對一道課本習(xí)題的探究

摘 要：對教材中的典型習(xí)題、例題的條件、結(jié)論加以適當(dāng)演變，或?qū)γ}加以推廣、引申，可以讓學(xué)生搞清楚同一問題的各種不同情況，掌握一般規(guī)律，充分發(fā)揮習(xí)題的功能. 本文通過引導(dǎo)學(xué)生探究一道課本習(xí)題，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)和研究問題的能力，對學(xué)生的各種素養(yǎng)的形成大有好處.

關(guān)鍵詞：課本習(xí)題；拋物線；直線；相交；斜率；探究；定值

對教材中的典型習(xí)題、例題的條件、結(jié)論加以適當(dāng)演變，或?qū)γ}加以推廣、引申，可以讓學(xué)生搞清楚同一問題的各種不同情況，掌握一般規(guī)律，并充分發(fā)揮習(xí)題的功能. 這樣做，對于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、變通性，提高學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力都有較大的作用.

題目 過y2=2px（p>0） 焦點的一條直線和這拋物線相交，兩個交點的縱坐標(biāo)為y1，y2，求證：y1y2=-p2.

這是蘇教版高中數(shù)學(xué)新教材選修2-3第47頁的第9題. 這是一道很簡單，內(nèi)容卻十分豐富的好題. 近幾年全國各地有不少高考試題，都直接源于這道題，可見這道題備受青睞，具有典型性、代表性，是一道值得我們探究的課本習(xí)題. 因而我們在教學(xué)中不能只就題論題，淺嘗輒止，而要引導(dǎo)學(xué)生對題目深入探討，引申推廣，發(fā)展學(xué)生的思維能力.

筆者在教學(xué)中，引導(dǎo)全班學(xué)生，對該題進(jìn)行了深入的探討，得到了一些更為有趣的性質(zhì). 本文著重介紹這些性質(zhì)及它們的應(yīng)用.

定理1 如果直線l過定點M（m，0） （m≠0）且和拋物線y2=2px（p>0）相交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），那么x1x2，y1y2均為定值.

證明：（1）若直線AB與x軸垂直，易得x1x2=m2，y1y2=-2pm，均為定值.

（2）若直線AB與x軸不垂直，設(shè)其方程為y=k（x-m），代入y2=2px，

得k2x2–2（mk2+p）x+m2k2=0，所以x1x2=m2，所以yy=2px1·2px2=4p2m2，

所以y1y2=-2pm（取負(fù)值），均為定值. 故由（1）（2）知x1x2，y1y2均為定值.

由定理1，很容易得到直線OA，OB的斜率kOA，kOB有如下性質(zhì)：

推論 如果直線l過定點M（m，0） （m≠0），且和拋物線y2=2px（p>0）相交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），那么kOA·kOB為定值.

由性質(zhì)1知，kOA·kOB=·=-，為定值.

直線OA，OB和直線AB的斜率存在什么關(guān)系呢？

定理2 如果與x軸不垂直的直線l過定點M（m，0）（m ≠0），且和拋物線y2=2px（p>0）相交于兩點A，B，O為坐標(biāo)原點，那么+=.

證明：設(shè)直線l的方程為x=ay+m，由題意知a≠0，與y2=2px（p>0）聯(lián)立，得，

y2-2apy-2pm=0，則y1+y2=2ap，y1y2= -2pm，

所以+=+=+=2a+m

+

=2a+m·=2a+m·=a=.

注：若設(shè)直線l的方程為y=k（x-m），則運(yùn)算較繁.

如果直線l過y軸上一定點， 直線OA，OB的斜率kOA，kOB又有怎樣的關(guān)系呢？

定理3 如果直線l過定點（0，b）（b≠0），且和拋物線y2=2px（p>0）相交于兩點A，B，O為坐標(biāo)原點，那么kOA+kOB為定值.

證明：設(shè)直線l的方程為y=kx+b，與 y2=2px聯(lián)立，得k2x2+2（kb-p）x+b2=0，則x1+x2=，x1x2=. 由A，B在直線l上，得kOA+kOB=+=+=2k+b·=2k+b··=.

下面舉兩個例子說明這幾個性質(zhì)的應(yīng)用.

例1 設(shè)直線l過定點（0，b）（b≠0），傾斜角為，且和拋物線y2=2x相交于兩點A，B，O為坐標(biāo)原點，滿足kOA·kOB= -，k+k=1，求直線l的方程.

解：由kOAkOB=-，k+k=1，得（kOA+kOB）2=k+k+2kOAkOB=1-，所以kOA+kOB=±.又由定理3得，kOA+kOB==，所以b=±2（+1），所以直線l的方程為y=x±2（+1）.

例2 過點（1，0）作直線l和拋物線y2=4x相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，已知直線OA的傾斜角為45°，AB=，求直線OB的方程.

解：由題意得，kOA=1，AB與x軸不垂直. 設(shè)AB的方程為：y=k（x-1），與y2=4x聯(lián)立，得，k2x2-（2k2+4）x+k2=0，x1+x2=，x1x2=1，

所以AB=·=，將x1+x2=，x1x2=1代入，化簡，得，kAB=. 由定理2，+=，得1+=，所以kOB=-，

所以O(shè)B的方程為y=-x.

可見，我們在平時的教學(xué)中，深入鉆研教材，認(rèn)真研究課本例題、習(xí)題，是一件很有意義的事情. 教師在教學(xué)中應(yīng)長期不懈地堅持下去，長此以往學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力將會得到大幅提升.