船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)不確定度評(píng)估

吳乘勝，邱耿耀，魏 澤，金仲佳

（中國(guó)船舶科學(xué)研究中心 水動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫214082）

船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)不確定度評(píng)估

吳乘勝，邱耿耀，魏 澤，金仲佳

（中國(guó)船舶科學(xué)研究中心 水動(dòng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫214082）

文章針對(duì)水面船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)，開展了不確定度分析與評(píng)估研究。不確定度分析中，驗(yàn)證方法和流程基于正交設(shè)計(jì)和方差分析方法，確認(rèn)方法和流程基于統(tǒng)計(jì)推斷理論。以水面船標(biāo)模DTMB5415為對(duì)象，進(jìn)行了船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)不確定度分析評(píng)估的實(shí)例計(jì)算，給出了對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果有重要影響的試驗(yàn)因素和交互作用以及各類不確定度分量的大小，并提出了降低船模阻力數(shù)值試驗(yàn)不確定度的建議。

數(shù)值試驗(yàn)；不確定度；驗(yàn)證與確認(rèn)；船模阻力

0 引 言

CFD是近二十年來，船舶水動(dòng)力學(xué)界最具影響力的技術(shù)進(jìn)步之一。以CFD為核心的數(shù)值水池技術(shù)，是船舶水動(dòng)力學(xué)乃至總體設(shè)計(jì)的先導(dǎo)性、基礎(chǔ)性關(guān)鍵技術(shù)，將給船舶航行性能研究和設(shè)計(jì)能力帶來革命性的變化，是船舶領(lǐng)域重點(diǎn)發(fā)展的關(guān)鍵技術(shù)之一。

然而，數(shù)值水池試驗(yàn)的不確定度分析與評(píng)估研究，卻因其概念、理論和方法上存在的種種爭(zhēng)議而進(jìn)展相對(duì)緩慢，關(guān)于數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果可信度的爭(zhēng)論一直存在，已成為阻礙數(shù)值水池技術(shù)進(jìn)步和推廣應(yīng)用的“絆腳石”。

由于不確定度分析是數(shù)值水池實(shí)用化的關(guān)鍵之一，因而受到了眾多組織、機(jī)構(gòu)和研究人員的廣泛重視。對(duì)于數(shù)值水池的核心—CFD應(yīng)用技術(shù)，AIAA和ITTC等組織都相繼提出了各自的不確定度分析推薦規(guī)程[1-2]。在船舶水動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外不少研究人員基于ITTC推薦規(guī)程，開展了CFD不確定度分析研究[3-7]，也有一些研究人員采用其他方法開展研究。

從目前國(guó)內(nèi)外CFD不確定度分析的發(fā)展來看，使用最廣泛的是基于網(wǎng)格細(xì)化的分析方法，包括經(jīng)典的Richardson外推、Roache提出的GCI方法，以及在Roache方法上改進(jìn)的最小二乘法GCI方法。AIAA、ASME和ITTC指南或規(guī)程都屬此類方法。

然而，以Richardson外推為代表的方法一般基于光順解要求，對(duì)不連續(xù)和奇異問題誤差估計(jì)有效性下降；要求多重?cái)?shù)值都在解漸近范圍內(nèi)，實(shí)現(xiàn)困難；并且，目前該類方法主要適用于結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，在需要處理的物理問題和研究對(duì)象幾何外形越來越復(fù)雜的今天，完全采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算幾乎是不可能的。此外，影響數(shù)值水池試驗(yàn)結(jié)果的不僅是網(wǎng)格，還包括湍流模型等其他因素，以及因素間的耦合作用。對(duì)于這些問題，以ITTC推薦規(guī)程為代表的方法難以解決。因此，盡管數(shù)值水池的核心—CFD應(yīng)用技術(shù)目前已經(jīng)取得了重大突破，但數(shù)值水池試驗(yàn)不確定度評(píng)估技術(shù)仍遠(yuǎn)未成熟。而關(guān)于數(shù)值水池試驗(yàn)不確定度基本概念、基本理論及分析、評(píng)定方法等基礎(chǔ)性問題，系統(tǒng)性研究甚為少見。

為此，沈泓萃等基于與物理測(cè)量不確定度分析評(píng)估類比的思想，提出了一個(gè)不同于ITTC推薦規(guī)程的數(shù)值水池試驗(yàn)不確定度分析評(píng)估的理論框架及一套基于正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)和統(tǒng)計(jì)推斷理論的驗(yàn)證和確認(rèn)的方法與程序，初步應(yīng)用表明新方法的物理概念明晰、理論根據(jù)充分、分析方法合理、評(píng)定內(nèi)容完整、評(píng)估結(jié)論可信[8]。

