機(jī)翼后緣柔性支撐結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化

金棟平*,紀(jì)斌

南京航空航天大學(xué) 機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210016

變形機(jī)翼可根據(jù)不同的飛行條件自適應(yīng)地改變自身構(gòu)形來提高飛行器的氣動性能[1-2],其中改變機(jī)翼彎度是一種重要方式,而機(jī)翼前/后緣偏轉(zhuǎn)是改變彎度的一種重要形式[3-5]。傳統(tǒng)變彎度機(jī)翼通過偏轉(zhuǎn)前/后緣襟翼等方法改變翼型彎度,使得機(jī)翼在襟翼偏轉(zhuǎn)處形成縫隙和折線,破壞了翼面的光滑性和連續(xù)性,導(dǎo)致氣流提早分離,造成阻力增加、燃油利用率降低。與傳統(tǒng)的前/后緣襟翼及常規(guī)偏折控制面相比,采用柔性結(jié)構(gòu)可以光滑而持續(xù)地改變機(jī)翼形狀,能使氣動性能明顯提高[6-7]。

柔性結(jié)構(gòu)可根據(jù)工作條件,利用自身的彈性變形實(shí)現(xiàn)一定輪廓形狀的改變。密歇根大學(xué)的Kota教授等[8-9]提出用柔性結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)機(jī)翼前/后緣可變的設(shè)計(jì)思路,并利用柔性結(jié)構(gòu)研制出可實(shí)現(xiàn)0°～6°變化的機(jī)翼前緣,使升力系數(shù)提高25%,升阻比提高51%。Podugu和Ananthasuresh[10]使用形狀對比法對機(jī)翼前/后緣進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化,并將形狀記憶合金用于優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)。國內(nèi)開展柔性變形機(jī)翼研究的主要有西北工業(yè)大學(xué)的葛文杰團(tuán)隊(duì)[11],他們分別從離散體和連續(xù)體兩個(gè)方面對柔性機(jī)翼進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化分析,并進(jìn)行了理論論證和變形試驗(yàn)。陳秀等[12]以實(shí)際變形曲線與目標(biāo)曲線之差最小作為優(yōu)化目標(biāo),采用遺傳算法對柔性結(jié)構(gòu)的尺寸、形狀、拓?fù)溥M(jìn)行了綜合優(yōu)化。黃杰[13]和 Tong[14]等基于SIMP(Solid Isotropic Micro-structure with Penalization)方法密度-剛度插值模型,實(shí)現(xiàn)了用于機(jī)翼前緣形狀連續(xù)變化的柔性結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。

拓?fù)鋬?yōu)化發(fā)展至今,涌現(xiàn)出多種優(yōu)化方法。Bends?e[15]提出了SIMP方法,并得到了廣泛認(rèn)可。Sigmund[16-17]在SIMP基礎(chǔ)上,對靈敏度進(jìn)行了改進(jìn)以有效解決結(jié)構(gòu)最小柔度問題。Sethian和Wiegmann[18]則將水平集法引入到結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化中。遺傳算法作為一種廣義的優(yōu)化方法被廣泛用于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。Jakiela[19]和Wang[20-21]等提出位矩陣編碼的遺傳算法,利用位矩陣將設(shè)計(jì)域離散,用于解決連續(xù)結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題。上述方法對于單目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化問題,通過施加約束可得到滿意優(yōu)化結(jié)果。對于多目標(biāo)優(yōu)化問題,Deb等[22]提出的非支配排序遺傳算法(Nondominated Sorting Genetic AlgorithmⅡ,NSGA-Ⅱ)是一種被廣泛采用的多目標(biāo)優(yōu)化算法,可以快速搜尋到Pareto前沿優(yōu)解。

