由一道高三試題的命制歷程感悟解析幾何復(fù)習(xí)

☉浙江省富陽中學(xué)錢麗談

由一道高三試題的命制歷程感悟解析幾何復(fù)習(xí)

☉浙江省富陽中學(xué)錢麗談

筆者有幸參加了浙江省新高考研究聯(lián)盟2015年第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文科）的命題工作，對(duì)其中第22題的命制與打磨有很多的思考與感悟·

一、試題

已知拋物線C：y2=4x，直線l：y=kx+2（k＞0）與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A，H為MN的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)·

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q在x軸上，記以QM、QN為鄰邊的菱形面積為S1，三角形AHQ的面積為S2，求的取值范圍·

二、命題立意

接到任務(wù)之后，筆者重新做了近三年浙江省文科高考試題，縱觀近三年高考，作為壓軸題的解析幾何試題基本穩(wěn)定在考查拋物線的幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力·因此，確定本次的命題立意：以拋物線為載體，考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，直線與直線、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力與推理論證能力，體現(xiàn)解析幾何以代數(shù)方法解決幾何問題的特質(zhì)·之后，圍繞這個(gè)主題，得到本題的初稿：已知拋物線C：y2=4x，直線l：y=kx+2（k＞0）與拋物線C交于M、N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)A，H為MN的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)·

（Ⅱ）在x軸上是否存在點(diǎn)Q（m，0），使得以QM、QN為鄰邊的四邊形是個(gè)菱形？若存在，求出m的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由·

三、命題打磨

1·題目數(shù)據(jù)的打磨

解析幾何問題的基本解法是以代數(shù)方法研究幾何問題，因此，無論是在編題還是在解題的過程中都要重視“數(shù)”與“形”的精準(zhǔn)對(duì)接，在命制試題的過程中，應(yīng)對(duì)自己給出的文字和圖形進(jìn)行反復(fù)推敲·

本題第一問設(shè)問“是否平行”，暗示學(xué)生要驗(yàn)證直線與拋物線是否有兩個(gè)交點(diǎn)，獲取參數(shù)k的取值范圍，可以很好地考查學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性·但是當(dāng)我們從圖形表征的角度，將直線2x+y-2=0和拋物線在同一直角坐標(biāo)系中畫出來之后，發(fā)現(xiàn)直線OH的斜率是正的，而直線2x+y-2=0的斜率為負(fù)的，肯定不可能平行，有的同學(xué)一看圖就可以看出答案來了，達(dá)不到“以代數(shù)方法研究幾何問題”的目的，所以將本題中的直線方程改為“2x-y-20”·

2·題目問題的打磨

本題的兩個(gè)問題都是存在性問題，帶有重復(fù)的味道，而且考查的知識(shí)也比較單一，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中涉及的弦長、距離等重點(diǎn)知識(shí)未涉及，不能突出平時(shí)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，因此，我們想將第二問設(shè)計(jì)為求一個(gè)函數(shù)的最值，這樣更貼近高考，同時(shí)也加大本題對(duì)思維能力和運(yùn)算能力的要求·

2015年的高考與以往有所不同：文科高考不考導(dǎo)數(shù)，因此，最后的最值問題不能用導(dǎo)數(shù)來解決，只能設(shè)計(jì)為用基本不等式或者已學(xué)過的函數(shù)的最值求解，另一方面，本題中的菱形面積可以巧妙地將解析幾何中的“中點(diǎn)、垂直、弦長”等?？贾R(shí)點(diǎn)進(jìn)行串聯(lián)，可以很好地考查學(xué)生數(shù)與形的轉(zhuǎn)化能力·最終，我們從數(shù)學(xué)簡單美的角度選取了以QM、QN為鄰邊的菱形面積S1和三角形AHQ的面積S2為研究對(duì)象，定稿為求的取值范圍·

顯然，解法2思路簡單，但是計(jì)算太煩瑣，學(xué)生必須要有很好的數(shù)據(jù)化歸能力和很強(qiáng)的計(jì)算能力，才能徹底計(jì)算到底，而解法1從整體上考慮問題，不必去算Q的坐標(biāo)以及三角形和菱形的面積，大大簡化了計(jì)算量·這兩種不同的解法體現(xiàn)了學(xué)生思維的不同層次，既可以使基礎(chǔ)弱的學(xué)生能上手解題，也可以使基礎(chǔ)好的學(xué)生思維得到發(fā)揮，具有很好的區(qū)分度·

與初稿相比，定稿在語言上顯得更精練，更明晰；在問題的設(shè)計(jì)上顯得更豐富，更飽滿；在問題的解答上顯得更有層次感，我們認(rèn)為是一道好題·

四、對(duì)解析幾何復(fù)習(xí)的幾點(diǎn)感悟

1·鉆研高考題，準(zhǔn)確定位復(fù)習(xí)目標(biāo)

