數(shù)值計(jì)算方法課程建設(shè)的探索與思考

閆仕宇 饒婕 蔣輝 李萌 陽小華

摘 ?要： 數(shù)值計(jì)算方法是一門將數(shù)學(xué)知識和計(jì)算機(jī)編程技術(shù)相結(jié)合的課程，針對工程專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程存在的困難，闡述了在工程專業(yè)開設(shè)數(shù)值計(jì)算方法課程的必要性。結(jié)合工程實(shí)踐教學(xué)特點(diǎn)，優(yōu)化教學(xué)模式和方法，提升工程專業(yè)學(xué)生計(jì)算思維能力，使得教學(xué)效果更好。

關(guān)鍵詞： 工程專業(yè); 數(shù)值計(jì)算; 課程建設(shè); 計(jì)算思維

中圖分類號：G642.3 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A ? ? 文章編號：1006-8228（2015）01-42-03

Exploration and thinking of course construction on numerical computation method

Yan Shiyu， Rao Jie， Jiang Hui， Li Meng， Yang Xiaohua

（School of Computer Science and Technology， University of South China， Hengyang， Hunan 421001， China）

Abstract： The mathematics are combined with the computer programming capacity in the course of numerical computation method. Since the engineering students have found it difficult to learn this course， the necessity of course setting on numerical computation method in engineering is expounded in this paper. According to the characteristics of engineering practical teaching， the teaching mode and method are optimized to promote computational thinking of engineering majors to achieve a better teaching result.

Key words： engineering; numerical computation; course construction; computational thinking

0 引言

隨著電子計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展、普及以及新型數(shù)值計(jì)算軟件不斷開發(fā)出來，數(shù)值計(jì)算方法對自然科學(xué)和工程技術(shù)科學(xué)的影響越來越大?，F(xiàn)在，無論是在高科技領(lǐng)域還是在一些傳統(tǒng)學(xué)科領(lǐng)域，數(shù)值計(jì)算均是不可缺少的方法，它已成為科學(xué)工作者和工程技術(shù)人員應(yīng)當(dāng)掌握的知識和工具[1]。工程專業(yè)學(xué)生在處理實(shí)際工程模型時(shí)，會遇到各種數(shù)值計(jì)算問題。學(xué)好“數(shù)值計(jì)算方法”這門課程，有助于提升工程專業(yè)學(xué)生計(jì)算思維的能力。

關(guān)于計(jì)算思維的科學(xué)定位，自然科學(xué)領(lǐng)域公認(rèn)的三大科學(xué)方法：理論方法、實(shí)驗(yàn)方法與計(jì)算方法[2]。國防科技大學(xué)人文學(xué)院朱亞宗教授從科技史與科技哲學(xué)的視野出發(fā)，并結(jié)合人類的科技創(chuàng)新實(shí)踐活動來考慮，提出了將理論思維、實(shí)驗(yàn)思維和計(jì)算思維并列為三大科學(xué)思維[3]。數(shù)值計(jì)算方法與其他基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程又有著本質(zhì)上的區(qū)別，它不僅研究自身的理論，而且更多地與實(shí)際問題相結(jié)合，是數(shù)值計(jì)算方法與工程技術(shù)實(shí)踐緊密結(jié)合的一門課程。計(jì)算方法的目的是對數(shù)學(xué)問題建立計(jì)算機(jī)能夠執(zhí)行的解題方案，并從理論上加以驗(yàn)證其科學(xué)性和有效性。在解決工程實(shí)際問題時(shí)，常常依據(jù)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論，將其中的數(shù)學(xué)問題求解歸結(jié)為利用數(shù)值方法來解決，并借助于計(jì)算機(jī)得以充分地實(shí)現(xiàn)。其中科學(xué)計(jì)算軟件已經(jīng)在許多工程領(lǐng)域得到應(yīng)用。

