擬凹生產(chǎn)函數(shù)的分區(qū)域估計(jì)

董進(jìn)全，邱程程，馬占新，劉俊華,鄭治華

(1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.內(nèi)蒙古大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)

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擬凹生產(chǎn)函數(shù)的分區(qū)域估計(jì)

董進(jìn)全1，邱程程1，馬占新2，劉俊華1,鄭治華1

(1.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051；2.內(nèi)蒙古大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010021)

本文提出了規(guī)模報(bào)酬遞增生產(chǎn)前沿面的概念并證明了以下兩個(gè)結(jié)論：(1)基于樣本數(shù)據(jù)的DEA生產(chǎn)投入集可劃分為規(guī)模報(bào)酬遞增、不變和遞減區(qū)域；(2)C-D生產(chǎn)函數(shù)是擬凹函數(shù)，且在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域非凹，在規(guī)模遞減區(qū)域嚴(yán)格凹?；谏鲜鼋Y(jié)論及對(duì)生產(chǎn)函數(shù)曲面，BCC生產(chǎn)前沿面，規(guī)模報(bào)酬遞增生產(chǎn)前沿面的相互關(guān)系的分析，提出了一種生產(chǎn)函數(shù)分區(qū)域估計(jì)方法：在對(duì)樣本數(shù)據(jù)(決策單元)依據(jù)規(guī)模報(bào)酬增減性進(jìn)行分類的基礎(chǔ)上進(jìn)行投入可能集的分劃，進(jìn)而在規(guī)模報(bào)酬遞減(不變)和遞增區(qū)域上分別通過決策單元的BCC弱有效投影和規(guī)模報(bào)酬遞增弱有效投影估計(jì)生產(chǎn)函數(shù)。文末，通過實(shí)例驗(yàn)證了估計(jì)方法的有效性。

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)；生產(chǎn)函數(shù)估計(jì)；規(guī)模報(bào)酬；DEA弱有效；生產(chǎn)前沿面

1 引言

生產(chǎn)函數(shù)是用來研究經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)與測(cè)算技術(shù)效率和技術(shù)進(jìn)步的一種重要的分析工具，它是描述在一定技術(shù)水平下，生產(chǎn)者對(duì)各種投入進(jìn)行最有效生產(chǎn)所能達(dá)到的最大產(chǎn)出水平的函數(shù)[1-3]。因此估算生產(chǎn)函數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)所投入的生產(chǎn)要素和可能產(chǎn)生的最大產(chǎn)出量給予充分的重視。但在許多理論性及大多數(shù)經(jīng)驗(yàn)型研究中，生產(chǎn)函數(shù)經(jīng)常被理解或處理成一種投入與產(chǎn)出的統(tǒng)計(jì)依存關(guān)系，而關(guān)于產(chǎn)出達(dá)到最大的要求則通常被忽略。因而傳統(tǒng)的用原始數(shù)據(jù)直接擬合生產(chǎn)函數(shù)的方法，往往不能反映“最大產(chǎn)出”的特征，由此產(chǎn)生的生產(chǎn)函數(shù)也就不是嚴(yán)格意義上的生產(chǎn)函數(shù)。

相對(duì)于回歸方法得到的生產(chǎn)函數(shù)，基于數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(DEA)理論得出的前沿生產(chǎn)函數(shù)更多地利用了有效及“投影”后有效的樣本點(diǎn)信息[4-5]。迄今為止，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在基于DEA理論估算生產(chǎn)函數(shù)方面成果頗多。Deprins[6]首次提出了無成本處置殼模型(the Free Disposal Hull, FDH),該方法放棄了生產(chǎn)可能集凸性假設(shè)，在此基礎(chǔ)上改進(jìn)DEA模型并應(yīng)用于生產(chǎn)函數(shù)估算。吳文江等[7]通過經(jīng)典DEA模型中的面向產(chǎn)出的BCC模型對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行相對(duì)有效性判別，運(yùn)用回歸模型對(duì)處于生產(chǎn)前沿面的樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到生產(chǎn)函數(shù)。程大友[8]運(yùn)用DEA模型將非有效決策單元“投影”為有效決策單元，以投影后的數(shù)據(jù)作為樣本點(diǎn)進(jìn)行生產(chǎn)函數(shù)的擬合。馬贊甫，劉妍珺[9]將DEA方法和參數(shù)方法相結(jié)合，用DEA生產(chǎn)前沿面從內(nèi)部逼近生產(chǎn)函數(shù)曲面，進(jìn)而進(jìn)行凹性生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)。