通常,機(jī)翼后緣受到的氣動力相對較小,面外承載能力要求相對前緣要低。機(jī)翼后緣變形可有效提高氣動性能,將柔性結(jié)構(gòu)用于機(jī)翼后緣具有重要作用。本文針對滿足不同要求的機(jī)翼后緣柔性支撐結(jié)構(gòu),考慮面外承載、變形性能等多個(gè)優(yōu)化目標(biāo),使用位矩陣對機(jī)翼后緣曲面進(jìn)行編碼,并利用NSGA-Ⅱ?qū)υ搩?yōu)化問題進(jìn)行研究。通過對違約個(gè)體進(jìn)行懲罰,實(shí)現(xiàn)基于位矩陣的NSGA-Ⅱ多目標(biāo)算法,以得到用于機(jī)翼后緣優(yōu)化的可行、有效的柔性支撐結(jié)構(gòu)。

1 優(yōu)化對象及目標(biāo)函數(shù)

1.1 優(yōu)化對象

在外力作用下,機(jī)翼后緣柔性結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形,引起機(jī)翼彎度的改變,如圖1所示。

圖1 機(jī)翼后緣柔性結(jié)構(gòu)Fig.1 Flexible wing at trailing edge

選取機(jī)翼后緣曲面的一段作為優(yōu)化對象,長度為機(jī)翼弦長Lc的1/4,如圖2所示。位矩陣x表示離散后的機(jī)翼后緣曲面,若單元充滿材料,則位矩陣x中相應(yīng)元素為1；若單元為空,則位矩陣x中相應(yīng)元素為0。

圖2 機(jī)翼后緣曲面Fig.2 Surface of trailing edge

1.2 優(yōu)化目標(biāo)

1)對于飛行器,自重是需要考慮的一個(gè)重要方面,選取質(zhì)量較輕的結(jié)構(gòu),可以減少飛行過程中的能量消耗。對于由單一材料構(gòu)成的結(jié)構(gòu),將柔性支撐結(jié)構(gòu)的體積V(x)作為優(yōu)化目標(biāo)。

2)在氣動載荷p的作用下,柔性支撐結(jié)構(gòu)應(yīng)具有維持機(jī)翼外形的能力。圖3為柔性支撐結(jié)構(gòu)的氣動載荷及其邊界約束示意圖,結(jié)構(gòu)左端邊界簡支,限制x、y、z方向的位移。結(jié)構(gòu)局部z向位移δz(x,p)越小,維持機(jī)翼外形的能力越強(qiáng)。

圖3 柔性支撐結(jié)構(gòu)的氣動載荷及其邊界約束Fig.3 Aerodynamic loads and boundary conditions of flexible support structure

3)為使機(jī)翼后緣易于變形,柔性支撐結(jié)構(gòu)變形所需能量應(yīng)盡量小。圖4為柔性支撐結(jié)構(gòu)變形及其邊界約束示意圖,結(jié)構(gòu)左端邊界簡支,限制x、y、z方向位移,結(jié)構(gòu)右邊界簡支,限制x、y方向位移,結(jié)構(gòu)右端可沿z方向運(yùn)動。結(jié)構(gòu)右端給定z方向位移uz,柔性支撐結(jié)構(gòu)總應(yīng)變能Wmorph越小,結(jié)構(gòu)越易變形。

圖4 柔性支撐結(jié)構(gòu)變形及其邊界約束Fig.4 Bending deflection and boundary conditions of flexible support structure

綜上所述,柔性支撐結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問題具有3個(gè)優(yōu)化目標(biāo),可以表示為

2 拓?fù)鋬?yōu)化算法實(shí)現(xiàn)

2.1 基因表示方式

二維連續(xù)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題,可使用位矩陣來表示離散后的設(shè)計(jì)域,其相對二進(jìn)制編碼和實(shí)數(shù)編碼更直觀,同時(shí)避免了遺傳算法中的編碼和解碼環(huán)節(jié)。設(shè)定離散后的單元只存在兩種狀態(tài):充滿材料或者為空。如圖5所示,將拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)表示為0-1矩陣。

圖5 設(shè)計(jì)域的位矩陣基因Fig.5 Bit-matrix representation of design domain

2.2 交叉與變異算子

在遺傳算法中,交叉與變異算子用于產(chǎn)生新的個(gè)體,從而增加搜索范圍。交叉算子通過交換父代的基因來獲得新的個(gè)體,是主要的遺傳算子。傳統(tǒng)的實(shí)數(shù)或二進(jìn)制交叉在處理二維基因時(shí)會產(chǎn)生垂直方向幾何偏見,為避免此情況,這里采用二維交叉算子。

