待遇預(yù)定制養(yǎng)老基金資產(chǎn)組合與繳費(fèi)計劃最優(yōu)決策
——基于隨機(jī)波動率Heston模型及Legendre對偶變換法

肖建武，尹希明

(1.中南林業(yè)科技大學(xué)商學(xué)院，湖南 長沙 410004; 2.上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200240)

?

待遇預(yù)定制養(yǎng)老基金資產(chǎn)組合與繳費(fèi)計劃最優(yōu)決策
——基于隨機(jī)波動率Heston模型及Legendre對偶變換法

肖建武1，尹希明2

(1.中南林業(yè)科技大學(xué)商學(xué)院，湖南 長沙 410004; 2.上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200240)

待遇預(yù)定制養(yǎng)老金制度在中國應(yīng)用非常廣泛，繳費(fèi)制定和資產(chǎn)配置是此類養(yǎng)老金管理的兩大核心問題。由此，面對隨機(jī)波動的現(xiàn)實市場，文章針對待遇預(yù)定制養(yǎng)老基金的資產(chǎn)組合管理問題，應(yīng)用最優(yōu)控制理論，選用對數(shù)效用函數(shù)，建立Heston隨機(jī)波動率模型；在難以求解隨機(jī)微分Bellman方程的情況下，應(yīng)用Legendre變換，將原來問題轉(zhuǎn)化為對偶問題，從而求得原問題的解析解。在理論上，進(jìn)一步豐富了資產(chǎn)組合問題的隨機(jī)最優(yōu)控制模型的構(gòu)建和隨機(jī)微分方程的求解理論。在實踐上，確定了養(yǎng)老金管理風(fēng)險資產(chǎn)配置比例和繳費(fèi)水平，給出了最優(yōu)決策與總資產(chǎn)、發(fā)放待遇、凈資產(chǎn)與風(fēng)險溢價之間的數(shù)量關(guān)系，從而實現(xiàn)養(yǎng)老基金管理的最優(yōu)資產(chǎn)配置和最低繳費(fèi)水平的效用目標(biāo)。

待遇預(yù)定制養(yǎng)老金；資產(chǎn)組合；隨機(jī)波動率；Heston模型；Legendre變換

1 引言

養(yǎng)老金制度是為社會成員提供養(yǎng)老金的社會化制度安排，分為兩種基本類型：(1)待遇預(yù)定計劃(DB，Defined Benefit Plan)，即預(yù)先規(guī)定退休后的養(yǎng)老金水平，繳費(fèi)水平需經(jīng)過精算估計；(2)繳費(fèi)預(yù)定計劃(DC，Defined Contribution Plan)，即預(yù)先確定繳費(fèi)水平，退休后以繳費(fèi)和投資收益為基礎(chǔ)發(fā)放養(yǎng)老金。那么，繳費(fèi)制定和資產(chǎn)組合便成了DB計劃養(yǎng)老金管理的兩大核心問題[1]。國內(nèi)外有大量文獻(xiàn)針對養(yǎng)老基金的資產(chǎn)組合、繳費(fèi)和待遇發(fā)放等資金管理問題進(jìn)行了研究，相對來說，更多的研究主要集中于BC計劃，但也有不少的文獻(xiàn)成果針對DB計劃進(jìn)行了研究，國外的Josa-Fombellida等[2]、Boulier等[3]、Haberman等[4-5]分別根據(jù)不同市場條件和應(yīng)用不同隨機(jī)控制方法研究了待遇預(yù)定制養(yǎng)老金的最優(yōu)投資組合和繳費(fèi)水平問題；筆者等[6-7]也就待遇預(yù)定制養(yǎng)老金的投資繳費(fèi)問題建立了隨機(jī)波動率的常方差彈性(CEV)模型，并探討了數(shù)值模擬和Legendre變換-對偶解析解法。

