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    巧用三面角求二面角

    2015-05-05 06:54:13湖北省孝感高級中學(xué)姚繼元
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年1期
    關(guān)鍵詞:平面角人民教育出版社二面角

    ☉湖北省孝感高級中學(xué) 姚繼元

    巧用三面角求二面角

    ☉湖北省孝感高級中學(xué) 姚繼元

    二面角是立體幾何的重要內(nèi)容,是歷年各省份高考的重點,然而我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中掌握的情況并不理想.幾何法雖然很直觀但是二面角的平面角很難作,而用向量法運算量較大且在判斷法向量的方向時容易出錯.現(xiàn)在有一種較為簡潔、易操作的方法.

    定理:如圖1,空間中有從O點出發(fā)的三條射線OA、OB、OC(OA、OB、OC不共面),∠AOC=α,∠BOC= β,∠AOB=γ,二面角A-OC-B為θ(注:由三個面構(gòu)成的多面角稱為三面角,圖1中的三面角可記作∠O-ABC),則

    圖1

    證明:在面AOC內(nèi)作AD⊥OC交OC于D,在面BOC內(nèi),作DE⊥OC交OB于E.

    則∠ADE即為二面角A-OC-B的平面角,即∠ACB= θ.設(shè)OD=a.

    上述定理在實際解題中有廣泛的應(yīng)用,下面我們通過幾個例子來看一看.

    一、定理的正用

    例1(2013年高考全國大綱版理科第19題)如圖2,四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB與△PAD都是等邊三角形.

    (1)證明:PB⊥CD;

    (2)求二面角A-PD-C的大小.

    分析:本題中的二面角為鈍角二面角,使用三垂線定理作平面角主要適合二面角為銳角的情況,而本題建立坐標(biāo)系也不太容易,此時使用定理來解決問題就得心應(yīng)手.

    圖2

    解:(1)略.

    (2)設(shè)AB=1.由(1)知CD⊥PD.

    二、定理的逆用

    例2(2013年高考浙江卷理科第20題)如圖3,在四面體A-BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=M是AD的中點,P是BM的中點,點Q在線段AC上,且AQ=3QC.

    (1)證明:PQ∥平面BCD;

    (2)若二面角C-BM-D的大小為60°,求∠BDC的大小.

    分析:本題為已知二面角求其他角,逆用定理即可.

    解:(1)略.

    圖3

    三、綜合運用

    例3(2014年高考遼寧卷理科第19題)如圖4,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E、F分別為AC、DC的中點.

    (1)求證:EF⊥BC;

    (2)求二面角E-BF-C的正弦值.

    解:(1)略.

    (2)由△ABC和△BCD所在平面互相垂直,得二面角A-BC-D為90°的二面角.

    ∠ACB=∠DCB=30°.

    利用公式,有cos∠ACD-cos∠ACB·cos∠DCB=0(定理的逆用),則cos∠ACD=

    圖4

    從上面的幾個例題我們不難發(fā)現(xiàn):定理在處理二面角問題時思路比較簡單,既避免了作二面角的平面角,又可以很快地算出具體結(jié)果.當(dāng)然,我們對上述定理加以挖掘,也可以處理線面角和點面距等問題.

    1.人民教育出版社課程教材研究所.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修2.北京:人民教育出版社,2007.

    2.葉國祥.三面角的余弦定理及其應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué),1993(6).

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