分式方程的增根探討

王樹平

摘 要：教學(xué)分式方程應(yīng)研究增根問題。增根必須同時滿足兩個條件，缺一不可：分式方程的增根能使分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程時，方程兩邊同時乘以的最簡公分母等于0；分式方程的增根能使分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程成立。

關(guān)鍵詞：增根；最簡公分母；分式方程

中圖分類號： G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1008-3561（2015）20-0070-01

分式方程的增根問題，是分式方程教學(xué)的一個難點，許多學(xué)生學(xué)過以后也是似懂非懂。老師講這一課時，同樣感到很吃力。因此，在教學(xué)實踐中，要重視研究分式方程的增根。

首先，需明確分式方程的增根產(chǎn)生：在解分式方程的過程中，分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程（去分母）時，未知數(shù)的范圍擴大了，就會產(chǎn)生增根。增根必須同時滿足以下兩個條件：分式方程的增根能使分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程時，方程兩邊同時乘以的最簡公分母等于0；分式方程的增根能使分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程成立。要清醒的認識到：增根一定能使最簡公分母等于0，反過來，能使最簡公分母等于0的未知數(shù)的值，卻不一定是分式方程的增根。其次，不是每個分式方程都有增根。解分式方程的三個常見誤區(qū)如下。

誤區(qū)一：認為能使分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程時，方程兩邊同時乘以的最簡公分母等于0的未知數(shù)的值，都是分式方程的增根。

例1：解方程=2-求它的增根。解：因為方程有增根，所以令x-3=0，得到x=3，因此，方程的增根是x=3。點評：本題的解法是正確的。這個分式方程化成的整式方程是x=2（x-3）+3，解x=3，同時滿足增根的兩個條件。

例2：解分式方程+=。最簡公分母是x（x+1）（x-1），若x（x+1）（x-1）=0，則x=0或1或-1，這3個值顯然不都是增根。轉(zhuǎn)化成的整式方程的解x=1，因此，只有x=1是增根，另外兩個值不符合前面提到增根的必須條件的第二個條件。點評：一定要注意增根所必須同時滿足的兩個條件。

誤區(qū)二：認為分式方程的增根和分式方程無解是等同的。這是錯誤的，當(dāng)分式方程無解時，分式方程可能有增根；還有另一種可能，分式方程轉(zhuǎn)化成的整式方程如果沒有解，那么分式方程也是無解的。出現(xiàn)這種錯誤的原因是常見這樣一類題目，舉例如下。

例1：+=①解：方程兩邊都乘以b（b-1），得3（b-1）+6b=b+5.②解這個方程，得b=1。經(jīng)檢驗：當(dāng)b=1時，原方程無意義，所以b=1是原方程的增根。所以，原方程無解。

分析：顯然，方程①中未知數(shù)b的取值范圍b≠0且b≠1，在去分母化為方程②后，未知數(shù)b的取值范圍擴大為全體實數(shù)，所以當(dāng)求得的b值恰好使最簡公分母為零時，b的值就是增根。本題中方程②的解b=1，恰好使公分母為零，所以b=1是原方程的增根，原方程無解。

例2 ：解方程=+2。解：去分母后可得到，y+1=2-y+2（y-3），進一步整理可得到，0y=-5，因為此方程無解，所以，原分式方程無解。

分析：此方程化為整式方程后，本身就無解，當(dāng)然原分式方程肯定就無解了?？梢?，分式方程無解，不一定就產(chǎn)生增根。遇到下面題型時，無解就不單單是增根了。

例3：n為何值時，關(guān)于x的方程+=無解。正確的解答：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得到（n-1）x=-10，因為方程有增根，則x=2或-2代入（n-1）x=-10中可得n=-4或n=6，若（n-1）x=-10沒有解，則n=1。因此，n=1或-4或-6時方程無解。

分析：在這個問題中，分式方程無解，既包括方程有增根，又包括分式方程化成的整式方程無解這兩種可能。

誤區(qū)三：忽視增根的存在。

例如：已知關(guān)于x的方程-2=有一個正數(shù)解，求n的取值范圍。（錯解）去分母得x-2（x-3）=n 所以x=6-n，由題意知x>0，所以6-n>0，得到n<6。錯解分析：忽視了分式方程有可能產(chǎn)生增根的情況，即還需滿足x≠3，即6-n≠3，n≠3。正確答案： n<6且n≠3。

綜上所述，對于分式方程一定要明確增根，同時必須驗根。以下，列舉了解分式方程出現(xiàn)增根的比較有代表性的題型。

例1：已知關(guān)于x的方程a2-=有增根，試確定的a的值是（ ）：A. 2；B.-2；C.±2；D.與a無關(guān)。

分析：首先確定增根為n=2，然后把x=2代入分式方程化成的整式方程即可。

解：去分母并且化簡得：（a2 -2）x=4，因為原方程的增根為x=2，把x=2代入得a2=4，所以a=±2， 因此應(yīng)選C。

例2：如果分式方程有增根，那么b的值是（ ）：A. -1或-2；B. -1或2；C. 1或2；D.1或-2。解：原方程去分母，并整理得： a2-2a-2-b=0 ，因為原方程的增根是a=0或a=1，把a=0或a=-1分別代入整式方程，得：b=-2或b=1，因此應(yīng)選D。

例3：如果關(guān)于y的方程=0有增根，則a的值為（ ）。解：原方程化簡為：ay+1=0，又知道原方程的增根是y=1，把y=1代入上式，得a=-1，因此應(yīng)填“-1”。

總結(jié)：通過以上3個例子可知，解答此類問題的基本思路是：把所給的分式方程轉(zhuǎn)化為整式；根據(jù)所給方程確定增根；把增根代入整式方程，求出字母數(shù)值。關(guān)于分式方程增根問題，在現(xiàn)行人教新課標課本上提及不多。但作為教學(xué)一線的數(shù)學(xué)教師，有必要加以探索和總結(jié)，幫助學(xué)生更好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識。

參考文獻：

[1]關(guān)柏林.關(guān)于分式方程增根問題的探討[J].黑河教育，2013（01）.

[2]韓雪華.關(guān)于分式方程增根的研究課[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（19）.