自立倒立擺系統(tǒng)的自擺起及穩(wěn)定控制

劉繼光，王麗軍，袁 浩

（天津大學(xué) 電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，天津 300072）

倒立擺系統(tǒng)是自動(dòng)控制領(lǐng)域的一個(gè)典型的控制對象，它的結(jié)構(gòu)簡單，成本較低，對象比較明確。倒立擺是非線性、強(qiáng)耦合多變量和自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)［1］，與其相似的旋轉(zhuǎn)機(jī)架已在工程上廣泛應(yīng)用［2］，有著數(shù)種控制方案，如極點(diǎn)配置［3］、線性最優(yōu)二次型［4］以及模糊控制［2］等。

近年來，對于倒立擺的控制研究也是控制領(lǐng)域的一大熱點(diǎn)，其控制過程能有效地反映諸如可鎮(zhèn)定性、魯棒性、隨動(dòng)性以及跟蹤等多種控制中的關(guān)鍵問題［5］。S.E.Oltean，等［6］利用當(dāng)代的微處理器實(shí)現(xiàn)了基于模糊－比例微分的旋轉(zhuǎn)倒立擺的自起擺控制；M.El－Bardini等［7］則提出了模糊－PID智能控制算法來對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行控制；V.Kumar E等［8］對于倒立擺系統(tǒng)提出了魯棒LQR控制方法；I.M.Arkhipova等［9］則是借助振動(dòng)穩(wěn)定性理論來對一個(gè)二級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行平衡穩(wěn)定控制。我國的李洪興教授已經(jīng)成功地實(shí)現(xiàn)了4級倒立擺控制的仿真實(shí)驗(yàn)及實(shí)物控制［10］，具有良好的穩(wěn)定性和定位功能。這表明在倒立擺控制領(lǐng)域，我國在世界上已經(jīng)達(dá)到了一定的技術(shù)水平。

本文通過對自立倒立擺的不同狀態(tài)進(jìn)行分析控制，應(yīng)用開關(guān)控制器使得整個(gè)自立倒立擺系統(tǒng)能夠從靜止下垂的平衡位置起擺并穩(wěn)定在不穩(wěn)定的垂直倒立狀態(tài)。

1 自立倒立擺系統(tǒng)

如圖1所示，系統(tǒng)由SRV02－E伺服裝置驅(qū)動(dòng)。橫臂的一端安裝在伺服裝置適當(dāng)?shù)凝X輪軸上，用螺釘固定牢固。在橫臂的另一端則安裝了一根轉(zhuǎn)軸，豎直的擺桿固定在這根轉(zhuǎn)軸上，可以自由擺動(dòng)。倒立擺擺桿的轉(zhuǎn)角以及橫臂的轉(zhuǎn)角分別通過2個(gè)傳感編碼器測得。

本系統(tǒng)的控制目標(biāo)是通過控制橫臂擺動(dòng)時(shí)擺桿平穩(wěn)快速擺起，并最終將擺桿穩(wěn)定在垂直倒立位置。

1.1 角度定義

圖1 自立倒立擺系統(tǒng)物理模型

擺角的“full”角度αf的零位置對應(yīng)初始時(shí)擺桿自然下垂?fàn)顟B(tài)，當(dāng)擺逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)αf增大，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)減小，其值可以超過360°，這一角度值可以從編碼器得到。擺桿的“down”角度αd，它與αf相同定義，但要控制在±180°范圍內(nèi)。擺桿的“up”角度αu，其零角度對應(yīng)于擺桿垂直倒立位置。當(dāng)擺桿從垂直位置向左方向傾斜時(shí)，此角度對應(yīng)為正值。

1.2 機(jī)理建模

對系統(tǒng)的2個(gè)自由度θ和α分別列寫Lagrange方程。廣義坐標(biāo)為θ和α，廣義力為轉(zhuǎn)矩［11］。先對系統(tǒng)處于機(jī)架狀態(tài)時(shí)建模得：

對（1），（2）進(jìn)行線性化處理，因α很小，有cosα＝1，sinα≈α，得：

將系統(tǒng)的各參數(shù)值代入式（5）后得到

由于垂直倒立擺位置只是將擺桿反向倒立，故其方程與上式只是符號上的差別，垂直倒立位置的狀態(tài)方程為

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 自擺起控制

倒立擺的自擺起控制實(shí)質(zhì)上就是通過控制橫臂的位置使倒立擺從下垂位置開始振蕩。假設(shè)橫臂偏離原來位置的角度為θ，擺桿偏離豎直狀態(tài)的角度為θd，擺桿擺動(dòng)的角速度為α·d，那么可以得到橫臂與擺桿的關(guān)系為θ＝Pαd＋Dα·d。這樣可以通過合適選擇比例系數(shù)Kp和微分系數(shù)Kd的大小控制橫臂擺動(dòng)使倒立擺開始振蕩，也就是說要基于擺桿的位置和速度來調(diào)整θ，最終通過橫臂的左右擺動(dòng)使擺桿完成自擺起。

為了將橫臂固定在一定位置，需要設(shè)計(jì)一個(gè)PD控制器［12］：Vd＝Kp（θd－θ）＋Kdθ·，即設(shè)計(jì)一個(gè)閉環(huán)來控制電機(jī)的輸出電壓Vd，使θ最終達(dá)到θd。

通過多次實(shí)驗(yàn)得出，當(dāng) Kd＝0.55、Kp＝－0.01、P＝0.5、D＝0.001時(shí)，擺桿的擺起效果最好。自擺起控制器仿真結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 自擺起控制器仿真結(jié)構(gòu)圖