掌握計(jì)算方法的基本理論及其應(yīng)用，對工科大學(xué)生從事專業(yè)研究和提升計(jì)算思維能力具有重要意義。

1 工科數(shù)值計(jì)算方法課程教學(xué)缺陷

目前全國高校在軟件工程專業(yè)本科學(xué)生中開設(shè)數(shù)值計(jì)算方法課并不多，即使有的學(xué)校開設(shè)了這門課程，其教學(xué)也是像數(shù)學(xué)專業(yè)一樣，強(qiáng)調(diào)理論，沒有結(jié)合軟件工程思想有針對性和選擇性地教授這門課程。工科學(xué)生往往并不具備很扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，在學(xué)習(xí)和理解數(shù)值計(jì)算方法中泛函、插值等相關(guān)知識時(shí)會缺乏興趣。而且，數(shù)值計(jì)算方法這門課程在工科教學(xué)環(huán)節(jié)中得不到應(yīng)有的重視，很多人認(rèn)為這是數(shù)學(xué)專業(yè)的課程，軟件工程學(xué)生重視工程實(shí)踐就可以了，往往忽視了科學(xué)計(jì)算中非常重要的計(jì)算思維的能力的培養(yǎng)。該課程教學(xué)中普遍存在以下問題。第一，教學(xué)目標(biāo)不明確;第二，教學(xué)內(nèi)容不加甄別，教材的選擇與學(xué)生的基礎(chǔ)和接受能力脫節(jié);第三，教師采用的教學(xué)方法缺乏靈活性，傳統(tǒng)重理論的教學(xué)方式不能適合當(dāng)代大學(xué)生課程教學(xué)，實(shí)踐教學(xué)環(huán)節(jié)缺乏，最終達(dá)不到教學(xué)目標(biāo)，還導(dǎo)致了工科學(xué)生對這門課程學(xué)習(xí)興趣不濃。

2 數(shù)值計(jì)算方法課程建設(shè)的對策

針對以上問題，我們在這門課程的實(shí)際教學(xué)中，首先改變對課程的認(rèn)識。數(shù)值計(jì)算方法是以各類數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法為研究對象，是理論與實(shí)踐相結(jié)合的一門學(xué)科。它不同于純數(shù)學(xué)只研究數(shù)學(xué)理論本身。通過方法的推導(dǎo)和描述，以及整個(gè)求解過程的分析，為數(shù)學(xué)問題依靠計(jì)算機(jī)提供實(shí)際可行的，理論可靠的，計(jì)算復(fù)雜性小的各種數(shù)值算法。為了使學(xué)生能夠更好地掌握計(jì)算方法課程的基本思想、基本原理和方法，除了必須具備數(shù)學(xué)學(xué)科的基本知識外，還要擺脫這些數(shù)學(xué)學(xué)科思維模式的束縛，轉(zhuǎn)而過渡到數(shù)值計(jì)算思維[4]。

另外，理論與算法實(shí)現(xiàn)兩者相輔相成。軟件工程學(xué)生編程能力強(qiáng)，但是數(shù)學(xué)理論偏弱，結(jié)合具體算法的具體應(yīng)用和實(shí)例分析，通過上機(jī)實(shí)驗(yàn)來具體應(yīng)用其所建立的算法，并驗(yàn)證理論結(jié)果，反過來理解數(shù)學(xué)理論，并且舉一反三。

2.1 設(shè)置合理的教學(xué)目標(biāo)