在養(yǎng)老基金的資產(chǎn)配置決策中，由于大量不確定性因素影響著投資的收益與方差，所以，實際的投資市場是一個隨機(jī)波動的市場。如何突破靜態(tài)的分析方法和常波動率限制，更好地描繪實際金融市場的隨機(jī)波動性，使資產(chǎn)組合模型能更接近實際問題，其中，具有隨機(jī)波動率的模型就能較好地描述實際隨機(jī)金融市場，如CEV模型和Heston模型。CEV模型最早由Cox和Ross提出[8]，考慮了風(fēng)險資產(chǎn)市場價格因素，能很好地描繪實際市場隱含波動的不對稱性(An Implied Volatility Skew)[6-7]。Heston[9]模型最早由Heston研究，能較好地反映風(fēng)險資產(chǎn)收益和方差的隨機(jī)波動性，在基于風(fēng)險資產(chǎn)價格服從Heston隨機(jī)波動率條件下，李靜[10]、Han Jiguang等[11]和Kim等[12]研究了期權(quán)定價問題，Li Zhongfei等[13]和李艷方等[14]研究了最優(yōu)投資和再保險問題，林祥和楊益[15]研究了確定DC計劃養(yǎng)老金的最優(yōu)投資問題。

應(yīng)用隨機(jī)控制求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程是一個比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)過程，特別是在增加控制量和應(yīng)用隨機(jī)波動率的情況下，往往會得到更加復(fù)雜的非線性偏微方程，而借助Legendre變換將原問題轉(zhuǎn)化為對偶問題加以研究分析，可以解決部分模型的求解問題。事實上，在熱力學(xué)、統(tǒng)計力學(xué)和量子論領(lǐng)域應(yīng)用此類方法的學(xué)術(shù)工作比較廣泛，而在近年中也逐步延伸到了金融投資決策領(lǐng)域。Chaulli和Hurd[16]對金融中的Hellinger過程應(yīng)用Legendre變換，針對三種效用函數(shù)分析了原問題與對偶問題的相互關(guān)系以及理論性質(zhì)；Jonsson和Sircar[17]將Legendre變換引入到了資產(chǎn)配置和對沖期權(quán)問題；筆者也曾在研究[7，18-19]中應(yīng)用Legendre變換探討了養(yǎng)老基金管理服從常方差彈性(CEV)的隨機(jī)波動率模型。本文與之前的研究[7，18-19]工作相比，相同的是，都是針對養(yǎng)老基金的管理建立了隨機(jī)波動率控制模型，可以更好地描繪實際金融市場的隨機(jī)波動性；另外，都是應(yīng)用Legendre變換和對偶理論探討最優(yōu)決策的解析解，從而突破傳統(tǒng)隨機(jī)偏微方程求解難的問題。不同的是，CEV、Heston分別描述了不同的市場條件和市場過程，本文構(gòu)建的是Heston模型，在風(fēng)險資產(chǎn)滿足Heston條件下，研究養(yǎng)老金的管理問題；另外，也進(jìn)一步研究了Legendre變換和對偶理論在更多類型的隨機(jī)控制模型求解方面的應(yīng)用。

基于上述的應(yīng)用背景和理論方法，本工作將針對待遇預(yù)定制養(yǎng)老金的管理，采用對數(shù)效用函數(shù)，建立Heston隨機(jī)波動率模型，結(jié)合最優(yōu)控制理論和Legendre變換，將原來問題轉(zhuǎn)化為對偶問題，通過對偶問題的求解，求得原問題的解析解，從而確定風(fēng)險資產(chǎn)比例μ和繳費(fèi)水平C。理論上，建立了更加符合實際市場隨機(jī)變化條件的隨機(jī)波動率模型，并應(yīng)用Legendre變換克服了復(fù)雜的非線性偏微方程的求解過程，達(dá)到最優(yōu)控制決策。應(yīng)用上，探討了待遇預(yù)定制養(yǎng)老基金的資產(chǎn)組合和繳費(fèi)問題，滿足基金成員獲得既定受益條件下繳費(fèi)最少的社會福利。

2 隨機(jī)控制模型

2.1 主要假設(shè)