要想讓橫桿快速擺起，最好的辦法是給橫臂加離散的力，即靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)給橫臂力、當(dāng)擺桿升到最高點(diǎn)時(shí)給橫臂反方向力，這樣效果最好。經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)，得出控制激勵(lì)仿真結(jié)構(gòu)圖如圖3所示。

圖3 自擺起控制激勵(lì)仿真結(jié)構(gòu)圖

2.2 穩(wěn)定控制器

本控制器采用LQR控制［13］。為了保證良好的控制效果，選擇θ及其變化率θ·、α及其變化率α·這4個(gè)參數(shù)都進(jìn)行控制。經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)，選擇Q＝diag［5 30 0 0］，R取1.5，在 Matlab里運(yùn)行k＝lqr（A，B，Q，R）［14］，系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)計(jì)算出反饋矩陣K。

2.3 開關(guān)控制器

本文開關(guān)控制的目的在于判斷是由自擺起控制器的輸出反饋到電機(jī)還是由穩(wěn)定控制器的輸出反饋到電機(jī)。在初始狀態(tài)時(shí)，應(yīng)由自擺起控制器的輸出反饋到電機(jī)，使擺桿起擺，當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定控制器控制條件時(shí)，再由開關(guān)控制器決定把穩(wěn)定控制器輸出反饋到電機(jī)。

圖4 開關(guān)控制仿真電路

2.4 仿真及實(shí)時(shí)控制

自立倒立擺系統(tǒng)的全部仿真電路如圖5所示。仿真得到α及θ的波形分別見圖6和圖7。

在仿真的基礎(chǔ)上，對自立倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，首先通過由Quanser公司提供的嵌入到Matlab中的Wincon組件建立系統(tǒng)的實(shí)時(shí)控制模型，然后進(jìn)行實(shí)時(shí)控制。運(yùn)行仿真模型，發(fā)現(xiàn)擺桿并不能自擺到垂直倒立位置，這是因?yàn)槟Ｐ偷膯栴}，導(dǎo)致激勵(lì)給定的時(shí)間不準(zhǔn)確，通過調(diào)整給定時(shí)間，并通過多次調(diào)試，得到實(shí)時(shí)控制的波形見圖8和圖9。

圖5 系統(tǒng)完全仿真圖

圖6 α仿真圖

圖7 θ仿真圖

圖8 α實(shí)際波形圖

圖9 θ實(shí)際波形圖

由圖8和圖9可知，擺桿經(jīng)過2次振動(dòng)即可達(dá)到垂直倒立位置并穩(wěn)定在該位置，并且具有一定的抗擾性，可見通過PD控制和LQR控制相結(jié)合的方法可以很好地控制自立倒立擺系統(tǒng)。

3 結(jié)束語

本文介紹了自立倒立擺的控制器的具體結(jié)合。該控制器共分為3個(gè)模塊，分別是自擺起控制器、穩(wěn)定控制器和變結(jié)構(gòu)控制器。自擺起控制器主要為PID控制，使橫桿能夠平滑地?cái)[起；變結(jié)構(gòu)控制器為開關(guān)控制器，它將所有切換條件用一個(gè)與門連接，當(dāng)所有條件都達(dá)到時(shí)會(huì)實(shí)現(xiàn)控制器的切換；穩(wěn)定控制器為LQR控制器，將擺桿穩(wěn)定在垂直倒立位置。本文成功實(shí)現(xiàn)了對一級旋轉(zhuǎn)自立倒立擺的控制，具有良好的效果。

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［1］王雪，柴毅，丁寶蒼，等.自動(dòng)控制原理開放性實(shí)驗(yàn)的開發(fā)［J］.實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2011，30（7）：242－244.

［2］袁浩，陳曉倩，劉繼光.二自由度旋轉(zhuǎn)機(jī)架模糊控制策略探索［J］.實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理，2011，28（12）：32－35.

［3］袁浩，徐真真，王先來.極點(diǎn)配置方法在起重機(jī)機(jī)架模型中的應(yīng)用［J］.實(shí)驗(yàn)室研究與探索，2006，25（12）：1492－1494.

［4］袁浩，喬宇亮，李保林，等.LQR控制策略在柔性關(guān)節(jié)系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)［J］.實(shí)驗(yàn)技術(shù)與管理，2006，23（8）：33－35.

［5］黃苑虹.倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制研究［D］.廣州：廣東工業(yè)大學(xué)，2002.

［6］Oltean S E，Duka A V.Balance control system using microcontrollers for rotational inverted pendulum［C］//The 7th International Conference Interdisciplinarity in Engineering.Procedia Technology，2014：11－19.

［7］El－Bardini M，El－Nagar A M.Interval type－2fuzzy PID controller for uncertain nonlinear inverted pendulum system［J］.ISA Tr asactions，2014（53）：732－743.

［8］V Kumar E，Jerome J.Robust LQR Controller Design for Stabilizing and Trajectory Tracking of Inverted Pendulum［J］.Procedia Engineering，2013（64）：169－178.

［9］Arkhipova I M，Luongo A，Seyranian A P.Vibrational stabilization of the upright statically unstable position of a double pendulum［J］.Journal of Sound and Vibration，2012，331（2）：457－469.

［10］李洪興，苗志宏.四級倒立擺的變論域自適應(yīng)模糊控制［J］.中國科學(xué)：E 輯，2002，32（1）：65－75.

［11］周衍柏.理論力學(xué)教程［M］.北京：高等教育出版社，1985：268－299.

［12］胡壽松.自動(dòng)控制原理［M］.4版.北京：科學(xué)出版社，2001.

［13］劉豹.現(xiàn)代控制理論［M］.2版.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2000.272－282.

［14］黃忠霖.控制系統(tǒng)MATLAB計(jì)算及仿真［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2000.