浙江省數(shù)學高考中的圓錐情結
——透視高考立體幾何命題的本質

●宋文泉 施剛良 (德清縣第三中學 浙江德清 313201)

浙江省數(shù)學高考中的圓錐情結
——透視高考立體幾何命題的本質

●宋文泉 施剛良 (德清縣第三中學 浙江德清 313201)

圓錐是立體幾何中的一個非常重要的模型，在解析幾何中，圓錐曲線就是以圓錐為載體截得的.浙江省的數(shù)學高考試題中，有些立體幾何和解析幾何問題表面上看與圓錐無關，但通過挖掘我們可以發(fā)現(xiàn)它們與圓錐有著深刻的聯(lián)系，由此也可以看出命題者的深意.

1 試題本質的透視

例1 如圖1，已知△ABC，D是AB的中點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則

( )

A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α

(2015年浙江省數(shù)學高考理科試題第8題)

圖1 圖2

分析 本題可以從取平面A′DC的特殊位置來判斷選項，這樣做對付選擇題是可以的，而且對學生而言這樣做既快又準.但作為教師我們當然不能這樣草草了事，應該進一步加以研究，挖掘命題者的深意.事實上，過點A作AP⊥DC，垂足為P，延長AP交BC于點R，聯(lián)結A′P，則∠A′PR為二面角A′-CD-B的平面角.我們可以發(fā)現(xiàn)△A′CD是沿著直線CD這條旋轉軸轉動的，由此可以想到構造圓錐這個模型.如圖2,點A′在共底圓錐C-P,D-P的底面上轉動，∠A′PR=α，并且在等腰△PAA′中，α=∠A′PR=2∠PAA′；同理，在等腰△DAA′中，∠A′DB=2∠A′AD.因為AD>AP，所以等腰△DAA′的腰長比△PAA′的長，并且2個等腰三角形的底相同，根據(jù)三角形大邊對大角可知，∠A′AD>∠PAA′，故∠A′DB≥α(在沒有折之前2者都等于180°).

通過上述論證過程，筆者發(fā)現(xiàn)點D是線段AB的中點是多余的，有可能是命題者為了降低試題的難度有意而為之，體現(xiàn)了命題者的人文關懷.但是，通過構造圓錐來破解此題，應該是命制此題的本質所在.

于是，我們可以得到此高考題的一般形式：

例2 如圖1，已知△ABC，D是線段AB(不包括線段的端點)上的一點，沿直線CD將△ACD折成△A′CD，所成二面角A′-CD-B的平面角為α，則

( )

A.∠A′DB≤αB.∠A′DB≥α

C.∠A′CB≤αD.∠A′CB≥α

無獨有偶，2015年浙江省數(shù)學高考文科第7題同樣可以通過構造圓錐來解決.

例3 如圖3，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則點P的軌跡是

( )

A．直線 B．拋物線

C．橢圓 D．雙曲線的一支

(2015年浙江省數(shù)學高考文科試題第7題)

圖3 圖4

分析 依題意，點P的軌跡為以斜線段AB為旋轉軸、母線與AB所成的角為30°的圓錐面，因直線AB與平面α所成的角為60°，故平面α沿垂直于母線AD方向去截，截面顯然為橢圓.

此題的命制背景是：人教A版選修1-1第36～37頁“探究與發(fā)現(xiàn)”：為什么截口曲線是橢圓.由此可見高考試題源于課本，又高于課本.因此，我們在高考復習時，要以課本為本，適當變式和拓展，這樣才能提高復習的有效性.

對此試題也可進行一般化，得到結論：

結論1 如圖3,設斜線段AB與平面α所成的角為θ，B為斜足，平面α上的動點P滿足∠PAB=30°，則

1)當0°<θ<30°時，點P的軌跡為雙曲線的一支；

2)當θ=30°時，點P的軌跡為拋物線；

3)當30°<θ<90°時，點P的軌跡為橢圓；

4)當θ=90°，P點的軌跡為圓.

2 圓錐模型的“蘑菇效應”

著名數(shù)學家波利亞說過：當你找到第一個蘑菇或作出第一個發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，它們總是成群生長的.通過找尋浙江省的歷屆數(shù)學高考題，筆者發(fā)現(xiàn)許多題目可以用圓錐模型來解決，而且圓錐模型一“出手”，試題的本質就“暴露無遺”.