變異算子作為遺傳算法的輔助算子,在設(shè)計(jì)空間實(shí)施隨機(jī)漫步,增加種群的多樣性和搜索的全局性。本文采用矩陣的異或運(yùn)算作為變異算子,隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)與個(gè)體位矩陣尺寸相同的位矩陣,其元素1隨機(jī)分布且所占比例為預(yù)設(shè)的變異范圍值Pm,變異算子如圖6所示,圖中xor表示異或運(yùn)算。

圖6 變異算子Fig.6 Mutation operator

2.3 個(gè)體連通性分析

在個(gè)體中,若一組材料塊中的每個(gè)材料塊都與其周圍的材料塊至少共有一條邊,則認(rèn)為這組材料塊為一個(gè)連續(xù)體。若連續(xù)體滿足邊界條件和載荷條件,則該個(gè)體含有傳力路徑。若連續(xù)體不滿足邊界條件或載荷條件,該連續(xù)體為無用連續(xù)體。如圖7所示,柔性支撐結(jié)構(gòu)離散為20×40個(gè)單元,虛線左右分別為上下翼面。圖7中有3個(gè)連續(xù)體,連續(xù)體1為一條傳力路徑,連續(xù)體2、3為無用連續(xù)體。

圖7 個(gè)體連通性分析Fig.7 Connectivity analysis of individual

希望通過拓?fù)鋬?yōu)化得到的結(jié)構(gòu)只存在一條傳力路徑,將個(gè)體中傳力路徑個(gè)數(shù)作為約束條件,柔性支撐結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化問題可表示為

式中:n為個(gè)體中傳力路徑的條數(shù)。

根據(jù)個(gè)體違約程度,對個(gè)體施加不同的懲罰值,使個(gè)體向滿足約束條件的方向進(jìn)化。參考Wang和Tai[21]提出的懲罰方法,個(gè)體懲罰值為

式中:Vw為整個(gè)設(shè)計(jì)域的體積；Vu為無用連續(xù)體的總體積。

2.4 相似個(gè)體過濾

為保持種群個(gè)體的多樣性,擴(kuò)大遺傳算法的搜索范圍,對于種群中的相似個(gè)體進(jìn)行過濾。使用Jaccard相似系數(shù)來描述個(gè)體間的相似度,Jaccard相似系數(shù)定義為

式中:a和b為種群中兩個(gè)個(gè)體的位矩陣；j為兩個(gè)位矩陣對應(yīng)元素都為1的元素個(gè)數(shù)；k為對應(yīng)元素只有一個(gè)為1的元素個(gè)數(shù)。CJ(a,b)反映了a、b矩陣的相似程度,值在[0,1]范圍之內(nèi),兩個(gè)個(gè)體完全相同時(shí),CJ(a,b)=1。通過限定CJ的取值,對種群中的個(gè)體進(jìn)行分類,每一類只保留最優(yōu)的個(gè)體。

2.5 種群初始化

對于拓?fù)鋬?yōu)化問題,通常是令初始種群中的一半個(gè)體布滿材料,一半個(gè)體完全沒有材料。本文將隨機(jī)產(chǎn)生與連通性分析相結(jié)合。給定每個(gè)個(gè)體體積與設(shè)計(jì)域總體積之比Pd,Pd(i)表示為

式中:i為個(gè)體編號；d為相鄰個(gè)體體積比之差；popsize為種群規(guī)模。隨機(jī)產(chǎn)生體積比為Pd(i)的個(gè)體,直到其滿足連通性條件,重復(fù)此過程來構(gòu)造初始種群。

2.6 拓?fù)鋬?yōu)化算法流程

將初始種群大小設(shè)為20,個(gè)體離散為20×40個(gè)單元。選擇算子采用二元錦標(biāo)和精英策略。由于采用了精英策略,為了加快搜索速度,將交叉概率和變異概率設(shè)為100%。在算法初始階段,變異范圍值Pm應(yīng)大些,進(jìn)行大范圍搜索,隨著代數(shù)的增加,減小變異范圍,進(jìn)行局部搜索。類似高斯變異,變異范圍設(shè)定為