然而，在DEA生產(chǎn)可能集的公理系統(tǒng)中，凸性公理以生產(chǎn)函數(shù)滿足凹性為前提假設(shè)[10-11]。但由于邊際報(bào)酬遞減規(guī)律的存在，生產(chǎn)函數(shù)有時(shí)只滿足擬凹(Quasi-Concave, QC)性而并不滿足凹性[3,12]?？梢宰C明，Cobb-Douglas (C-D)生產(chǎn)函數(shù)在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域是擬凹函數(shù)[13]而非凹函數(shù)。所以，在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域(多體現(xiàn)為生產(chǎn)函數(shù)不滿足凹性)，仍在生產(chǎn)可能集滿足凸性公理的假設(shè)下通過DEA生產(chǎn)前沿面擬合生產(chǎn)函數(shù)曲面的方法就缺乏理論支持。

鑒于此，Dekker和 Post[14]將關(guān)于DEA生產(chǎn)可能集的凸性公理假設(shè)改進(jìn)為投入空間凸而產(chǎn)出空間為擬凹的公理假設(shè)(擬凹公理)，研究了決策單元面向投入的擬凹DEA弱有效性并應(yīng)用于銀行分支機(jī)構(gòu)的績(jī)效評(píng)估。Post[15]、王曉紅等[16,17]針對(duì)傳統(tǒng)DEA方法不適用于生產(chǎn)前沿面呈現(xiàn)邊際報(bào)酬遞增時(shí)的情況，提出了通過變換函數(shù)將不滿足凸性公理的生產(chǎn)可能集轉(zhuǎn)換為滿足凸性公理的生產(chǎn)可能集的方法，從而使得轉(zhuǎn)換后決策單元可以應(yīng)用DEA模型進(jìn)行有效性判別。邱兆祥等[18]基于無成本處置殼(FDH)方法對(duì)中國(guó)商業(yè)銀行1999年至2003年間的經(jīng)營(yíng)效率進(jìn)行了測(cè)算。

當(dāng)一種生產(chǎn)技術(shù)的生產(chǎn)規(guī)?？缍容^大時(shí)，可能同時(shí)包含規(guī)模報(bào)酬遞增(有時(shí)簡(jiǎn)稱IRS)和規(guī)模報(bào)酬遞減(有時(shí)簡(jiǎn)稱DRS)的情形。在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域，生產(chǎn)可能集一般不滿足凸性公理；在規(guī)模報(bào)酬遞減(包括不變)區(qū)域，生產(chǎn)可能集滿足凸性公理。所以在整個(gè)生產(chǎn)規(guī)?？缍确秶鷥?nèi)假定整個(gè)生產(chǎn)可能集滿足或不滿足凸性公理都是不合理的。

本文提出了規(guī)模報(bào)酬遞增生產(chǎn)前沿面的概念并證明了如下兩個(gè)結(jié)論：(1)基于樣本數(shù)據(jù)的DEA生產(chǎn)投入集可分劃為規(guī)模報(bào)酬遞增、不變和遞減區(qū)域；(2)C-D生產(chǎn)函數(shù)是擬凹函數(shù)，且在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域非凹，在規(guī)模遞減區(qū)域嚴(yán)格凹。在此基礎(chǔ)上，以C-D生產(chǎn)函數(shù)為研究對(duì)象，考慮生產(chǎn)函數(shù)凹性與規(guī)模報(bào)酬之間的關(guān)系，提出了一種生產(chǎn)函數(shù)分區(qū)域估計(jì)方法：在規(guī)模報(bào)酬不變和遞減區(qū)域運(yùn)用BCC生產(chǎn)前沿面擬合生產(chǎn)函數(shù)曲面；在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域，針對(duì)生產(chǎn)函數(shù)僅為擬凹的特性，通過規(guī)模報(bào)酬遞增生產(chǎn)前沿面擬合生產(chǎn)函數(shù)曲面。該方法一方面解決了生產(chǎn)規(guī)模跨度較大時(shí)生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)問題，另一方面給出了非凹型生產(chǎn)函數(shù)(或生產(chǎn)函數(shù)非凹階段)更為合理的估計(jì)。

