優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì) 讓思維不“抄近路”

朱宇

筆者經(jīng)常發(fā)現(xiàn)有學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中喜歡“抄近路”：表達(dá)上省略過(guò)程，不恰當(dāng)?shù)睾?jiǎn)化；思維上淺嘗輒止，想當(dāng)然地認(rèn)定；方法上自創(chuàng)捷徑，不合理地遷移。諸如此類(lèi)的種種表現(xiàn)直接影響著他們思維的深刻性，破壞了過(guò)程的完整性。教師則以尊重學(xué)生為由，默許了他們的不規(guī)范行為。

學(xué)習(xí)系統(tǒng)中一旦生成了這些不規(guī)范的“快捷”方式，再去糾正就要費(fèi)些周折。所以筆者以為，教師應(yīng)從源頭出發(fā)，從問(wèn)題預(yù)設(shè)開(kāi)始，優(yōu)化設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生完善思維歷程，規(guī)范學(xué)習(xí)路徑。

一、 將問(wèn)題延遲，經(jīng)歷多元表征

長(zhǎng)期以來(lái)，學(xué)生形成了這樣一種解題習(xí)慣：遇到一個(gè)問(wèn)題時(shí)，首先想到的是怎么算，只關(guān)注問(wèn)題的解決而不關(guān)注問(wèn)題的表征。通過(guò)課堂觀察，我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題呈現(xiàn)在學(xué)生面前的時(shí)候，他們的心理指向是“求得結(jié)果”而不是分析數(shù)量關(guān)系?！皢?wèn)”驅(qū)使兒童迅速地“答”，讓表征數(shù)量關(guān)系、探索解題路徑的過(guò)程“縮水”了。

例如，“分?jǐn)?shù)除法”單元中的一道例題（如圖1），教材編寫(xiě)者意在用方程刻畫(huà)已知數(shù)量與分率之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而讓學(xué)生根據(jù)最基本的分?jǐn)?shù)意義來(lái)描述數(shù)量關(guān)系，建立分?jǐn)?shù)乘法的數(shù)學(xué)模型。

如果從解決問(wèn)題的角度來(lái)考量，用除法解與用方程解沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別。但是從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，這道例題的重點(diǎn)是引導(dǎo)兒童經(jīng)歷建立數(shù)量關(guān)系模型的過(guò)程，進(jìn)一步體驗(yàn)方程思想對(duì)于分?jǐn)?shù)實(shí)際問(wèn)題的價(jià)值。然而，教材的良苦用心學(xué)生并不理解。列方程解應(yīng)用題有比較規(guī)范的格式，需要設(shè)未知數(shù)，書(shū)寫(xiě)量大，頗費(fèi)時(shí)間。學(xué)生不選擇列方程，怎么辦？硬性規(guī)定固然可以，但是學(xué)生腦海中留下的不是數(shù)學(xué)模型，而是不解和埋怨：本題數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單，從問(wèn)題入手，可以迅速鎖定相關(guān)條件列式解決，為何要舍近求遠(yuǎn)？

怎樣讓學(xué)生在豐富表征方式的過(guò)程中向方程思想靠攏？經(jīng)過(guò)思考，我們做了如下改進(jìn)：讓問(wèn)題暫緩出場(chǎng)，只出示表示數(shù)量間關(guān)系的關(guān)鍵句“小瓶里的果汁是大瓶的■”，以此誘導(dǎo)兒童利用多種表征形式（口頭的、圖形的、文字或符號(hào)的）表征同一關(guān)系情境，讓他們?cè)谧x一讀、畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)、議一議中，識(shí)別并建立起問(wèn)題中的等量關(guān)系，繼而合理利用“關(guān)系”來(lái)解決問(wèn)題。因?yàn)閱?wèn)題滯后出現(xiàn)，學(xué)生的“得數(shù)情結(jié)”被弱化，畫(huà)示意圖、說(shuō)關(guān)系式，進(jìn)而加深了對(duì)基本的乘法關(guān)系式這一數(shù)學(xué)模型的理解。問(wèn)題延遲出現(xiàn)，學(xué)生經(jīng)歷了對(duì)問(wèn)題的多元表征的實(shí)際體驗(yàn)，他們領(lǐng)悟到：分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題不是新問(wèn)題，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題沒(méi)有乘除法之分，有的只是等量關(guān)系式中已知數(shù)量和未知數(shù)量所在位置的不同，等量關(guān)系的本質(zhì)構(gòu)成是一樣的。

