對一道調研試題求解過程的回顧與反思

摘 要：調研試題作為高考前的學業(yè)水平測試，一定程度上反映著當年高考的趨勢，其難度往往也不亞于當年的高考題，一道程度相當高的調研試題，往往不是憑借個人的能力就能完整解決的，正因解題中重重的困難才能使教師群體的討論彰顯意義.通過群體的討論來彌合個人思維的不完整性，從而達到解題的嚴密性. 通過一道調研試題解題過程的反思，往往能夠體現(xiàn)其背后的意義——促進教師專業(yè)發(fā)展.

關鍵詞：調研試題；解題過程；回顧；反思

個人的能力是有限的，特別是當遇到復雜程度較高的題目時，個人思維的不完整性往往會暴露得一覽無余.而群體的討論，會產(chǎn)生思維的碰撞，擦出智慧的火花，能夠彌合個人思維的不完整性，從而促進教師個人的專業(yè). 本文基于一道考題解題過程的反思，反映教師交流對于教師專業(yè)發(fā)展的促進作用.

例：平面直角坐標系xOy中，橢圓C：+=1（a>b>0）的離心率為，右焦點F（1，0），點P在橢圓C上，且在第一象限內，直線PQ與圓O：x2+y2=b2相切于點M.（1）求橢圓方程；（2）求PM·PF的取值范圍；（3）若OP⊥OQ，求點Q的縱坐標t.

問題（1）和（2）略，橢圓方程為+=1

獨自摸索：缺陷的過程，暴露思維的不完整性

分析：由過P點與圓的切線存在兩種可能性，即斜率存在，也可能不存在，因此對于本題應當將其分類討論.

①當斜率不存在時，即PM⊥x軸，則P點的坐標為

，

，Q（，t）.

因為OP⊥OQ，所以·=3+t=0，解得t=-2.

②當斜率存在時，設P點坐標為（x0，y0），則PQ的直線方程為y-y0=k（x-x0），則Q點坐標為Q

，t

. 又因為OP⊥OQ，所以·=x0+ty0=0，解得t=，所以t2==.

PQ與圓相切，=?（kx0-y0）2=3k2+3?2kx0y0=k2x+y-3k2-3，

t2=. P在橢圓上所以y=3-x，代入上式可得：

t2==12，解得t=-2或2（舍）. 綜合①和②得t=-2.

團體討論：激蕩的思維，展現(xiàn)群體的卓越智慧

1. 和風細雨，一語點醒夢中人

然而，與參考答案比較時產(chǎn)生了差異，差異的關鍵在于t=2能否??？當發(fā)現(xiàn)參考答案取了2時，筆者懷疑參考答案的正確性. 由于P點在第一象限，當PM⊥x軸時，同時保證OP⊥OQ，因此Q點只能出現(xiàn)在第四象限內，所以Q點的縱坐標不可能為正.

在筆者講述的同時將草圖畫給了同事，同事看著圖下意識地點了點頭表示贊同，并闡述到“的確，同時保證兩個條件成立時，無法在x軸上方找到Q點.”在確認參考答案無誤的情況下，大家繼續(xù)討論著什么地方產(chǎn)生了問題呢？討論激勵地進行著……

此時，一位同事輕聲地嘆了一句“咱們都受題目所給出圖的影響，思維定式，忘記了最基本的一個知識點，過圓外一點作圓的切線應該有兩條.” 這一句話點醒了夢中人，分類討論是對的，但討論的對象錯了，由于P在圓外，所以過P的切線應當有兩條，因此討論的對象應當是兩條切線的分布狀況. 由于P在第一象限，所以過P點的兩條切線存在兩種分布：其一，兩條切線的斜率均存在，即都不垂直于x軸；其二，兩條切線中其中有一條垂直于x軸，另一條不垂直. 因此可以將上述分類討論①的過程調整如下：

①當過P點的切線有一條垂直于x軸時，則P點的坐標為

，

，Q點坐標為（，t）或（-，t）.