本文基于以上的理論和方法，在前面相關(guān)研究工作的基礎(chǔ)上，開展水面船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)不確定度分析與評(píng)估研究。針對(duì)DTMB5415船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行了不確定度分析的驗(yàn)證和確認(rèn)，給出了對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果有重要影響的試驗(yàn)因素和交互作用以及各類不確定度分量的大小，并提出降低船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)不確定度的建議。

1 不確定度分析與評(píng)估方法簡(jiǎn)介

本文采用的不確定度分析新方法詳細(xì)介紹可參考文獻(xiàn)[8]，為方便論文的閱讀和理解，以下對(duì)驗(yàn)證和確認(rèn)流程進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹。

1.1 基于正交設(shè)計(jì)和方差分析方法的驗(yàn)證流程

基于正交設(shè)計(jì)和方差分析的驗(yàn)證流程和方法可簡(jiǎn)要?dú)w納如下：

（1）對(duì)給定的數(shù)值試驗(yàn)問題進(jìn)行具體的不確定度或誤差來源分析，選擇重要來源作為受控試驗(yàn)因素，并設(shè)計(jì)其合理的變化水平。

（2）在合適的正交表上設(shè)計(jì)數(shù)值試驗(yàn)方案并進(jìn)行計(jì)算，對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果作方差分析，檢驗(yàn)所考察的試驗(yàn)因素和交互作用的顯著性。

（3）A類不確定度分量的評(píng)定。數(shù)值試驗(yàn)中的A類不確定度主要來源于受控與失控試驗(yàn)因素及交互作用對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的綜合影響，可用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定計(jì)算。

（4）B類不確定度分量的評(píng)定。數(shù)值試驗(yàn)中的B類不確定度主要來源于數(shù)值方法中可能存在的誤差，但這種誤差的估計(jì)或修正是相當(dāng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。從目前的認(rèn)識(shí)水平看，僅截?cái)嗾`差和迭代誤差引起的不確定度可以估算，其它誤差引起的不確定度將計(jì)入A類不確定度分量之中。

（5）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度計(jì)算。數(shù)值試驗(yàn)中的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度指的是各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量ui（x）及必要時(shí)的協(xié)方差之和，用uc表示。

（6）擴(kuò)展不確定度計(jì)算。數(shù)值試驗(yàn)擴(kuò)展不確定度是規(guī)定試驗(yàn)結(jié)果的區(qū)間的量，可望該區(qū)間包含了合理賦予的虛擬測(cè)量值之分布的大部分，用U表示（U=huc，h為包含因子，可根據(jù)所要求的置信水平

來選擇）。

1.2 基于統(tǒng)計(jì)推斷理論的確認(rèn)流程

物理模型試驗(yàn)結(jié)果XT通常為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量；作者在長(zhǎng)期的計(jì)算實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)結(jié)果XS與物理模型試驗(yàn)結(jié)果XT之間的偏差基本服從正態(tài)分布，說明數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果也是基本服從正態(tài)分布的（如圖1所示）。而判斷這兩個(gè)變量在統(tǒng)計(jì)意義上相等，即數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果可以確認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)，是二者的期望值和方差均相等。這樣，可基于統(tǒng)計(jì)推斷理論，建立數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的確認(rèn)流程和方法。

（1）兩個(gè)隨機(jī)變量母體方差相等的F檢驗(yàn)。數(shù)值試驗(yàn)確認(rèn)流程的第一步，是判斷數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果與物理模型試驗(yàn)結(jié)果的方差在統(tǒng)計(jì)意義上是否相等，可借助統(tǒng)計(jì)推斷理論的F檢驗(yàn)法實(shí)現(xiàn)。

（2）兩個(gè)隨機(jī)變量母體期望值相等的t檢驗(yàn)。由統(tǒng)計(jì)推斷理論可知，當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)變量母體方差相等時(shí)，那么其期望值是否相等可采用t分布檢驗(yàn)法實(shí)現(xiàn)；若兩個(gè)樣本數(shù)均較大且相等，那么盡管其方差不等，但t檢驗(yàn)法仍近似適用。

圖1 船模阻力數(shù)值水池與物理水池試驗(yàn)結(jié)果之間偏差分布Fig.1 Statistic of difference between results from numerical and physical tank test for ship models resistance

2 船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)不確定度分析的驗(yàn)證流程

論文選用DTMB5415進(jìn)行船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)不確定度分析，該船模是國(guó)際船舶水動(dòng)力CFD WORKSHOP通用的標(biāo)模，有著較為完備的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。數(shù)值水池試驗(yàn)中，船模狀態(tài)為設(shè)計(jì)吃水下的拘束模、速度2.096 m/s（Fr=0.28）；文中物理模型試驗(yàn)結(jié)果也是相應(yīng)狀態(tài)下的拘束模阻力。