( )

A．存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直

B．存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直

C．存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直

D．對任意位置，3對直線“AC與BD”，“AB與CD”，“AD與BC”均不垂直

(2012年浙江省數(shù)學高考理科試題第10題)

分析 此題還是翻折問題，受上面試題的啟發(fā)，筆者發(fā)現(xiàn)將△ABD沿矩形的對角線BD所在的直線進行翻折的過程中，AP⊥BD，點A在以P為圓心、|PA|長為半徑的圓上運動，線段AB是圓錐B-P的母線，線段DA是圓錐D-P的母線，這樣，問題的本質變得非常直觀、簡單.

圖5 圖6

如圖6，顯然不存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；要存在某個位置，使直線AB與直線CD垂直，必須使得∠A1BA2>90°，也即∠A(A2)BD>45°；要存在某個位置，使直線AD與直線BC垂直，必須使得∠A1DA2>90°，也即∠A(A2)BD>45°.此時，筆者才真正看到了問題的本質，產生一種“柳暗花明”的感覺.原來從構造圓錐這個模型來解決此題，會變得如此簡單，真的是“圖形一見，答案出現(xiàn)”.

類比上面的論證過程，可以將此試題推廣為如下結論：

1)不存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；

2)只要∠ABD>45°，必存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；

3)只要∠ADB>45°，必存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直.

例5 如圖7，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1,E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC(端點除外)上的一動點.現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使得平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足.設AK=t，則t的取值范圍為______.

(2009年浙江省數(shù)學高考理科試題第17題)

圖7

圖8

通過上面的探究，筆者發(fā)現(xiàn)點F為線段EC(端點除外)上的一動點另有深意.事實上，當點F為線段DE上點時，不可能有平面ABD(D′)⊥平面ABC，因為要使其成立，必須AD′⊥BC，而這可以通過分析圓錐A-O來實現(xiàn)：要使AD′⊥BC，需保證∠DAD1>90°.這也就是高考試題中要加上點F為線段EC(端點除外)的原因.由此可見命題者的又一人文關懷，這也是命題者命題的又一深意，需要我們用心去思考和體會.我們在平常的教學實踐中，為了進一步提高學生的數(shù)學思維能力，可以通過變式題的形式向學生提供如下試題:

例6 如圖7，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1,E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC(端點除外)上的一動點.現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使得AD⊥BC.在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足.設AK=t，則t的取值范圍為______.

例7 在長方形ABCD中，AB=2，BC=1,F為線段DC(端點除外)上的一動點.現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使得AD⊥BC.在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足.設AK=t，則t的取值范圍為______.

這樣一變式，使得題目的難度陡然提升，但有助于提高學生分析問題、解決問題的能力，對他們數(shù)學思維能力的提升是非常有幫助的.

3 2點體會

3.1 命題者的人文關懷

2015年浙江省數(shù)學理科卷的難度較大，對學生思維能力的考查要求較高，社會上議論紛紛.通過對理科第8題和文科第7題的研究，我們發(fā)現(xiàn)命題者并非是“冷面殺手”，還是有一些人文關懷的因素在里面的.這樣的深意在試卷的其他試題中也有所體現(xiàn)，這需要我們用心思考和體會.為了更好地讓學生“看出”試題的本質，命題者往往會搭一些“腳手架”，這些都需要學生具備一定的“慧眼”(這就是我們在教學實踐中要培養(yǎng)的數(shù)學素養(yǎng))，否則命題者的好心會變壞事.只有通過平常的滲透和積累，才能體會命題者的良苦用心.

3.2 培養(yǎng)學生的建模意識

從2009年、2012年的浙江省數(shù)學高考立體幾何題我們可以發(fā)現(xiàn):利用圓錐模型的思想解決問題是多么重要.如果學生能抓住這個模型，這些題目往往可以“秒殺”，也就不會認為它們是“難題”了.2015年的試題延續(xù)了前面的考法，由此可見命題者對圓錐這個模型的情結.在立體幾何的教學中，除了圓錐這個重要模型外，長方體也是一個非常重要的模型.在教材中，很多的概念和定理都是通過長方體這個模型引入的.只有我們在平常的教學中，不斷地滲透模型化思想，學生才能在考試中自然地利用模型來解決問題，做到游刃有余.