考慮待遇預(yù)定制養(yǎng)老金的管理，即預(yù)先規(guī)定退休后的養(yǎng)老金發(fā)放水平，基金管理者依靠總繳費(fèi)和投資收益兌現(xiàn)預(yù)先承諾，假設(shè)固定發(fā)放水平為P。

在不考慮消費(fèi)的情形之下，養(yǎng)老基金的資產(chǎn)組合分成風(fēng)險資產(chǎn)(μtVt)和無風(fēng)險資產(chǎn)((1-μt)Vt)。其中，總資產(chǎn)價值記作Vt，μt表示風(fēng)險資產(chǎn)所占總資產(chǎn)的比例，兩者都是關(guān)于時間t的函數(shù)，剩余部分(1-μt)Vt投向無風(fēng)險資產(chǎn)。

無風(fēng)險資產(chǎn)收益率假設(shè)為常數(shù)r(r>0)，常見的如銀行儲蓄利率或債券利率，則無風(fēng)險資產(chǎn)在t時刻的價格Bt滿足如下常微分方程：

dBt=rBtdt

(1)

(2)

其中，Wt是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，λ>0為常數(shù)，Dt是一個均值回復(fù)平方根過程，也稱CIR過程[9]，滿足如下方程：

(3)

其中，k，θ，σ均為正常數(shù)，θ是Dt的長期平均值(theLong-TermMean)，k是Dt的均值回歸率(aMean-RevertingSpeedParameter)，σ表示Dt的波動率(theVolatilityofVolatility)，且假設(shè)2kθ>σ2，D(0)>0，從而保證Dt>0；Wt′是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，不妨假設(shè)它與Wt之間的相關(guān)系數(shù)為ρ，即(dWt,dWt′)=ρdt。

2.2 最優(yōu)問題

在待遇預(yù)定計劃中，養(yǎng)老基金管理者在能保證發(fā)放水平的條件下，通過投資收益，盡量降低繳費(fèi)水平；同時還要考慮到未來價值貼現(xiàn)，也就是要使得累計繳費(fèi)現(xiàn)值最小，故選擇對數(shù)效用函數(shù)：

(4)

其中，β表示貼現(xiàn)率,設(shè)為常數(shù)；Ct表示在t時刻的養(yǎng)老金繳費(fèi)水平。

定義值函數(shù)：

(5)

所以，待遇預(yù)定制養(yǎng)老基金管理的最優(yōu)問題就可以表述為：在t時刻給定風(fēng)險資產(chǎn)價格St和總資產(chǎn)價值Vt的條件下，確定控制——繳費(fèi)水平Ct和風(fēng)險資產(chǎn)比例μt，使得負(fù)效用期望最大[7]。

3 模型求解

3.1 HJB方程

考慮到養(yǎng)老基金投資于風(fēng)險資產(chǎn)與無風(fēng)險資產(chǎn)，以及繳費(fèi)與待遇發(fā)放，其總資產(chǎn)的價值變化則滿足以下微分方程：

(6)

其中，第一項表示風(fēng)險資產(chǎn)收益，第二項表示無風(fēng)險資產(chǎn)收益，第三項表示基金繳費(fèi)，最后一項表示待遇發(fā)放。將無風(fēng)險資產(chǎn)模型和風(fēng)險資產(chǎn)Heston模型帶入式(6)，則有：

(7)

對以上最優(yōu)問題求得關(guān)于值函數(shù)H(t,S,V)的HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)偏微方程：

(8)

式中，H(t,S,V)簡單記作H，Ht，HV，HD，HVV，HVD，HDD分別表示對t，V，D的各階偏導(dǎo)；大括號部分是關(guān)于μ和C的多項式，則最優(yōu)控制(μ*,C*)滿足：

λHV+μVHVV+ρσHVD=0

(9)

由此可得：

(10)

(11)

將(10)和(11)帶入(8)得：

(12)

這是一個比較復(fù)雜非線性偏微方程，很難采取經(jīng)典的分離變量法解得直觀的解析解，下面將應(yīng)用Legendre變換將其轉(zhuǎn)化為對偶問題，通過對偶問題的求解從而取定原問題的最優(yōu)控制解。