式中:curGen為當(dāng)前代數(shù)；max Gen為預(yù)設(shè)最大代數(shù),本研究將max Gen設(shè)定為105。圖8為整個(gè)拓?fù)鋬?yōu)化算法的流程,Pt和Ct分別為父代和子代種群,Rt為父代與子代合并后的種群。

圖8 基于非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)拓?fù)鋬?yōu)化算法流程Fig.8 Process of topology optimization based on non-dominated sorting genetic algorithmⅡ (NSGA-Ⅱ)

3 計(jì)算結(jié)果與討論

算例采用翼型NACA0012,翼型弦長為1 m,厚度為0.001 m,彈性模量為1 GPa,泊松比為0.3。施加Ma=0.8、攻角1.25°的氣動載荷。通過迭代得到20個(gè)滿足要求的構(gòu)形,將構(gòu)形按體積V(質(zhì)量)從小到大排列,如圖9所示。圖中每個(gè)解左側(cè)為機(jī)翼后緣上表面,右側(cè)為下表面?？梢钥闯?20種構(gòu)形形態(tài)各異,表明基于NSGA-Ⅱ的多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化算法具有較強(qiáng)的全局搜索能力,可以有效地尋找到符合要求的構(gòu)形。

圖9 拓?fù)鋬?yōu)化解Fig.9 Solutions of topology optimization

圖10 為20種構(gòu)形在目標(biāo)空間的分布情況,整體來看,圖10(a)表明δz(承載能力)與Wmorph(變形能力)相沖突；圖10(b)表明V(質(zhì)量)較大的結(jié)構(gòu)往往可以更好地保持機(jī)翼外形；圖10(c)表明Wmorph(變形能力)與V(質(zhì)量)近似呈反比例關(guān)系。

圖10 個(gè)體在目標(biāo)空間的分布Fig.10 Distribution of solutions in objective space

圖11 給出了歸一化的目標(biāo)值ˉV、ˉδz和ˉWmorph?？梢钥闯?解1具有最小質(zhì)量,解20保持機(jī)翼外形的能力最強(qiáng),解7具有最好的彎曲變形能力。

圖11 歸一化的目標(biāo)值Fig.11 Normalized objective values

由于多目標(biāo)優(yōu)化問題的特點(diǎn),各個(gè)目標(biāo)之間相互制約,難以明確指出這20個(gè)解中哪個(gè)是最優(yōu)解。在實(shí)際應(yīng)用中,可以根據(jù)不同的需求來選擇相應(yīng)的構(gòu)形。

4 結(jié) 論

1)使用位矩陣表示離散后的設(shè)計(jì)域,相對于二進(jìn)制編碼和實(shí)數(shù)編碼更直觀,同時(shí)避免了遺傳算法中編碼和解碼環(huán)節(jié),無需考慮個(gè)體可能出現(xiàn)的上、下限溢出的情況。

2)通過引入連通性分析和相似個(gè)體濾波,避免了對非可行個(gè)體不必要的計(jì)算,增加了種群的多樣性,擴(kuò)大了算法的搜索范圍。

3)采用基于NSGA-Ⅱ的拓?fù)鋬?yōu)化算法,可對用于機(jī)翼后緣的柔性結(jié)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)拓?fù)鋬?yōu)化。相比于單目標(biāo)優(yōu)化只有一種優(yōu)化構(gòu)形,該方法可以得到多種拓?fù)錁?gòu)形。每種構(gòu)形都具有其優(yōu)勢和劣勢,在實(shí)際應(yīng)用中,可根據(jù)不同需求選擇合適的構(gòu)形。

[1] Barbarino S,Bilgen O,Ajaj R M,et al.A review of morphing aircraft[J].Journal of Intelligent Material Systems and Structures,2011,22(9):823-877.

[2] Sofla A Y N,Meguid S A,Tan K T,et al.Shape morphing of aircraft wing:status and challenges[J].Materials Design,2010,31(3):1284-1292.