因為OP⊥OQ，所以當Q（，t）時，·=3+t=0，解得t= -2；當Q（-，t）時·=-3+t=0，解得t=2.

2. 群體討論，思維的再次突破

“我們發(fā)現(xiàn)受題目所給圖的影響，解題時容易產(chǎn)生思維定式，因此對于這種分類討論的做法雖然思路易得，但解題時有一定的缺陷. 那么有沒有一種方法，可以避免這種錯誤呢？”有位同事如是說.

“反思我們的解題過程，可以發(fā)現(xiàn)，我們的思路是利用切線方程求解Q點坐標，以OP⊥OQ為橋梁，建立·等于0這樣的等量關系，然而利用切線方程就涉及斜率是否存在的問題，因此按此思路討論無可避免.”

“向量數(shù)量積等于0確立了討論必要性，那么在OP⊥OQ的前提下，還可以利用初中平面幾何中所學的射影定理建立面積相等的等量關系，即OP·OQ=OM·PQ.” 具體解法如下：

設P點坐標為（x0，y0），則直線OQ的方程為y=-x，因此，Q點坐標為

-t，t

.

OP=，OQ=，OM=，PQ=，OP⊥OQ?OP·OQ=OM·PQ?·=·.

·=·=·?（x+y）t2=3（x+t2）?t2=.

P點在橢圓上，所以+=1?y=3-?t2==12?t=±2.

回顧反思：個人的進步，得益于群體坦誠交流

反思整個過程，不難發(fā)現(xiàn)，個人的獨自摸索過程充分反映了個人思維的不完整性，這個問題從本質上源于教師個人的專業(yè)素養(yǎng)高度. 通過教師之間的坦誠交流，最直接的結果是完善了解題的過程，得到了解題的結果. 而深層次的則包含了促進教師專業(yè)發(fā)展的機制：教師個人的專業(yè)發(fā)展，得益于教師之間坦誠的交流；教師群體的專業(yè)成長，得益于教師之間傾心的交流.

首先，從個人專業(yè)素養(yǎng)的提升看，通過教師之間的相互討論，加深教師對個別知識點的印象，以本題為例，討論讓老師們再次回顧過圓外一點切線的相關知識，從而加固并完善了教師的知識結構體系，最終促進教師在專業(yè)知識方面的素養(yǎng)成長. 通過教師之間的相互討論還可以借助眾人的智慧補足個人思維的缺陷，以本題為例，通過老師之間的討論讓每個人都認識到對圓外一點切線的斜率進行討論時，不能以單一的切線斜率存在于否作為對象，而應將兩條切線作為一個整體進行分類. 通過這樣的討論彌合了個人思維存在的不完整性，完善了思路的整體性，從而在交流中鍛煉思維，從思維的層面提升了教師的專業(yè)素養(yǎng). 通過教師之間的相互討論，還可以幫助教師從多個角度來審視問題，即以不同的理論作為解題的橋梁. 例如本例中，通常個人的思維是對切線進行分類討論，利用向量關系來建立等量關系，而經(jīng)過討論后老師們提出了更高的要求，避免分類討論的情況，從而催生了利用射影定理建立等量關系，擴大了教師們解題的視野. 因此，討論還可以從視野層面提升教師的專業(yè)素養(yǎng).

其次，從教師群體的專業(yè)成長看，通過教師個別之間的討論，活躍了辦公室的氣氛，制造了一種討論的氛圍，從而吸引教師參與，易于發(fā)動群體的大討論，從而由促進個人專業(yè)素養(yǎng)的提升轉化為促進教師群體專業(yè)素養(yǎng)發(fā)展；通過教師之間的大討論，易在辦公室建立一種學習的氛圍，讓教師把注意力更集中于自己的專業(yè)領域，從而促進教師由階段性學習向終身性學習的轉變.

總而言之，教師交流是促進教師專業(yè)成長的橋梁.