3.2 對偶問題

定義原問題值函數(shù)的對偶函數(shù)：

(13)

(14)

其中，Z>0表示V的對偶變量。

(15)

定義效用函數(shù)的對偶函數(shù)：

(16)

(17)

借助Cox和Huang[20]和Kramkov等[21]的分析，我們?nèi)菀渍f明函數(shù)U(C)和U(Z)可以通過Legendre變換相互轉(zhuǎn)化：

(18)

按照Z=U′(C)，上式成立的最優(yōu)值C*、Z*之間的相互關(guān)系為：

(19)

效用函數(shù)定義為具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的嚴(yán)格遞增凹函數(shù)，那么對偶函數(shù)是一個嚴(yán)格遞減的凸函數(shù)，則原問題可以化為對偶問題：

(20)

將(15)代入HJB方程(12)得以下偏微方程：

(21)

(22)

3.3 方程求解

按照上述Legendre變換定義的對偶函數(shù)為：

(23)

所以，對上述偏微方程(22)求可分離變量形式的解：

(24)

滿足初始條件：f(0)=1，φ(0)=0，將其帶入式(22)則有：

(25)

則有：

(26)

即滿足：

(27)

(28)

可得：

(29)

即得：

(1-e-rt)

(30)

3.4 最優(yōu)決策

按照以上推導(dǎo)，風(fēng)險資產(chǎn)投資比例和繳費(fèi)水平可以重新表示為：

(31)

(32)

4 結(jié)語

考慮繳費(fèi)水平P的影響，對待遇預(yù)定制養(yǎng)老基金，隨著社會進(jìn)步，以及考慮通貨膨脹和人們生活水平的提高，養(yǎng)老金待遇隨之提高。在其它條件不變的情況下，該決策式表明，養(yǎng)老金的繳費(fèi)水平要隨著待遇水平的提高而降低，這也恰好滿足了養(yǎng)老基金追求的最優(yōu)問題：通過投資收益，盡量降低繳費(fèi)水平。同時，投資風(fēng)險資產(chǎn)的比例也要隨著待遇水平的提高而降低，進(jìn)一步論證了養(yǎng)老基金投資應(yīng)該遵循的基本原則：滿足收益性的前提是安全性和流動性。

[1] 王曉軍.中國養(yǎng)老金制度及其精算評價[M].北京:經(jīng)濟(jì)科學(xué)出版社,2002.

[2]Josa-FombellidaR,Rincón-ZapateroJP.Optimalassetallocationforaggregateddefinedbenefitpensionfundswithstochasticinterestrates[J].EuropeanJournalofOperationalResearch,2010,201(1): 211-221.

[3]BoulierJF,TrussantE,FlorensD.Adynamicmodelforpensionfundsmanagement[C].Proceedingsofthe5thAFIRInternationalColloquium，Brussels,September,1995.

[4]HabermanS,ButtZ,MegaloudiC.Contributionandsolvencyriskinadefinedpensionscheme[J].Insurance:MathematicsandEconomics,2000,27(2):237-259.

[5]HabermanS,VignaE.Optimalinvestmentstrategiesandriskmeasuresindefinedcontributionpensionschemes[J].Insurance:MathematicsandEconomics,2002, 31(1):35-69.

[6] 肖建武,秦成林,胡世培.待遇預(yù)定制養(yǎng)老基金管理的常方差彈性模型[J], 上海大學(xué)學(xué)報((自然科學(xué)版), 2004,10(6):649-653.

[7] 肖建武,秦成林.養(yǎng)老基金管理的常方差彈性模型及Legendre變換-對偶解法[J]. 系統(tǒng)工程理論與實踐, 2005,25(9):49-53.

[8]CoxJ.Theconstantelasticityofvarianceoptionpricingmodel[J].TheJournalofPortfolioManagement,1996,23:16-17.

[9]HestonSL.Aclosed-formsolutionforoptionswithstochasticvolatilitywithapplicationstobondandcurrencyoptions[J].TheReviewofFinancialStudies. 1993,6(2):327-343.