俗話說“知己知彼，百戰(zhàn)百勝”，作為教師，不僅要認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)與考試說明，更重要的是要積極鉆研高考題·教師的研題與學(xué)生的做題在本質(zhì)上是完全不同的，教師在研題過程中往往會(huì)重點(diǎn)思考出題意圖，題目的本質(zhì)，學(xué)生的困難所在，教學(xué)的重點(diǎn)等·

通過大量的解題活動(dòng)，教師能更清晰地知道學(xué)生的解題盲區(qū)，能更好地提煉出適合學(xué)生的解題方法和指導(dǎo)策略，理解題目的內(nèi)涵，領(lǐng)會(huì)考查意圖，同時(shí)也能很好地感受近幾年解析幾何高考在考察內(nèi)容、考察方式上的穩(wěn)定與變化，從而在復(fù)習(xí)的過程中才能找準(zhǔn)復(fù)習(xí)重點(diǎn)，設(shè)立準(zhǔn)確的教學(xué)目標(biāo)·

2·運(yùn)用多元表征教學(xué)策略探尋解析幾何解題思路

表征是指信息或知識(shí)在心理活動(dòng)中的表現(xiàn)和記載方式，具有多種形式——文字表征、圖形表征、符號(hào)表征，許多研究表明：問題解決者的表征在他們解決問題中起關(guān)鍵作用·

解決解析幾何問題的基本方法是以代數(shù)方法研究幾何問題，在解題過程中，首先需要將文字信息與圖形條件進(jìn)行對(duì)應(yīng)與互補(bǔ)，通過用代數(shù)語言描述幾何要素及其關(guān)系，將已知的幾何條件表示成代數(shù)式子，然后進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)運(yùn)算得出代數(shù)結(jié)果，最后通過分析代數(shù)結(jié)果的幾何含義解決幾何問題·在這個(gè)復(fù)雜的過程中，要經(jīng)歷文字表征、圖形表征和符號(hào)表征之間的多種轉(zhuǎn)換·因此，我們必須重視對(duì)解析幾何問題的表征教學(xué)，幫助學(xué)生利用多種表征形式表征同一關(guān)系情境，以及促進(jìn)對(duì)這些表征之間等價(jià)關(guān)系的理解，從而促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建屬于自己的問題表征，形成正確的問題解決策略·

不同的表征方式可以提供不同的解題思路，如本題對(duì)題目條件“以QM、QN為鄰邊的菱形”的圖形表征如下所示·

文字表征是：①菱形是鄰邊相等的平行四邊形；②菱形的對(duì)角線互相垂直平分·

通過對(duì)圖形表征到文字表征、文字表征到符號(hào)表征的轉(zhuǎn)換，最終可以得到3種不同的代數(shù)表征，而這三種不同的代數(shù)表征就是三個(gè)解題突破口，可以得到三種不同的解法·

正如認(rèn)知心理學(xué)家西蒙所說的：“如果一個(gè)問題得到了正確的表征，可以說它已解決了一半·”因此，在解析幾何的復(fù)習(xí)中，教師要將問題的不同表征作為教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，盡可能地啟發(fā)學(xué)生從不同的角度表征題目的已知條件和目標(biāo)結(jié)論，使學(xué)生在豐富的表征情境中獲得開闊的解題思路，達(dá)到思如涌泉的境界·

3·運(yùn)用簡化計(jì)算的策略突破解析幾何的解題瓶頸

解析幾何以代數(shù)方法解決幾何問題的特點(diǎn)使得解析幾何問題的解決往往涉及煩瑣、冗長的運(yùn)算，這不僅影響解題的速度和準(zhǔn)確度，還會(huì)使學(xué)生陷入解題困境，喪失解決問題的信心·我們?cè)谄匠５慕虒W(xué)中，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的現(xiàn)象：學(xué)生有解題思路，但是總算不到底，學(xué)生對(duì)解析幾何的印象也只有一個(gè)字：繁·所以如何簡化計(jì)算應(yīng)成為解析幾何復(fù)習(xí)中要著重解決的任務(wù)·

就本題而言，可以運(yùn)用以下三種簡化計(jì)算的策略·

①整體代換簡化計(jì)算·見本題上述參考答案的解法1·

②探尋幾何意義簡化計(jì)算·本題若選用上述向量表征進(jìn)行解題，會(huì)涉及以下煩瑣的計(jì)算：MN的斜率k，問題就可以迎刃而解了·

③消元簡化計(jì)算·設(shè)而不求是解決解析幾何問題的通法，在解決幾何問題的過程中，往往會(huì)涉及很多變量，面對(duì)這么多的變量，學(xué)生往往感覺無從下手，從而放棄計(jì)算·如對(duì)于本題，很多學(xué)生選用菱形鄰邊相等的性質(zhì)束手無策了，實(shí)際上，在解題時(shí)使得變量越少越好是一x2=2m-4這樣一個(gè)簡單的式子·

總之，解析幾何的復(fù)習(xí)既要有“條條大路通羅馬”的探索精神，更要有“走最短的路到羅馬”的優(yōu)化思想