2.1 試驗(yàn)因素選取、變化水平及表頭設(shè)計(jì)

（1）試驗(yàn)因素選取

通過對(duì)船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)過程的解析，可以發(fā)現(xiàn)影響試驗(yàn)結(jié)果的因素多達(dá)數(shù)十種。根據(jù)應(yīng)用者能否通過選擇或改變各因素中的參數(shù)而對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，將不可控因素剔除；根據(jù)以往相關(guān)研究的經(jīng)驗(yàn)，將影響較小的因素剔除。這樣便大幅度減少了需要考察的因素，僅主要針對(duì)剩下的9個(gè)影響因素開展研究。

剩下9個(gè)影響因素，因?yàn)檫€要考慮一些因素之間的交互作用，對(duì)于正交設(shè)計(jì)而言因素仍然過多。根據(jù)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的局部控制原則，并由之前的相關(guān)研究和經(jīng)驗(yàn)可知，其中有些因素與其他因素之間的交互作用較低（如自由面處理、計(jì)算域、網(wǎng)格類型、時(shí)間離散等），因而將這些因素分離出來單獨(dú)處理。筆者對(duì)這些因素的影響開展了研究，獲得了各因素的影響大小和規(guī)律，并選取了較優(yōu)的參數(shù)設(shè)置；固定這些參數(shù)設(shè)置，也就是保證了計(jì)算條件的一致性。

這樣，還剩下5個(gè)影響因素需要通過正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)考察其影響及交互作用，即：網(wǎng)格數(shù)量、近船模表面第一層網(wǎng)格高度（y+，表征網(wǎng)格質(zhì)量）、湍流模式、離散格式和船模約束狀態(tài)。其中，船模的約束狀態(tài)（拘束模、自由模），根據(jù)之前的相關(guān)研究，其對(duì)船模阻力的影響規(guī)律已掌握，且在不少情況下其影響還可以相當(dāng)準(zhǔn)確地預(yù)估，因此文中不將其選為試驗(yàn)因素。

在僅剩的4個(gè)試驗(yàn)因素中，關(guān)于網(wǎng)格劃分的因素占了兩個(gè)，分別為網(wǎng)格數(shù)量和y+，另外兩個(gè)因素分別為湍流模式和離散格式。這幾個(gè)因素也是開展船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)時(shí)，比較難以把握、掌控和“隨意性”較大的因素。其他諸如網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、計(jì)算域范圍、時(shí)間離散格式、自由面重構(gòu)方法和約束狀態(tài)等因素，在數(shù)值試驗(yàn)時(shí)一般相對(duì)固定，可以視為“試驗(yàn)條件”。

（2）變化水平設(shè)計(jì)

試驗(yàn)因素選定后，需要合理確定每個(gè)因素的變化水平。

·網(wǎng)格數(shù)量

船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)中，常用的網(wǎng)格單元數(shù)量一般為50～60萬（半域）。為方便表述，以下以50萬作為常用網(wǎng)格數(shù)量。根據(jù)以前的相關(guān)研究，船模阻力變化與網(wǎng)格數(shù)量變化之間大致呈對(duì)數(shù)關(guān)系，因而網(wǎng)格數(shù)量水平間隔的排列方法選用等比法?？紤]到日常數(shù)值水池試驗(yàn)實(shí)踐使用的網(wǎng)格數(shù)量范圍，因素水平以常用的50萬網(wǎng)格單元為基準(zhǔn)，在其上下按比例為2增減，水平數(shù)則定為3。這樣，3個(gè)水平的網(wǎng)格數(shù)量分別為25萬、50萬和100萬。

· 近船模表面第一層網(wǎng)格高度（y+）

表征網(wǎng)格質(zhì)量的指標(biāo)因素很多?？紤]到船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)中，關(guān)鍵問題是對(duì)船體邊界層流動(dòng)的求解，其中的關(guān)鍵又是船體邊界層內(nèi)的網(wǎng)格分布，而近船模表面第一層網(wǎng)格高度（y+）正是決定邊界層內(nèi)網(wǎng)格分布的關(guān)鍵。因此，這里選取y+作為表征網(wǎng)格質(zhì)量的指標(biāo)因素。

船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)中，大多使用湍流模型結(jié)合壁面函數(shù)求解邊界層湍流流動(dòng)，y+一般取60左右。同樣根據(jù)以前相關(guān)研究，船模阻力變化與y+變化也大致呈對(duì)數(shù)關(guān)系，因而y+水平間隔的排列方法同樣采用等比法，水平數(shù)定為3?？紤]到日常數(shù)值水池試驗(yàn)實(shí)踐中所使用的y+范圍，3水平的y+分別為30、60和120。