[10] 李靜,周嶠.Heston隨機(jī)波動率模型下一類多資產(chǎn)期權(quán)的定價[J].系統(tǒng)工程學(xué)報2012,27(3):320-326.

[11]HanJiguang,GaoMing,ZhangcQiang,etal.Optionpricesunderstochasticvolatility[J].AppliedMathematicsLetters, 2013,26(1): 1-4.

[12]KimJ,KimB,MoonKS,etal.ValuationofpoweroptionsunderHeston’sstochasticvolatilitymodel[J].JournalofEconomicDynamics&Control,2012,36(11): 1796-1813.

[13]LiZhongfei,ZengYan,LaiYongzeng.Optimaltime-consistentinvestmentandreinsurancestrategiesforinsurersunderHeston’sSVmodel[J].Insurance:MathematicsandEconomics,2012,51(1): 191-203.

[14] 李艷方,林祥.Heston隨機(jī)方差模型下的最優(yōu)投資和再保險策略[J].經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué),2009,26(4):32-41.

[15] 林祥,楊益.Heston隨機(jī)方差模型下確定繳費(fèi)型養(yǎng)老金的最優(yōu)投資[J]. 應(yīng)用數(shù)學(xué),2010,23(2):413-418.

[16]ChoulliT,HurdTR.Theroleofhellingerprocessesinmathematicalfinance[J].Entropy2001, 3(3):150-161.

[17]JonssonM,SircarR.Optimalinvestmentproblemsandvolatilityhomogenizationapproximations[M]//BourliouxA,GanderM,SabidussiG.Modernmethodsinscientificcomputingandapplications.Netherlands:Springer,2002:255-281.

[18]XiaoJianwu,QinChenglin.Constantelasticityofvariancemodelandanalyticalstrategiesforannuitycontracts[J].AppliedMathematicsandMechanics, 2006,27(11):1499-1506.

[19]XiaoJianwu,ZhaiHong,QinChenglin.Theconstantelasticityofvariance(CEV)modelandLegendretransform-dualsolutionforannuitycontracts[J].Insurance:MathematicsandEconomics, 2007,40(2):302-310.

[20]CoxJC,HuangCF.Avariationalproblemarisinginfinancialeconomics[J].Math.Econ,1991, 20(5):465-487.

[21]KramkovD,SchachermayerW.Theasymptoticelasticityofutilityfunctionsandoptimalinvestmentinincompletemarkets[J].AnnalsofAppliedProbability1999,9(3):904-950.

TheOptimalPortfolioDecisionandContributionPlanofDefinedBenefitPensionFundsBasedonaHestonStochasticVolatilityModelandLegendreDualTransformMethod

XIAO Jian-wu1，YIN Xi-ming2

(1.Business School, Central South University of Forestry &Technology, Hunan Changsha 410004, China；2. Department of Mathematics, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

The defined benefit pension system applies widely in China. The portfolio and the contribution plan are the two core issues in this system. Thus, a Heston stochastic volatility control model with the logarithm utility function for the portfolio of the defined benefit pension funds is created in this paper, and a stochastic differential Bellman equation by applying optimal control theory is obtained. But this equation is very difficult to solve, so it transfers the primal problem to the dual problem and provides an analytic solution to the primal optimal problem by applying the Legendre transform and the dual theory. In theory, the paper enriches the methods of the model specification and the model solution for the stochastic volatility control model about the portfolio. In practical level, an optimal asset allocation strategy (between a risky asset and a reckless asset) and the least contribution policy, and expressions of quantity relations between the optimal decisions and the total assets, the pension benefit, the net assets and the risk premium to achieve the utility goal are found in this paper.

defined benefit pension funds; portfolio; stochastic volatility; Heston model; Legendre transform

2013-01-18；

2013-07-17

教育部人文社會科學(xué)研究項目(10YJC790296)

肖建武(1973-)，男(漢族)，湖南株洲人，中南林業(yè)科技大學(xué)商學(xué)院，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向：投融資管理.

1003-207(2015)03-0042-05

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.03.005

F224.11

A