再如，在運(yùn)算定律的教學(xué)中，存在著一種認(rèn)識(shí)上的誤區(qū)：學(xué)習(xí)運(yùn)算定律就是為了計(jì)算簡(jiǎn)便，這種片面的理解直接導(dǎo)致了學(xué)習(xí)行為的草率與盲目。例如有這樣一道題：0.8×19+1.2×81，很多孩子因盲目“湊整”而錯(cuò)寫(xiě)成（0.8+1.2）×（19+81）。事實(shí)上，乘法分配律的本質(zhì)是乘法意義的拓展和應(yīng)用，是溝通乘法與加減法之間聯(lián)系的一種數(shù)學(xué)模型。如果只重視引導(dǎo)學(xué)生研究規(guī)律的外形，特別是盲目追求算得簡(jiǎn)便，必然會(huì)忽視對(duì)規(guī)律內(nèi)在本質(zhì)的探究，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)規(guī)律的實(shí)質(zhì)體驗(yàn)?zāi)w淺。為此，我們必須把“如何簡(jiǎn)便”的問(wèn)題擱置起來(lái)，在學(xué)生充分感悟算式特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生提出猜想、舉例驗(yàn)證，從不同形式去表征發(fā)現(xiàn)：比如數(shù)形結(jié)合，借助直觀豐富的表象去感悟乘法分配律的內(nèi)涵；比如語(yǔ)言表征，c組（a+b）“分”成c個(gè)a加c個(gè)b；c個(gè)a加c個(gè)b“配”成c組（a+b），對(duì)“分配”二字做出個(gè)性化的解釋?zhuān)槐热缫龑?dǎo)學(xué)生回顧長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的兩種算法等知識(shí)，既溝通了新舊知識(shí)的聯(lián)系，又讓學(xué)生經(jīng)歷“從一般到特殊”演繹論證的思維過(guò)程，使數(shù)學(xué)思維得到了提升。

二、 從源頭提問(wèn)，還原過(guò)程形態(tài)

我們不僅要把握學(xué)生的思維動(dòng)向，考慮問(wèn)題出現(xiàn)的時(shí)機(jī)，還要摸清學(xué)生的真實(shí)想法，提出與學(xué)生認(rèn)知水平相適應(yīng)的問(wèn)題，否則會(huì)因?yàn)閱?wèn)題“急功近利”而讓學(xué)生無(wú)暇關(guān)注過(guò)程。

例如，關(guān)于“平均數(shù)”（如圖2），長(zhǎng)期存在的不良現(xiàn)象是重算法、輕意義，學(xué)生一味鐘情于先求總數(shù)再平均分的方法，拒絕“移多補(bǔ)少”這種求平均數(shù)的基本方法。為什么呢？條形圖上數(shù)據(jù)很明顯地?cái)[著，問(wèn)題也在暗示“算”出平均每人套了多少個(gè)圈。因此，學(xué)生認(rèn)定：“算”肯定比“移”快捷。

實(shí)際上，圖中四位學(xué)生套圈的個(gè)數(shù)比較接近，非常適合運(yùn)用移多補(bǔ)少的方法。所以，我們對(duì)例題進(jìn)行了適度的改造：遮住條形統(tǒng)計(jì)圖縱軸上的刻度，同時(shí)改變問(wèn)題的提法：你能把男生套圈的個(gè)數(shù)“平均”一下嗎？現(xiàn)在，直接的數(shù)據(jù)沒(méi)有了，學(xué)生首先感知到的是高低錯(cuò)落的方塊圖，客觀上營(yíng)造了“移多補(bǔ)少”的氛圍。在“移多補(bǔ)少”的過(guò)程中，學(xué)生的思維回到了“平均”意義的原點(diǎn)：“平”就是“拉平”，移多補(bǔ)少；“均”就是“相等”。將直接指向結(jié)果的可視條件“遮一遮”，凸顯了平均數(shù)的本質(zhì)特征，學(xué)生增強(qiáng)了過(guò)程體驗(yàn)，觸摸到了知識(shí)本質(zhì)。

也就是說(shuō)，我們對(duì)問(wèn)題做出改變，目的在于順著學(xué)生的思維展開(kāi)教學(xué)，讓教學(xué)的指向與學(xué)生思維發(fā)展的進(jìn)程合拍，這樣學(xué)生就能在目標(biāo)引領(lǐng)下一步步經(jīng)歷過(guò)程。