設(shè)置教學(xué)目標(biāo)應(yīng)跟上軟件學(xué)科的發(fā)展，根據(jù)實(shí)際的教學(xué)效果做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，最終設(shè)置合理的教學(xué)目標(biāo)。我學(xué)院軟件工程系教研室針對卓越軟件工程師班的本科學(xué)生，實(shí)行“3+0.5+0.5”的培養(yǎng)模式，學(xué)生在完成大學(xué)三年的基礎(chǔ)和專業(yè)學(xué)習(xí)后，在大四學(xué)期開設(shè)了四個(gè)模塊：群體軟件工程、信息系統(tǒng)、核電軟件、軟件測試。學(xué)生可以根據(jù)自己喜好選擇方向。在核電軟件模塊中開設(shè)了數(shù)值計(jì)算方法課程。近年來核電國產(chǎn)化的需求日益強(qiáng)烈，而核電軟件的開發(fā)涉及科學(xué)計(jì)算問題，數(shù)值計(jì)算方法這門課程是這個(gè)方向的核心課程。結(jié)合行業(yè)特點(diǎn)和工科學(xué)生的數(shù)學(xué)背景知識，這門課程主要是培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)值計(jì)算方法在實(shí)際工程背景中應(yīng)用的理解，以具體的工程實(shí)踐模型為背景，在解決實(shí)際問題中涉及的數(shù)值計(jì)算方法，從算法到編程、實(shí)現(xiàn)結(jié)果。從工程角度提升對數(shù)學(xué)理論知識的理解。

2.2 甄選教學(xué)內(nèi)容

在工科專業(yè)課程課時(shí)分配上，計(jì)算方法課程學(xué)時(shí)很有限。在這有限的學(xué)時(shí)里，如何讓學(xué)生系統(tǒng)地掌握基本方法和基本原理值得深入探討。根據(jù)工科學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，結(jié)合數(shù)值計(jì)算知識單元，以軟件工程卓越班數(shù)值計(jì)算課程為例，采用Bloom分類法說明學(xué)生對知識點(diǎn)應(yīng)掌握的程度，具體如下：

了解 能記住學(xué)習(xí)過的內(nèi)容;

理解 能領(lǐng)會課程內(nèi)容的含義，掌握知識的內(nèi)涵;

應(yīng)用 能在新的具體情況下應(yīng)用所學(xué)知識解決問題。

同時(shí)，還應(yīng)說明各個(gè)知識點(diǎn)的重要程度，具體如下：

核心 該知識點(diǎn)是核心知識單元的一部分;

推薦 該知識點(diǎn)不是核心知識單元的一部分，但應(yīng)包含在必修課程中;

可選 該知識點(diǎn)屬于選修知識單元。

有關(guān)教學(xué)大綱和各個(gè)知識點(diǎn)的重要程度見表1、表2。

2.3 創(chuàng)新教學(xué)方法和手段

這門課程數(shù)值方法的理論推導(dǎo)建立在很強(qiáng)的數(shù)值基礎(chǔ)上，工科學(xué)生一方面對書本知識很難吃透，另一方面由于工科學(xué)生缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)邏輯思維的訓(xùn)練，心理上有種“談數(shù)學(xué)而色變”的恐懼心理，因此也影響了課堂教學(xué)的效果。如果采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)理論講解教學(xué)方式，很難調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因此，創(chuàng)新教學(xué)方法和手段很有必要。

表1 ?數(shù)值計(jì)算方法課程教學(xué)大綱

[主題＼&主要內(nèi)容＼&數(shù)值計(jì)算中的誤差分析＼&1、誤差的來源與分類

2、誤差與有效數(shù)字

3、數(shù)值計(jì)算中的誤差估計(jì)

4、數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計(jì)原則＼&線性方程組的數(shù)值解法＼&1、直接法與三角形方程組的求解

2、Guass列主元消去法

3、Guass全主元消去法

4、Guass選列主元消去法

5、平方根法＼&插值法與最小二乘法＼&1、拉格朗日（Lagrange）插值

2、插值多項(xiàng)式中的誤差（插值余項(xiàng)，高次插值多項(xiàng)式的問題）

3、數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法＼&數(shù)值積分和微分＼&1、Newton-Cotes公式

1.1 插值型求積公式及Cotes系數(shù)

