高中數(shù)學函數(shù)概念教學略談

吳問舟

概念教學是數(shù)學教學的一個重要組成部分。數(shù)學概念反映的是客觀對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性，具有極強的基礎性，是學習數(shù)學理論和構(gòu)建數(shù)學框架的基石。中學數(shù)學教學《大綱》明確指出“正確理解數(shù)學概念是掌握數(shù)學知識的前提”。概念教學的效果如何，將直接影響學生對數(shù)學知識的理解和掌握，關(guān)系到學生解題能力的培養(yǎng)與提高。

函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，函數(shù)的思想和方法貫穿了高中數(shù)學課程的始終。同時，函數(shù)概念也是高中數(shù)學的難點。調(diào)查表明，很多學生對函數(shù)概念的掌握并不理想。每次考試過后，總有學生由于對函數(shù)概念把握不準，導致解題失誤。

現(xiàn)行普通高中《課程標準》實驗教科書（必修1）上采用的函數(shù)定義是：“設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：y=f（x），x∈A。其中x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域，與x的值相對應的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫作函數(shù)的值域。

筆者認為，函數(shù)概念具有高度的抽象性，學生真正理解函數(shù)概念需要一個漫長的過程，需要在不同層次上、從不同角度給學生提供理解和鞏固函數(shù)概念的機會。對函數(shù)概念的教學，應基于以下幾點思考：

一、要使學生了解函數(shù)的形成過程

從歷史上看，函數(shù)概念的產(chǎn)生經(jīng)歷了“變量說”到“對應說”兩個階段，函數(shù)概念來源于物理公式。在初中，學生學習過的函數(shù)概念，也是從運動變化的觀點出發(fā)，把函數(shù)看成是變量之間的依賴關(guān)系。函數(shù)概念幾乎等同于解析式。要說清楚變量以及兩個變量間變化的依賴關(guān)系，往往先要弄清各個變量的物理意義，這就使研究受到了一定的限制。而如果只根據(jù)變量觀點，那么有些函數(shù)就很難進行深入研究。例如：

f（x）=1，當x是有理數(shù)時，0，當x是無理數(shù)時。

對這個函數(shù)，如果用變量觀點來解釋，會顯得十分勉強，也說不出x的物理意義是什么。但用集合、對應的觀點來解釋，就十分自然。

通過對函數(shù)概念歷史發(fā)展的了解，既可以向?qū)W生滲透數(shù)學文化，也有利于讓學生對函數(shù)概念了解更加全面，以激起學生對函數(shù)學習的興趣。

二、要使學生理解函數(shù)的本質(zhì)特征

函數(shù)的本質(zhì)特征是“對應”關(guān)系。這種“對應”，正是函數(shù)的內(nèi)涵所在。

1.函數(shù)的“對應”關(guān)系有三種形式

一是具體的兩變量之間確定的對應關(guān)系，如函數(shù)的解析式；二是以列舉方式給出兩個變量之間的對應關(guān)系，如統(tǒng)計數(shù)表等；三是以曲線形式反映的兩變量之間的對應關(guān)系，如一天中的氣溫隨時間的變化圖等。

2.函數(shù)的“對應”關(guān)系包含三層內(nèi)容

（1）“非空數(shù)集A、B”——說明變量的存在性；（2）“兩個變量x和y，x∈A、y∈B，某個確定的對應關(guān)系f ”說明函數(shù)是研究兩個變量間的依存關(guān)系；（3）“對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）（即y）和它對應”——說明有唯一確定的對應規(guī)律。

3.函數(shù)的“對應”關(guān)系具備三個要素

函數(shù)y=f（x）的記法，突出了函數(shù)的三個要素之間的依存關(guān)系。其中“f”是連接“x”和“y”的紐帶。

（1）對應關(guān)系f下的自變量。在記法中，f的變量為x，這里應突出x的整體性，即整個x充當?shù)膄自變量，由于函數(shù)的抽象性及換元的數(shù)學思想，這里的x只是充當一個代表元，也就是說x可以表示單純的x，也可以表示關(guān)于x的某個單項式，甚至可以是關(guān)于x的其他代數(shù)式。因此，對應關(guān)系f下的自變量，嚴格來說，是f后面括號內(nèi)的整個變量式。這為以后進一步求抽象函數(shù)的定義域打下伏筆，如①已知f（x）的定義域為[a，b]，求f[g（x）]的定義域，就是求不等式a≤

g（x）≤b的解集；②已知f[g（x）]的定義域為[a，b]，求f（x）的定義域，就是求當x∈[a，b]時，g（x）的值域。

（2）對應關(guān)系f下的函數(shù)值。y是x通過對應關(guān)系

f得到的，y值是相應x的值在對應關(guān)系f下的函數(shù)值。因為x只是一個代表元，因此對應關(guān)系f下的函數(shù)值y，嚴格來說，是f后面括號內(nèi)的整個變量式的值通過對應關(guān)系f而得到的函數(shù)值。這也為以后進一步求復合函數(shù)的值域埋下伏筆。另外值域中的每一個值y，都能在定義域中“找到”一個或幾個x的值與之對應，這又為以后利用方程思想求函數(shù)值域打下基礎。

三、要使學生學會對函數(shù)概念的靈活運用

在學生理解了函數(shù)的本質(zhì)特征即“對應”后，我們要在實踐中使學生理解和掌握概念，引導學生運用函數(shù)概念去解決一些實質(zhì)性的問題，培養(yǎng)學生運用概念分析問題與解決問題的能力，進而使學生在理解的層次上達到一個新的高度，在認識上得到升華。

例1：函數(shù)y=f（x）與直線x=a的交點個數(shù)為（ ）。

A.1個 B.2個 C.0個或1個 D.無窮多個

例2：函數(shù)y=x2和S=v2是否同一個函數(shù)？

例1是函數(shù)概念的升華，例2旨在讓學生消除函數(shù)符號的神秘感。

以上對函數(shù)概念教學的幾點思考，體現(xiàn)了概念教學應遵循“具體——抽象——具體”的教學原則，通過引導學生不斷去發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)，以至于使學生能更全面、正確地掌握函數(shù)的概念。