·湍流模型

湍流模型的選取充分考慮到實(shí)用性。出于數(shù)值試驗(yàn)效率等方面的考慮，論文僅考慮k-ε和k-ω兩類湍流模型，綜合考慮這兩類湍流模型在船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)中應(yīng)用的廣泛程度，選取RNG k-ε、S k-ω和SST k-ω三種湍流模型進(jìn)行研究。

·離散格式

離散格式這里指的是差分格式。對(duì)于控制方程中的擴(kuò)散項(xiàng)，一般都采用中心差分格式；而關(guān)于對(duì)流項(xiàng)，其差分格式較多，包括一階、二階迎風(fēng)差分乃至更高階的差分格式。對(duì)于邊界層湍流求解問題而言，通常一階迎風(fēng)差分格式不能給出準(zhǔn)確的結(jié)果，因而這里選擇二階以上的差分格式，包括：二階迎風(fēng)差分、QUICK格式、三階MUSCL格式。

（3）列出因素水平表，選擇合適的正交表

選定試驗(yàn)因素、確定試驗(yàn)水平后，就可以列出因素水平表（表1）。

表1 因素水平表Tab.1 Table of factors’level

確定了試驗(yàn)因素及其水平后，根據(jù)因素、水平以及是否需要考察交互作用來選擇合適的正交表。正交表的選擇原則是在能夠安排下試驗(yàn)因素和交互作用的前提下，盡可能選用較小的正交表。另外，為了估計(jì)試驗(yàn)誤差，所選正交表安排完試驗(yàn)因素及要考察的交互作用后，最好留有空列作為誤差列。通?？刹捎孟铝蟹绞絹磉x擇正交表。

·按列分析，正交表的列數(shù)≥因素所占列數(shù)+交互作用所占列數(shù)+空列。

·按自由度分析，試驗(yàn)總自由度≥因素自由度+交互作用自由度+誤差自由度。

本文研究的為四因素三水平數(shù)值試驗(yàn)，其中有些因素的交互作用還需要考察。由于差分格式與湍流模型等其他因素之間的交互作用對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的影響趨勢(shì)基本一致，因此本文暫不考慮因素D與其他因素的交互作用，而僅考慮A、B、C三個(gè)因素之間的交互作用。

這樣，如按列分析，正交表的列數(shù)應(yīng)至少為11列，即：A、B、C、D四個(gè)因素各1列，A×B、A×C、B×C三個(gè)交互作用各2列，還應(yīng)至少留一空列作為誤差列。

如按自由度分析，A、B、C、D四個(gè)三水平因素的自由度共為4×（3-1）=8，A×B、A×C、B×C三個(gè)交互作用的自由度共為3×（3-1）×（3-1）=12，考慮到誤差自由度（≥2），則試驗(yàn)的總自由度應(yīng)不少于22。

綜合以上分析，滿足本文研究要求的最小正交表為L(zhǎng)27（313）。

（4）表頭設(shè)計(jì)

所謂表頭設(shè)計(jì)，就是將試驗(yàn)因素和交互作用合理地安排到所選正交表的各列中。若不考慮試驗(yàn)因素間的交互作用，各因素可以任意安排；若要考察因素間的交互作用，各因素應(yīng)按相對(duì)應(yīng)的正交表的交互作用列表來進(jìn)行安排，以防止設(shè)計(jì)混雜。

在表頭設(shè)計(jì)中，為了避免混雜，主要因素、重點(diǎn)考察的因素、涉及交互作用較多的因素，應(yīng)優(yōu)先安排；而次要因素、涉及交互作用少的因素和不涉及交互作用的因素，則可放在后面安排。

本文研究的為四因素三水平數(shù)值試驗(yàn)，同時(shí)還要考察A、B、C三個(gè)因素之間的交互作用，而對(duì)于因素D與其他三個(gè)因素之間的交互作用不作為考察重點(diǎn)。由此，表頭設(shè)計(jì)見表2，其中10、12、13列為空白列（誤差列）。

表2 L27（313）數(shù)值試驗(yàn)方案表頭設(shè)計(jì)Tab.2 Label design for the computation plan of L27（313）

2.2 數(shù)值試驗(yàn)方案、試驗(yàn)結(jié)果及分析

在以上表頭設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，將所選正交表中各列（不包含欲考察的交互作用列）的不同水平數(shù)字換成對(duì)應(yīng)各因素相應(yīng)水平值，便形成了數(shù)值試驗(yàn)方案（表3）。

基于以上方案，進(jìn)行船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)。船模速度VM=2.096 m/s（Fr=0.28）時(shí)的阻力計(jì)算結(jié)果（RM）列于表3中；表中最后一列還給出了船模阻力數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果與模型試驗(yàn)結(jié)果（REXP=43.42 N）之間的相對(duì)偏差。