1.2 低階Newton-Cotes公式的余項(xiàng)目

1.3 Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性

2、復(fù)合求積法

2.1 復(fù)合求積公式

2.2 復(fù)合求積公式的余項(xiàng)及收斂階

2.3 步長的自動選擇

2.4 復(fù)合Simpson求積的算法設(shè)計(jì)＼&常微分方法的數(shù)值解法＼&1、歐拉（Euler）方法

2、龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法＼&]

表2 ?數(shù)值計(jì)算方法領(lǐng)域中的知識點(diǎn)表

[知識點(diǎn)＼&掌握程度＼&重要程度＼&數(shù)值計(jì)算中的誤差分析＼&應(yīng)用＼&核心＼&直接法與三角形方程組的求解＼&理解＼&核心＼&Guass消去法＼&應(yīng)用＼&核心＼&平方根法＼&應(yīng)用＼&可選＼&插值法與最小二乘法＼&應(yīng)用＼&核心＼&Newton-Cotes公式-插值型求積公式及Cotes系數(shù)＼&應(yīng)用＼&核心＼&低階Newton-Cotes公式的余項(xiàng)目＼&應(yīng)用＼&核心＼&Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性＼&應(yīng)用＼&核心＼&復(fù)合求積法--復(fù)合求積公式＼&應(yīng)用＼&核心＼&復(fù)合求積公式的余項(xiàng)及收斂階＼&應(yīng)用＼&核心＼&步長的自動選擇-復(fù)合Simpson求積的算法設(shè)計(jì)＼&應(yīng)用＼&核心＼&歐拉（Euler）方法＼&應(yīng)用＼&核心＼&龍格-庫塔（Runge-Kutta）方法＼&應(yīng)用＼&可選＼&]

2.3.1 借助實(shí)際工程數(shù)學(xué)模型引入數(shù)值計(jì)算方法

從實(shí)際問題中抽象出來的數(shù)學(xué)模型，數(shù)值計(jì)算方法為這些數(shù)學(xué)模型的解決提供一些基本的算法。比如核電軟件中，中子通量的計(jì)算最后可以抽象出一個(gè)擴(kuò)散方程，那么通過對實(shí)際應(yīng)用背景的描述，不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望，提供建立數(shù)值方法的實(shí)際應(yīng)用源泉，也體現(xiàn)出數(shù)值方法的價(jià)值和意義，使我們的數(shù)學(xué)教學(xué)不再是無源之水，無本之木，不再顯得那么空洞。有了擴(kuò)散方程這個(gè)模型后，進(jìn)一步就是離散方程。為什么要離散方程，以實(shí)例啟示學(xué)生為什么建立數(shù)值方法，應(yīng)該如何引進(jìn)數(shù)值方法。建立一種數(shù)值方法后，哪些問題是值得我們研究的。例如在學(xué)習(xí)數(shù)值積分方法的時(shí)候，可以看到基于復(fù)化梯形公式的求積方法比牛頓求積公式精度更高，學(xué)生從計(jì)算實(shí)際結(jié)果中可以感覺到數(shù)學(xué)計(jì)算方法的神奇魅力。這樣的啟發(fā)式加互動式教學(xué)，對學(xué)生深入掌握樣條理論起到了非常好的作用。

2.3.2 理論與算法實(shí)現(xiàn)相結(jié)合

從計(jì)算方法數(shù)學(xué)理論角度來理解什么是數(shù)值收斂，什么是數(shù)值穩(wěn)定，以及什么情況下可以用高斯消元法來求解線性方程組，這些對于工程出身的學(xué)生來說是困難的。但數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值穩(wěn)定、數(shù)值收斂的概念是相當(dāng)重要的。如何讓學(xué)生輕松理解這些生澀難懂的概念，那么最簡單的一個(gè)辦法就是找一個(gè)數(shù)值算例，用計(jì)算機(jī)語言來實(shí)現(xiàn)。比如求解一個(gè)四階的代數(shù)方程，用不同的求解方法來驗(yàn)證數(shù)值解的精確性，從結(jié)果反推出為什么有的方法數(shù)值解是收斂的，而有的方法則是不收斂的。從理論上去找原因。這樣就加深了對理論的理解，進(jìn)而提升學(xué)生的理論功底。

