在MVBVF條件下的加權(quán)可積性

郭燕蓉

(浙江理工大學理學院, 杭州 310018)

在MVBVF條件下的加權(quán)可積性

郭燕蓉

(浙江理工大學理學院, 杭州 310018)

將系數(shù)數(shù)列的MVBV條件推廣到函數(shù)的MVBV條件,分別給出了MVBV條件下正弦積分與余弦積分加權(quán)可積的充分必要條件,并利用Cauchy收斂準則、分部積分和適當放縮等數(shù)學方法進行證明,從而進一步完善了三角級數(shù)可積性的理論。

加權(quán)可積性; 正弦積分; 余弦積分; 均值有界變差

0 引 言

如果定義在R+的非負局部有界變差函數(shù)f(x)對某個λ≥2,及某個非負實數(shù)A≥1,使得對任意a≥A有

(1)

其中M是只與函數(shù)f(x)有關(guān)的確定函數(shù),則稱函數(shù)f(x)為均值有界變差函數(shù),記f(x)∈MVBVF(mean value bounded variation functions)。

上述定義是對文獻[1]中的均值有界變差數(shù)列(MVBVS)定義的推廣,即將系數(shù)數(shù)列的MVBV條件推廣到函數(shù)的MVBV條件。在此之前,Boas[2]和Heywood[3]等數(shù)學家對系數(shù)數(shù)列在加權(quán)情況下給出了相應(yīng)的結(jié)論。另外,Wang等在文獻[4]中也對其作了相應(yīng)的推廣。

本文給出了幾個關(guān)于MVBVF的加權(quán)可積性的結(jié)果,其中的M0、M、M1、M2、M3是正值常數(shù),在不同的情況它的取值有所不同。

1 引理及證明

引理1.1 設(shè)f(x)∈MVBVF是一個非負函數(shù),那么

引理1.2 若對于某個常數(shù)λ≥2,A≥1使定義在R+上的f(x)滿足公式(1),即

f(x)∈MVBVF,則對于任意的a>A,有

引理1.1的證明:由MVBVF定義可知,對于任意的x≤y≤2x,有

對上式兩邊在區(qū)間[x,2x]上對y取積分得

再對其進行移項可得

即

引理1.2的證明:當右端廣義積分發(fā)散時不等式顯然成立,下面考慮f(x)/x∈L1(R+)的情況,由積分區(qū)間可加性并利用公式(1)可得

2 定理及證明

定理2.1 設(shè)0<γ<2,f(x)∈MVBVF,如果

(2)

則對于任意的B>0,成立

(3)

成立。又因為

對上式利用分部積分法可得

結(jié)合以上兩個不等式可得

M·B2-γ+I1+I2。

注意到0<γ<2,交換積分次序直接計算可得

同時,對I2應(yīng)用引理1.2再交換積分次序可得

因此,由條件(2)可知

所以

定理2.1得證。

定理2.2 設(shè)0<γ<1,f(x)∈MVBVF,如果

(4)

則對于任意的B>0,成立

(5)

證明:對于f(x)的收斂性、可積性及其余弦積分的收斂性與定理2.1證明相同,于是有

對上式利用分部積分法可得

I1+I2。

注意到0<γ<1,交換積分次序直接計算可得

另外,由定理1.1可知I2≤M3。

所以

定理2.2得證。

證明:因為f*(t)是f(x)的正弦變換,記

即

則對λ≥2,

對上式右邊進行交換積分次序并求積分可得

定理2.3得證。

那么,對于任意的x>1,結(jié)合上式及已知條件并交換積分次序可知

即

因此

(6)

將其代回到(6)中且結(jié)合已知條件可得

定理2.4得證。

3 結(jié) 語

結(jié)合均值有界變差數(shù)列的加權(quán)可積性的研究,本文通過運用一些類似的技巧手法及數(shù)學方法將其加權(quán)可積性推廣到函數(shù)空間上,使得加權(quán)可積性在函數(shù)空間中得到更廣泛的應(yīng)用,從而為有界變差函數(shù)的研究提供有用的條件。

[1] 周頌平. 三角級數(shù)研究中的單調(diào)性條件: 發(fā)展和應(yīng)用[M]. 北京: 科學出版社, 2012.

[2]BoasJrRP.Integrabilityoftrigonometricseries(III)[J].TheQuarterlyJournalofMathematics, 1952, 3(1): 217-221.

[3]HeywoodP.Ontheintegrabilityoffunctionsdefinedbytrigonometricseries[J].TheQuarterlyJournalofMathematics, 1954, 5(1): 71-76.

[4]WangMZ,ZhouSP.ApplicationsofMVBVconditioninL1integrability[J].ActaMathHungar, 2010, 129(1): 70-80.

(責任編輯： 康 鋒)

Weighted Integrability under MVBVF Condition

GUOYan-rong

(School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

This paper generalizes MVBV condition of coefficient series to MVBV condition of function, gives sufficient and necessary condition of sine integral and cosine integral under MVBV condition respectively, and utilizes Cauchy convergence criterion, integration by parts, suitable scaling and other mathematical methods for confirmation so as to further perfect the integrability theory of trigonometric series.

weighted integrability; sine integral; cosine integral; bounded variation of mean value

1673- 3851 (2015) 01- 0130- 05

2014-06-25

郭燕蓉(1989-),女,山西大同人,碩士研究生,主要從事逼近論中的構(gòu)造性分析方面的研究。

O174.22

A