表3 L27（313）數(shù)值試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Computational results of the plan of L27（313）

續(xù)表3

獲得船模阻力的數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果后，便可進(jìn)行方差分析。方差分析的詳細(xì)計(jì)算過程可參考相關(guān)文獻(xiàn)[9-10]，本文不再贅述。各因素（包括因素間的交互作用）和誤差的偏差平方和、自由度和方差等列于表4中。

根據(jù)各因素（包括因素間的交互作用）和誤差的方差計(jì)算結(jié)果，可以計(jì)算各因素的F比。以因素A（網(wǎng)格數(shù)量）為例：

同樣可以計(jì)算其他因素（包括因素間的交互作用）的F比，結(jié)果列于表4中。

表4 L27（313）方案數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的方差分析Tab.4 Variance analysis of the computational plan of L27（313）

通過方差分析獲得的各因素（包括因素間的交互作用）的F比，可以發(fā)現(xiàn)：因素B（y+）、B×C（y+與湍流模型的交互作用）以及因素C（湍流模型）對(duì)船模阻力數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果有高度顯著的影響；因素A（網(wǎng)格數(shù)量）對(duì)船模阻力數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果也有高度顯著的影響，但影響程度與前述3個(gè)因素相比小一個(gè)量級(jí)。因素D（差分格式）對(duì)船模阻力數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果有一定影響，由于其F比較為接近F0.05（2,14），故不將其歸入誤差項(xiàng)。

作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：受控與失控試驗(yàn)因素對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的影響沒有顯著差異。用下式計(jì)算獲得的F比檢驗(yàn)假設(shè)是否成立。

可見存在高度顯著差異，故推翻假設(shè)。這表明在本文的船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)中，其他未列入的因子（即失控試驗(yàn)因素）對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果分散性的貢獻(xiàn)或誤差引起的波動(dòng)很小。這意味著在本文的船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)中，只需有效控制近船模表面第一層網(wǎng)格高度（y+）、合理選擇湍流模型并適當(dāng)注意網(wǎng)格數(shù)量即可，其它不確定度來源即失控部分對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果分散性的貢獻(xiàn)很小而可以不予考慮，這也證實(shí)了本文受控試驗(yàn)因素選擇的正確性。

需要說明的是，這一結(jié)論是有前提的，即“試驗(yàn)條件”須基本一致，也即網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、計(jì)算域范圍、時(shí)間離散格式、自由面重構(gòu)方法和船模約束狀態(tài)等相關(guān)因素均需相對(duì)固定。

2.3 數(shù)值試驗(yàn)不確定度分析評(píng)定

根據(jù)方差分析結(jié)果，可以計(jì)算各類標(biāo)準(zhǔn)不確定度、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和擴(kuò)展不確定度。

（1）A類不確定度分量評(píng)定

用統(tǒng)計(jì)方法評(píng)定的不確定度分量為A類不確定度。可由下式計(jì)算（以因素A為例）：

同樣可以計(jì)算其他因素（包括因素間的交互作用）的不確定度，結(jié)果列于表5中。

（2）B類不確定度分量評(píng)定

B類不確定度主要包括截?cái)嗾`差和迭代誤差引起的不確定度uG和uI。

關(guān)于迭代誤差導(dǎo)致的不確定度：在船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)中，結(jié)果取值為收斂平穩(wěn)段相當(dāng)長(zhǎng)一段時(shí)間的平均值，因此在進(jìn)行不確定度分析時(shí)，迭代不確定度為一小量，可忽略不計(jì)。

對(duì)于截?cái)嗾`差導(dǎo)致的不確定度評(píng)定，實(shí)質(zhì)上是網(wǎng)格收斂性問題研究，可由下式計(jì)算：

其中：δRE為截?cái)嗾`差可能值的區(qū)間半寬，可采用Richardson外推法估算[2]。上式中的包含因子h在均勻分布假定下即等于

（3）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和擴(kuò)展不確定度評(píng)定

根據(jù)以上各類不確定度分量的評(píng)定結(jié)果，可以計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度：

根據(jù)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，可以計(jì)算擴(kuò)展不確定度：

上式中包含因子h=2，表示服從正態(tài)分布的計(jì)算結(jié)果的值以95%置信水平落在其估計(jì)值±U的區(qū)間內(nèi)。

經(jīng)計(jì)算分析得到的各不確定度分量及合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度結(jié)果列于表5中。

表5 L27（313）數(shù)值試驗(yàn)方案的標(biāo)準(zhǔn)不確定度Tab.5 Standard uncertainty of the computational plan of L27（313）