2.3.3 設(shè)計(jì)一個(gè)完整案例，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)值計(jì)算方法的美

數(shù)值計(jì)算方法的知識點(diǎn)很多，每個(gè)知識點(diǎn)都可以通過設(shè)計(jì)算法來實(shí)現(xiàn)。但是這些零散的知識點(diǎn)還不足以讓學(xué)生體味到數(shù)值計(jì)算方法的力量和美，為此我們設(shè)計(jì)一個(gè)難度適中的案例，讓學(xué)生從工程實(shí)踐背景開始，提出模型，離散模型，分析方程特點(diǎn)，提出數(shù)值求解方法，設(shè)計(jì)算法，編程實(shí)現(xiàn)，分析數(shù)值結(jié)果，得出理論收斂結(jié)果。這個(gè)過程能讓學(xué)生體會到數(shù)值計(jì)算方法的應(yīng)用，在工程實(shí)踐中的力量是很強(qiáng)大的，同時(shí)也會感嘆數(shù)值結(jié)果的美。這個(gè)過程使得學(xué)生有了不同于傳統(tǒng)的軟件工程思維，提升了其計(jì)算思維能力。

用軟件工程卓越班學(xué)生完成的一個(gè)簡單的數(shù)值計(jì)算為例，編程分別通過一次插值和二次插值求f（sin500）的近似值及其誤差。本次實(shí)驗(yàn)所用工具為Visual Studio 2012，使用的語言為C#，學(xué)生利用軟件工程思想面向?qū)ο笤O(shè)計(jì)來做數(shù)值計(jì)算程序設(shè)計(jì)，采用界面直觀展示不同結(jié)果，使學(xué)生更進(jìn)一步體驗(yàn)了數(shù)值計(jì)算方法的美。

一次插值與二次插值比較，同時(shí)與已知電腦中的計(jì)算器計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，學(xué)生會自然發(fā)現(xiàn)二次插值的計(jì)算結(jié)果更接近真實(shí)值，誤差比一次插值小。從而加深對誤差的理解。

3 總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)精品課程

經(jīng)過教學(xué)效果和社會需求分析判斷，達(dá)到教學(xué)目標(biāo)。在這個(gè)過程中需要總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，為創(chuàng)精品課程做準(zhǔn)備。在實(shí)踐教學(xué)中，做到“跟上時(shí)代”與“注重基礎(chǔ)”相輔相成，才能使這門課程兼具了縱向與橫向的深度。學(xué)生能夠在這門課程受益，學(xué)到知識的同時(shí)，也學(xué)會了一種新的思維方法，跳出狹窄的視野，在更廣闊的范圍內(nèi)思考問題，擴(kuò)展思維并提高解決問題的能力，同時(shí)也為自己樹立起信心。

實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)還告訴我們，創(chuàng)“數(shù)值計(jì)算方法”在軟件工程領(lǐng)域的精品課程呼喚雙師型教育。也就是說，作為教師個(gè)體，既需要有工程背景和工程經(jīng)歷，又需要有學(xué)術(shù)水平;作為師資隊(duì)伍，既要有科學(xué)型教師，又要有工程型教師。這樣才能培養(yǎng)出既有理論功底和專業(yè)基礎(chǔ)，又有工程實(shí)踐能力的軟件工程人才?？梢酝ㄟ^校企聯(lián)合辦學(xué)，引進(jìn)兼職教師，加強(qiáng)教師培訓(xùn)，完善評價(jià)體系等措施，逐步建立起這樣一支雙師型的師資隊(duì)伍。

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