關(guān)于“通性通法”的思考

☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 吳志勇

關(guān)于“通性通法”的思考

☉江蘇省白蒲高級(jí)中學(xué) 吳志勇

文1用“通性通法”解出了江蘇卷2008年及2011年最后兩道填空題，得出結(jié)論：“淡化特殊技巧，重視通性通法”應(yīng)成為所有教師的共識(shí).筆者很贊同這一觀(guān)點(diǎn)，但對(duì)什么是“通性通法”卻有不同意見(jiàn).本文試通過(guò)對(duì)幾題的幾種解法進(jìn)行比較，分析其所用解題思想方法，看看哪種解題的思想方法更具一般性，能稱(chēng)之為“通性通法”，并對(duì)如何進(jìn)行解題教學(xué)提出建議.

（2008年江蘇高考）設(shè)函數(shù)f（x）=ax3-3x+1（x∈R），若對(duì)于任意x∈［-1，1］，都有f（x）≥0成立，則實(shí)數(shù)a= _________.

文1中的解法是先求出f（x）在區(qū)間［-1，1］上的最小值，令其大于或等于0，從而求得a的值.如下所示.

f′（x）=3ax2-3.當(dāng)a≤0時(shí)f′（x）≤0，所以f（x）min=f（1）= a-2.令a-2≥0，得a≥2，此種情況不成立.當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的得a=4.

解題的思想方法分析：“一切從實(shí)際出發(fā)，實(shí)事求是”，這是辯證唯物主義認(rèn)識(shí)論的基本原理.解數(shù)學(xué)題同樣也要從“實(shí)際”出發(fā)，這個(gè)“實(shí)際”就是題意，解題時(shí)必先認(rèn)真領(lǐng)悟題意，從中尋找解題方法.這可算是最基本的“通性通法”.“若對(duì)于任意x∈［-1，1］，都有f（x）≥0成立”，即把［-1，1］中的每一個(gè)值代入f（x）=ax3-3x+1（x∈R），都有f（x）≥0，這樣就得到關(guān)于a的無(wú)數(shù)個(gè)一元一次不等式，這無(wú)數(shù)個(gè)不等式的解集的交集中的元素就是要求的a的值.一般情況下，此交集可能是空集，可能是一個(gè)區(qū)間，也可能是一個(gè)單元集.由結(jié)論可以得出此交集必是一個(gè)單元集.

直接求出無(wú)數(shù)個(gè)一元一次不等式的解集的交集是不可能的，這才有了變通的方法，那就是選取有代表性的點(diǎn)代入.這里最有代表性的點(diǎn)就是f（x）的最小值點(diǎn)，這就是文1所推崇的“通性通法”.這一方法學(xué)生從高一到高三不知經(jīng)過(guò)了多少次練習(xí)，很多學(xué)生已經(jīng)形成了思維定勢(shì)，但高考中照樣有很多學(xué)生解不出此題，并不像文1中所說(shuō)的那樣“使他們?cè)诳荚囍辛⒂诓粩≈?，更能為他們未?lái)的發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)”.

對(duì)于此題，如不先限制a的范圍，要確定區(qū)間［-1，1］上的最小值點(diǎn)是比較麻煩的.事實(shí)上文1給出的解法中道理的.由此可見(jiàn)，過(guò)度練習(xí)“通性通法”，不了解方法的來(lái)源與實(shí)質(zhì)，只能機(jī)械套用，一旦情形有所變化，學(xué)生則可能束手無(wú)策.如此題所用的“通性通法”中，如最小值點(diǎn)難以確定或不存在都有可能導(dǎo)致解題失敗.

解決本題的思想方法，其實(shí)就是一個(gè)生活常識(shí)，實(shí)際生活中我們經(jīng)常應(yīng)用.舉一個(gè)例子：警察抓罪犯.警察決不會(huì)漫無(wú)邊際隨意搜索，一般先根據(jù)各種線(xiàn)索確定罪犯所在的范圍，然后在這個(gè)范圍內(nèi)再確定最有可能隱匿的地點(diǎn)，重點(diǎn)搜索.這種思想方法，在各領(lǐng)域、各學(xué)科，只要涉及“尋找”的問(wèn)題，它都可以派上用場(chǎng)，應(yīng)該是一個(gè)“通性通法”.而文1解決此題的方法與此相比則成了“特殊技巧”.用這種思想方法解決本題：要確定a的值，先“搜索”特殊點(diǎn)，以區(qū)間的端點(diǎn)代入，得到2≤a≤4，確定搜索范圍，如還想進(jìn)一步縮小“搜索范圍”，再以區(qū)間的二等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)代入也是很自然的做法.如果此題這樣做很幸運(yùn)就抓到“罪犯”了.這種很自然的方法，卻是文1所鄙夷的“特殊技巧”.當(dāng)然很多情況下，可能經(jīng)幾次重點(diǎn)“搜索”沒(méi)能抓住“罪犯”，但這些工作并沒(méi)有白費(fèi)，而是進(jìn)一步縮小了“搜索范圍”.罪犯的藏匿點(diǎn)，就是函數(shù)f（x）的最小值點(diǎn)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最小值一定會(huì)在區(qū)間端點(diǎn)或極值點(diǎn)處取得，因此只要再“搜索”兩個(gè)極值點(diǎn)即可，沒(méi)有必要考慮函數(shù)的單調(diào)性，也沒(méi)有必要具體確定哪一點(diǎn)是最小值點(diǎn).