由表5可見，B類不確定度很小，因而若無必要可以不計(jì)，表中的合成不確定度僅是A類不確定度的合成結(jié)果。

由表5同時(shí)還看出，本文的船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)中，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度相對(duì)于數(shù)值試驗(yàn)平均值達(dá)到了約4.4%，擴(kuò)展不確定度更是達(dá)到了約8.8%。這一不確定度從工程應(yīng)用的角度看，無疑是偏大的，因而有必要采取措施減小試驗(yàn)不確定度，提高數(shù)值試驗(yàn)精度。

考慮到上述所有因素中，與湍流模型相關(guān)的不確定度分量占了相當(dāng)大的成分，并且湍流模型的合理選擇較之有效控制近船模表面第一層網(wǎng)格高度（y+）相對(duì)容易。因此，在數(shù)值試驗(yàn)時(shí)最好首先選擇合理的湍流模型；根據(jù)本文的船模阻力數(shù)值試驗(yàn)和分析結(jié)果，S k-ω湍流模型對(duì)y+尤為敏感，因而在船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)中建議慎重選擇使用。

3 船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)不確定度分析的確認(rèn)流程

3.1 L27（313）數(shù)值試驗(yàn)方案的確認(rèn)

根據(jù)船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)結(jié)果及不確定度的分析評(píng)定結(jié)果，可進(jìn)行試驗(yàn)結(jié)果的確認(rèn)研究。

（1）小子樣推斷理論的F分布檢驗(yàn)

本文使用的試驗(yàn)結(jié)果源自于基準(zhǔn)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驮囼?yàn)，其不確定度uT約為1%REXP，其方差的估計(jì)值自由度可看作∞。

作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：所有試驗(yàn)因素對(duì)虛擬測(cè)試量的數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的影響與同一物理量模型試驗(yàn)誤差相比，沒有顯著差異。作F比計(jì)算：

這一結(jié)論是正常的，因?yàn)槲锢硭卦囼?yàn)的精度已經(jīng)達(dá)到了很高的水平，船模阻力試驗(yàn)的相對(duì)誤差一般就是1%的量級(jí)。而這里討論的數(shù)值水池試驗(yàn)則涵蓋了眾多試驗(yàn)因素、較大水平變化的影響，因此其母體方差必然較大。這也反映了一個(gè)事實(shí)：就目前的數(shù)值水池技術(shù)水平而言，客觀上將還不足以取代物理模型試驗(yàn)。改進(jìn)湍流模型，將考察范圍聚焦到優(yōu)秀模型及網(wǎng)格質(zhì)量研究上，進(jìn)一步縮小數(shù)值試驗(yàn)與物理模型試驗(yàn)精度之間的差距，應(yīng)是今后研究的重點(diǎn)。

（2）小子樣推斷理論的t分布檢驗(yàn)

上述F檢驗(yàn)表明，數(shù)值試驗(yàn)與物理模型試驗(yàn)?zāi)阁w方差在統(tǒng)計(jì)意義上不能認(rèn)為相等，因此嚴(yán)格講來，t檢驗(yàn)法是不適用的。但考慮到數(shù)值試驗(yàn)和物理模型試驗(yàn)兩個(gè)子樣的大小可以認(rèn)為相同，那么下述t檢驗(yàn)法也可以近似適用。

作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：“產(chǎn)生數(shù)值試驗(yàn)和物理模型試驗(yàn)兩個(gè)子樣的兩個(gè)母體的平均值相等，即。這里=45.08 N和=43.42 N分別為數(shù)值試驗(yàn)和物理模型試驗(yàn)結(jié)果的平均值，也是隨機(jī)變量。計(jì)算以下t變量：

因?yàn)閠1＜tα，故可以認(rèn)為即數(shù)值試驗(yàn)和物理模型試驗(yàn)兩個(gè)母體平均值在統(tǒng)計(jì)意義上相等，于是數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果可以確認(rèn)。

這一結(jié)果表明，即使兩個(gè)母體的方差（數(shù)值試驗(yàn)或物理模型試驗(yàn)的精度）不一樣，但它們的平均值（試驗(yàn)結(jié)果）仍可能相等。這種確認(rèn)方法雖然放寬了確認(rèn)標(biāo)準(zhǔn)，但比較直觀和實(shí)用。

3.2 L9（34）數(shù)值試驗(yàn)方案的確認(rèn)

（1）數(shù)值試驗(yàn)方案、試驗(yàn)結(jié)果及分析

根據(jù)對(duì)DTMB5415船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)結(jié)果的方差分析，并結(jié)合長(zhǎng)期的數(shù)值計(jì)算經(jīng)驗(yàn)，本文選定RNG k-ε湍流模型；與此同時(shí)，通過前面的方差分析，已知網(wǎng)格數(shù)量和y+之間的交互作用可以忽略，而控制方程對(duì)流項(xiàng)差分格式（以下稱差分格式）與其他因素之間的交互作用對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的影響趨勢(shì)基本一致，因此也不考慮。