[3] Joshi S P,Tidwell Z,Crossley W A,et al.Comparison of morphing wing strategies based upon aircraft performance impacts[C]//Proceedings of the 45th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics,and Materials Conference.Reston:AIAA,2004:1722-1729.

[4] Ahmed S,Guo S.Optimal design and analysis of a wing with morphing high lift devices[C]//Proceedings of the 54th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures,Structural Dynamics,and Materials Conference.Reston:AIAA,2013:1880-1895.

[5] Vasista S,Tong L,Wong K C.Realization of morphing wings:a multidisciplinary challenge[J].Journal of Aircraft,2012,49(1):11-28.

[6] Midha A,Norton T W,Howell L L.On the nomenclature,classification,and abstractions of compliant mechanisms[J].Journal of Mechanical Design,1994,116(1):270-279.

[7] De Gaspari A,Ricci S.A two-level approach for the optimal design of morphing wings based on compliant structures[J].Journal of Intelligent Material Systems and Structures,2011,22(10):1091-1111.

[8] Saggere L,Kota S.Static shape control of smart structures using compliant mechanisms[J].AIAA Journal,1999,37(5):572-578.

[9] Kota S,Hetrick J A,Osborn R,et al.Design and application of compliant mechanisms for morphing aircraft structures[C]//Smart Structures and Materials:Industrial and Commercial Applications of Smart Structures Technologies.San Diego:Society of Photo-Optical Instrumentation Engineers,2003:24-33.

[10] Podugu P,Ananthasuresh G K.Topology optimizationbased design of a compliant aircraft wing for morphing leading and trailing edges[C]//Proceedings of the ASME 2010 International Mechanical Engineering Congress and Exposition.Vancouver:American Society of Mechanical Engineer,2010:1099-1107.

[11] Liu S L,Ge W J,Li SJ.Optimal design of compliant trailing edge for shape changing[J].Chinese Journal of Aeronautics,2008,21(2):187-192.

[12] Chen X,Ge W J,Zhang Y H.Investigation on synthesis optimization for shape morphing compliant mechanisms using GA[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2007,28(5):1230-1235(in Chinese).陳秀,葛文杰,張永紅.基于遺傳算法的柔性機(jī)構(gòu)形狀變化綜合優(yōu)化研究[J].航空學(xué)報(bào),2007,28(5):1230-1235.

[13] Huang J,Ge W J,Yang F.Topology optimization of the compliant mechanism for shape change of airfoil leading edge[J].Acta Aeronautica et Astronautica Sinica,2007,28(4):988-992(in Chinese).黃杰,葛文杰,楊方.實(shí)現(xiàn)機(jī)翼前緣形狀連續(xù)變化柔性機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化[J].航空學(xué)報(bào),2007,28(4):988-992.

[14] Tong X,Ge W,Sun C,et al.Topology optimization of compliant adaptive wing leading edge with composite materials[J].Chinese Journal of Aeronautics,2014,27(6):1488-1494.

[15] Bends?e M P.Optimal shape design as a material distribution problem[J].Structural Optimization,1989,4(1):193-202.

[16] Sigmund O.A 99 line topology optimization code written in MATLAB[J].Structural and Multidisciplinary Optimization,2001,21(2):120-127.

[17] Sigmund O.Morphology-based black and white filters for topology optimization[J].Structural and Multidisciplinary Optimization,2007,33(4-5):401-424.

[18] Sethian J A,Wiegmann A.Structural boundary design via level set and immersed interface methods[J].Journal of Computational Physics,2000,163(2):489-528.

[19] Jakiela M J,Chapman C,Duda J,et al.Continuum struc-tural topology design with genetic algorithms[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2000,186(2):339-356.

[20] Wang S Y,Tai K.Structural topology design optimization using genetic algorithms with a bit-array representation[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2005,194(36):3749-3770.

[21] Wang S Y,Tai K.Graph representation for structural topology optimization using genetic algorithms[J].Computers&Structures,2004,82(20):1609-1622.

[22] Deb K,Pratap A,Agarwal S,et al.A fast and elitist multiobjective genetic algorithm:NSGA-Ⅱ[J].IEEE Transactions on Evolutionary Computation,2002,6(2):182-197.