要對證明的過程進行反思，以達到對證明的理解·”

二、結(jié)束語

事實上，要真正弄懂什么是數(shù)學(xué)（乃至一般事物）的形式與本質(zhì)是很困難的，正如前面的分析，形式與本質(zhì)的概念屬于哲學(xué)范疇，實屬深不可測，很多東西，數(shù)學(xué)家們都爭論不清（如什么是數(shù)學(xué)），所以，作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，不必在抽象和形而上學(xué)上對此過多“玄思深究”，不要把時間和精力耗費在無謂之爭上，相反，關(guān)注學(xué)生發(fā)展，為學(xué)生發(fā)展謀出路和改進教學(xué)才是最實在和最重要的事情·

1·鄭毓信·數(shù)學(xué)方法論［M］·南寧：廣西教育出版社，1996·

2·亞里斯多德，著·形而上學(xué)［M］·吳壽彭，譯·北京：商務(wù)印書館，1983·

3·伍鴻熙·數(shù)學(xué)的基本原則［J］·數(shù)學(xué)通報，2012（4）·

4·數(shù)學(xué)通報編輯·“現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其對中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的影響”數(shù)學(xué)家座談會紀(jì)要［J］·數(shù)學(xué)通報，1999（11）·

5·張乃達·數(shù)學(xué)證明和理性精神——也談數(shù)學(xué)證明的教學(xué)價值［J］·中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)，2003（6）·F