這樣，數(shù)值試驗(yàn)方案設(shè)計(jì)就成為一個(gè)3因素3水平、不需考慮交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)問題；各因素水平的分析過程已在前文中進(jìn)行了介紹，此處不再贅述。

參考前文的分析方法，可以發(fā)現(xiàn)L9（34）數(shù)值試驗(yàn)方案能夠滿足要求。由于不考慮交互作用，因而各因素可以放在任意單獨(dú)一列，無需特別考慮表頭設(shè)計(jì)；第四列可作為誤差列。

根據(jù)以上方案，開展了船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)，結(jié)果（RM）見表6；表中最后一列同樣給出了船模阻力數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果與模型試驗(yàn)結(jié)果（REXP=43.42 N）之間的相對(duì)偏差。

根據(jù)船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)結(jié)果，同樣可以按照前文中的方法，進(jìn)行數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的方差分析。方差計(jì)算結(jié)果及各因素的F比列于表7。

表6 L9（34）數(shù)值試驗(yàn)方案及試驗(yàn)結(jié)果Tab.6 Computational results of the plan of L9（34）

表7 L9（34）方案數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的方差分析Tab.7 Variance analysis for the computational plan of L9（34）

通過方差分析獲得的各因素的F比，可以發(fā)現(xiàn)：y+（B）、網(wǎng)格數(shù)量（A）對(duì)船模阻力數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果有高度顯著的影響，差分格式（C）對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果無顯著影響，這與以上使用L27（313）方案計(jì)算結(jié)果分析得到的結(jié)論基本一致。有所不同的是：根據(jù)L27（313）方案計(jì)算結(jié)果的方差分析，y+（B）的影響程度要比網(wǎng)格數(shù)量（A）高一個(gè)量級(jí)；而L9（34）方案計(jì)算結(jié)果的方差分析結(jié)論是，y+（B）的影響程度雖比網(wǎng)格數(shù)量（A）高，但尚處于同一量級(jí)。這是因?yàn)?，在L27（313）方案中，計(jì)入了湍流模型這一因素，由于湍流模型與y+的交互作用對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的影響非常大，因而“拔高”了y+的影響，并在一定程度上“淹沒”了網(wǎng)格數(shù)量的影響。

作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：受控與失控試驗(yàn)因素對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的影響沒有顯著差異。用下式計(jì)算F比檢驗(yàn)假設(shè)是否成立。

可見存在高度顯著差異，故推翻假設(shè)。這表明在本文的船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)中，其他未列入的因子（即失控試驗(yàn)因素）對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果分散性的貢獻(xiàn)或誤差引起的波動(dòng)很小。

這一結(jié)論同樣是有前提的，即“試驗(yàn)條件”須基本一致，也即網(wǎng)格拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、計(jì)算域范圍、時(shí)間離散格式、自由面重構(gòu)方法和船模約束狀態(tài)等均需相對(duì)固定，并須選定合適的湍流模型。

（2）數(shù)值試驗(yàn)不確定度分析評(píng)定

基于方差分析結(jié)果，同樣可根據(jù)前文中的方法，計(jì)算各類標(biāo)準(zhǔn)不確定度、合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度和擴(kuò)展不確定度，見表8。

表8 L9（34）數(shù)值試驗(yàn)方案的標(biāo)準(zhǔn)不確定度Tab.8 Standard uncertainty of the computational plan of L9（34）

由表8可見，B類不確定度很?。ū日`差不確定度還要?。?，因而若無必要可以不計(jì)，表中的合成不確定度僅是A類不確定度的合成結(jié)果。

比較表5和表8可見，在選擇合適的湍流模型之后，船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)中，合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度相對(duì)于數(shù)值試驗(yàn)平均值（u/RˉM）降至0.72%，擴(kuò)展不確定度降至約1.5%；這一不確定度基本能夠滿足工程實(shí)用的要求。當(dāng)然，這一結(jié)論也是有前提的條件的，那就是試驗(yàn)條件須相對(duì)固定，且只能適用于這一類船型（嚴(yán)格說來，未經(jīng)一定數(shù)量的子樣確認(rèn)，只適用于特定對(duì)象船模）。

（3）小子樣推斷理論的F分布檢驗(yàn)

作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：所有試驗(yàn)因素對(duì)虛擬測(cè)試量的數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的影響與同一物理量模型試驗(yàn)誤差相比，沒有顯著差異。作F比計(jì)算：