（2011年江蘇高考）設(shè)1=a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比為q的等比數(shù)列，a2，a4，a6成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_________.

文1中解決此題用了兩次轉(zhuǎn)化，首先將a3，a4，a5，a6，a7轉(zhuǎn)化為基本量a2和q，得：1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3，再根據(jù)問(wèn)題的指向性“求q的最小值”將這個(gè)較長(zhǎng)的連續(xù)

第二步轉(zhuǎn)化得到了一個(gè)不等式組，通過(guò)解不等式組來(lái)解決此問(wèn)題，文1認(rèn)為這是一個(gè)“通性通法”.雖然這樣得出了正確結(jié)果，但第二步轉(zhuǎn)化卻是一個(gè)不等價(jià)轉(zhuǎn)換.反之卻不成立.第二步轉(zhuǎn)化對(duì)q的限制條件放寬了，理論上講q的取值范圍可能擴(kuò)大，因而這里得到正確結(jié)果純屬偶然，這其實(shí)是一個(gè)錯(cuò)解.如將1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3等價(jià)轉(zhuǎn)換為不等式組，這個(gè)不等式組中包含6個(gè)不等式，難以求出q的取值范圍，這也是很多考生沒(méi)有解出此題的原因.

其實(shí)由1≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3，只要再用上一個(gè)常用的思想方法即可得出正確結(jié)果.因?yàn)?≤a2≤q≤a2+1≤q2≤a2+2≤q3，把這幾個(gè)數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，從左到右依次為1、a2、q、a2+1、q2、a2+2、q3.要想q最小，這些點(diǎn)應(yīng)盡量向左移動(dòng)，因而有a2=1，q3=3，這樣的思想方法與文1中所用的解不等式組的方法相比更具一般性，更應(yīng)當(dāng)認(rèn)為是“通性通法”.

再來(lái)分析一下解決最值問(wèn)題的思想方法.要求一個(gè)量的最值，此量必然是一個(gè)變量，要想得到它的最值，必須弄清楚它為什么變，找出變化的原因；如何變，找出變化的規(guī)律.變化規(guī)律可以由函數(shù)解析式給出，化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.如列一元函數(shù)解析式比較困難，也可列二元函數(shù)，此時(shí)一般還要找出兩元之間的關(guān)系，用基本不等式解決.變化規(guī)律也可以由動(dòng)點(diǎn)的軌跡給出.此題中由于AB恒定，△ABC的面積完全取決于點(diǎn)C的位置，搞清點(diǎn)C的軌跡，就可求出△ABC的面積的最值.軌跡法也是解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法.解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，不能只局限于某種“通性通法”，要深入思考每一個(gè)可能的解題方法，評(píng)判其繁簡(jiǎn)優(yōu)劣，力求找到最簡(jiǎn)的解題方法.對(duì)于此題，用“軌跡法”應(yīng)是較好的方法.

高考命題擔(dān)負(fù)著為高校選拔人才的任務(wù)，這幾道江蘇高考題，引入生活中常用的解決問(wèn)題的方法，很好地考查了學(xué)生靈活解決問(wèn)題的能力.如果只考文1中所指的“通性通法”，學(xué)生平時(shí)經(jīng)大量練習(xí)，已經(jīng)形成了相應(yīng)的技能，能選出合格人才嗎？讀了十幾年書(shū)，連生活常識(shí)都不會(huì)用的人能稱(chēng)為人才嗎？

文1認(rèn)為中學(xué)生應(yīng)該掌握的“通性通法”應(yīng)是：“具有某些規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模式和常用的數(shù)學(xué)基本方法.”筆者以為：“通性通法”強(qiáng)調(diào)的是一個(gè)“通”字，然而“通”總有一個(gè)通的范圍，沒(méi)有放之四海而皆準(zhǔn)的方法.把解決某一模式的數(shù)學(xué)題的方法稱(chēng)為“通性通法”，教學(xué)中又過(guò)分強(qiáng)調(diào)這樣的“通性通法”，使學(xué)生養(yǎng)成辨別模式、套用方法的習(xí)慣，這不利于思維能力的培養(yǎng)，無(wú)益于提高熟練運(yùn)用知識(shí)和信息的能力，無(wú)益于探究創(chuàng)新氛圍的營(yíng)造，也不可能像文1所說(shuō)的那樣“使他們?cè)诮忸}時(shí)更有底氣，使他們?cè)诳荚囍辛⒂诓粩≈兀転樗麄兾磥?lái)發(fā)展奠定良好基礎(chǔ)”.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，不僅要讓學(xué)生會(huì)使用“通性通法”，更要了解解題方法的來(lái)龍去脈，知道怎樣做，更要理解為什么要這樣做.只有這樣，在情況發(fā)生變化時(shí)，才不會(huì)束手無(wú)策，而是能根據(jù)新的情況，找出解決問(wèn)題的方法.其次我們不能僅停留在方法層面，更應(yīng)挖掘方法背后的思想.方法只能解決特定類(lèi)型的題目，而思想更具一般性，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)所獲得的各種解決問(wèn)題的思想可應(yīng)用于以后所從事的各項(xiàng)工作中.

1曹軍.“通性通法”應(yīng)為解題的首選方法［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（7）.

2張海強(qiáng).2011年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷分析與改進(jìn)意見(jiàn)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（9）.A