在教學(xué)中常常會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：某一個(gè)新知識(shí)學(xué)習(xí)之初，由于水平所限，學(xué)生愿意循著一定的道路艱難探尋，而一旦到了新知形成階段，比如單元復(fù)習(xí)，學(xué)生往往會(huì)尋捷徑直奔主題。

例如，在“乘法”單元復(fù)習(xí)中，有這樣一道習(xí)題（如圖3）：

題目意圖很明顯：用估算預(yù)測(cè)，用計(jì)算驗(yàn)證。然而，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)掌握了筆算方法，還形成了一定的心算技能。讀完題目，學(xué)生立即迫不及待地動(dòng)筆算起來(lái)。試想：結(jié)果已呼之欲出，學(xué)生怎么可能視而不見(jiàn)“舍近求遠(yuǎn)”地先估后算呢？對(duì)此，我將三輪車(chē)和小床的價(jià)格表示為21元和40元，因?yàn)榍榫程峁┑臄?shù)據(jù)具有不確定性，“逼”著學(xué)生自覺(jué)選擇估算策略。學(xué)生在實(shí)際運(yùn)用中體驗(yàn)到用估算解決問(wèn)題的實(shí)用性和便捷性，自覺(jué)選擇了先估后算的方法。

三、 有意識(shí)追問(wèn)，拓展思維空間

如果學(xué)生在思考過(guò)程中缺乏深度，對(duì)事物的分析、認(rèn)識(shí)只停留在某一個(gè)層面，主要原因就是教師的課堂提問(wèn)沒(méi)能扣準(zhǔn)學(xué)生思維的特點(diǎn)。所以，學(xué)生思維的深入需要教師有意識(shí)地追問(wèn)和引導(dǎo)，通過(guò)對(duì)問(wèn)題價(jià)值的發(fā)掘，幫助他們?cè)诟邔哟紊险归_(kāi)有根據(jù)的思考。

例如，教材“認(rèn)識(shí)比”中的一道習(xí)題（如圖4）。

結(jié)合圖片和文字說(shuō)明，不難確定每一種溶液當(dāng)中“洗潔液”與“水”的比。因此，括號(hào)內(nèi)的文字純屬畫(huà)蛇添足。基于這些考慮，我們重新設(shè)計(jì)了問(wèn)題：一是隱去括號(hào)內(nèi)的文字注釋?zhuān)寣W(xué)生到圖中去“檢索”哪個(gè)是洗潔液，哪個(gè)是水，在自我選擇中強(qiáng)化對(duì)前項(xiàng)、后項(xiàng)的感知與鑒別，加深對(duì)比的意義的認(rèn)識(shí)；二是把卡通貓?zhí)岢龅膯?wèn)題改成：四幅圖中洗潔液并不相等，可是為什么都用“1”來(lái)表示呢？引導(dǎo)學(xué)生感悟每個(gè)比當(dāng)中前項(xiàng)與后項(xiàng)相互依存、對(duì)立統(tǒng)一的關(guān)系。

再如，許多教師在探索平行四邊形面積計(jì)算公式的過(guò)程中，往往對(duì)數(shù)方格這一活動(dòng)不太重視，認(rèn)為它繁瑣，耗費(fèi)時(shí)間，而實(shí)際上，在數(shù)方格的不同方法的反饋中，學(xué)生感受到只有將圖形左邊的三角形整體移到右邊，才能方便地看出圖形中包含了多少個(gè)面積單位，這就是“割補(bǔ)”轉(zhuǎn)化的理論基礎(chǔ)。所以，課堂上我適時(shí)呈現(xiàn)方格圖，再移入平行四邊形，在學(xué)生反饋數(shù)方格方法的過(guò)程中，我不但問(wèn)“有多少個(gè)方格”，還進(jìn)一步追問(wèn)“有沒(méi)有更好的數(shù)法？”這樣設(shè)問(wèn)使全體學(xué)生潛移默化地感受到了轉(zhuǎn)化的思想，使“沿著高剪開(kāi)”成為理所應(yīng)當(dāng)?shù)男枰?/p>

“抄近路”的做法雖然可以省時(shí)、省力，但是它同時(shí)也省略了最有價(jià)值的探索過(guò)程。所以從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，它不是走向成功的捷徑，而是使思維陷入停滯的迷途。問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟，問(wèn)題設(shè)計(jì)應(yīng)該扣準(zhǔn)學(xué)生思維的起點(diǎn)，引發(fā)學(xué)生主動(dòng)思維的發(fā)生，使學(xué)生思維深刻地發(fā)展。

【責(zé)任編輯：陳國(guó)慶】