可以看出，這里的F分布檢驗(yàn)的結(jié)論與L27（313）方案數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的F分布檢驗(yàn)結(jié)論是不同的。這是因?yàn)?，L9（34）方案中涵蓋的試驗(yàn)因素較少，將最大的不確定度源—湍流模型（包括湍流模型與y+的交互作用）排除了，使得數(shù)值試驗(yàn)的不確定度大幅度下降，其母體方差當(dāng)然也隨之下降。

（4）小子樣推斷理論的t分布檢驗(yàn)

上述F檢驗(yàn)表明，數(shù)值試驗(yàn)與物理模型試驗(yàn)?zāi)阁w方差在統(tǒng)計(jì)意義上可以認(rèn)為相等，因而t檢驗(yàn)法可以適用。

作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：“產(chǎn)生數(shù)值試驗(yàn)和物理模型試驗(yàn)兩個(gè)子樣的兩個(gè)母體的平均值相等，即這里分別為數(shù)值試驗(yàn)和物理模型試驗(yàn)結(jié)果的平均值，也是隨機(jī)變量。計(jì)算以下t變量：

因?yàn)閠1＜tα，故可以認(rèn)為即數(shù)值試驗(yàn)和物理模型試驗(yàn)兩個(gè)母體平均值在統(tǒng)計(jì)意義上相等，于是數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果可以確認(rèn)。

以上分析表明，開展船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)時(shí)，在已有經(jīng)驗(yàn)積累和對(duì)所求解流動(dòng)問題深入理解的基礎(chǔ)上，選擇合適的湍流模型、有效控制近船模表面第一層網(wǎng)格高度（y+）、注意網(wǎng)格數(shù)量并合理布置網(wǎng)格，針對(duì)某一類船型（至少對(duì)特定對(duì)象船模及相近船模），數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的精度基本可以滿足工程實(shí)用要求。當(dāng)然，前面所提到的“試驗(yàn)條件”必須保持一致。

4 結(jié) 語

本文開展了船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)不確定度分析與評(píng)估研究，通過對(duì)水面船標(biāo)模DTMB5415阻力數(shù)值試驗(yàn)不確定度分析的實(shí)例計(jì)算與分析，可以得出以下結(jié)論：

（1）對(duì)船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)而言，影響數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果最大的試驗(yàn)因素是近船模表面第一層網(wǎng)格高度（y+），其次是y+與湍流模型的交互作用和湍流模型，網(wǎng)格數(shù)量對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果也有高度顯著的影響；差分格式（二階以上）對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的影響一般可以忽略。

（2）數(shù)值水池試驗(yàn)中，選定合適的湍流模型，即排除由湍流模型帶來的不確定度，可大幅度降低船模阻力數(shù)值試驗(yàn)不確定度，使得數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的不確定度能夠基本滿足工程實(shí)用要求。

綜上所述，開展船模阻力數(shù)值水池試驗(yàn)時(shí)，在已有經(jīng)驗(yàn)積累和對(duì)所求解流動(dòng)問題深刻理解的基礎(chǔ)上，選擇合適的湍流模型、有效控制近船模表面第一層網(wǎng)格高度（y+）、注意網(wǎng)格數(shù)量并合理布置網(wǎng)格，針對(duì)某一類船型（至少對(duì)特定對(duì)象船模及相近船模），數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果的精度基本可以滿足工程實(shí)用要求。當(dāng)然，文中未顯式考慮、但對(duì)數(shù)值試驗(yàn)結(jié)果有較明顯影響的“試驗(yàn)條件”須保持一致。

最后應(yīng)該指出，本文使用的對(duì)象船模DTMB5415雖然有一定的典型性和代表性，然而畢竟樣本數(shù)量有限，以上有關(guān)結(jié)論，后續(xù)還要進(jìn)行相當(dāng)數(shù)量的大樣本子樣的檢驗(yàn)。

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Uncertainty analysis on numerical computation of ship model resistance

WU Cheng-sheng,QIU Geng-yao,WEI Ze,JIN Zhong-jia
(National Key Laboratory on Hydrodynamics,China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

Some research work on uncertainty analysis on numerical computation of ship model resistance is carried out.The method and procedure of verification is based on orthogonal design and variance analysis methods.The method and procedure of validation are based on statistic inference theory.Uncertainty analysis and assessment on numerical computation of ship model resistance for DTMB5415 are carried out. Significant factors and their interactions which strongly effect on the result of computations and all uncertainty components are obtained.Some suggestions are put forward to lower the uncertainty in numerical computation for ship model resistance.

numerical computation;uncertainty;verification and validation;ship model resistance

U661.7

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.10.004

1007-7294（2015）10-1197-12

2015-05-22

基礎(chǔ)科研計(jì)劃項(xiàng)目資助（A0820133023）；江蘇省綠色船舶技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助

吳乘勝（1976-），男，博士，高級(jí)工程師，E-mail:cswu@163.com；

邱耿耀（1985-）男，工程師。