2 生產(chǎn)函數(shù)的擬凹性

所謂“擬凹”，可理解為“有限個(gè)決策單元的投入凸組合所產(chǎn)生的產(chǎn)出不小于原決策單元產(chǎn)出的最小者”。下面給出函數(shù)凹與擬凹的準(zhǔn)確定義，進(jìn)而證明結(jié)論：C-D生產(chǎn)函數(shù)在規(guī)模報(bào)酬不變和遞減區(qū)域是凹的，在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域是擬凹但卻不是凹的。

定義2.1[12]設(shè)函數(shù)f在凸集D上有定義。如果對(duì)任意u,v∈D及任何θ∈[0,1]，總有f(θu+(1-θ)v)≥θf(u)+(1-θ)f(v)，則稱f是凹函數(shù)；如果對(duì)任意u,v∈D(u≠v)及任何θ∈(0,1)，f(θu+(1-θ)v)>θf(u)+(1-θ)f(v)，則稱f(x)是嚴(yán)格凹函數(shù)。如果對(duì)任意u,v∈D及θ∈[0,1]，有f[θu+(1-θ)v]≥min{f(u),f(v)}，則稱f為擬凹函數(shù)；如果對(duì)任意u,v∈D(u≠v)及任何θ∈(0,1)，有f[θu+(1-θ)v]>min{f(u),f(v)}，則稱f為嚴(yán)格擬凹函數(shù)。

定理2.1[12]對(duì)一個(gè)二次連續(xù)可微函數(shù)f，當(dāng)且僅當(dāng)f的Hesse矩陣D2f為半負(fù)定時(shí)，f是凹函數(shù)；當(dāng)D2f負(fù)定時(shí)，f為嚴(yán)格凹函數(shù)。

定理2.2[12]設(shè)函數(shù)f(x1,x2,…,xn)在Rn的第一卦限上二次連續(xù)可微，記：

則f為嚴(yán)格擬凹的充分條件為：|B|的順序主子式：

一般地，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)|Bk|<0，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)|Bk|>0，k=1,2,…,n。

證明：由f(x)的定義，有：

所以：

一般地，

因此，由定理2.2可知f(x)是嚴(yán)格擬凹函數(shù)。

其k階順序主子式：

Pk=

3 規(guī)模報(bào)酬遞增DEA弱有效

前已述及，一種生產(chǎn)技術(shù)的生產(chǎn)函數(shù)在不同的規(guī)模報(bào)酬區(qū)域的凹性不同，因而在不同的規(guī)模報(bào)酬區(qū)域上DEA生產(chǎn)可能集滿足的公理體系也應(yīng)該不同。所以我們將整個(gè)DEA生產(chǎn)可能集依照規(guī)模報(bào)酬增減性劃分為若干不相交的子集(仍舊稱之為DEA生產(chǎn)可能集)，在不同的子集上引入不同的公理體系。特別地，在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域，對(duì)應(yīng)的DEA生產(chǎn)可能集的公理體系中應(yīng)該不包含凸性公理。

在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域，BCC模型可能將實(shí)際有效的決策單元判斷為非有效，而FDH模型則可能將實(shí)際非有效的決策單元判斷為有效。為減少以上兩種誤判情況的發(fā)生和減小誤判的程度，我們?cè)谶@一區(qū)域的生產(chǎn)可能集T上引入以下三個(gè)公理。

有限規(guī)模報(bào)酬遞增公理：記T(X)為T的投入集，若(Xj,Yj)∈T,k>1,，kXj∈T(X)則(kXj,kYj)∈T。

顯然，較之BCC模型對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)可能集[10]和FDH模型對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)可能集[6,15]，擬凹公理和有限規(guī)模報(bào)酬遞增公理的引入使得TIRS可以更合理地描述規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域的生產(chǎn)狀況。

下述線性規(guī)劃模型實(shí)現(xiàn)了上述思路并給出了(Xj0,yj0)的規(guī)模報(bào)酬遞增弱有效投影。

maxy

(11)

式中，M為充分大的正數(shù)。我們稱(Xj0,ymax)為決策單元(Xj0,yj0)的規(guī)模遞增弱有效投影。定義(Xj0,yj0)的產(chǎn)出效率為yj0與ymax的比值，當(dāng)該比值為1時(shí)，稱(Xj0,yj0)為規(guī)模報(bào)酬遞增弱有效(簡(jiǎn)稱IRS弱有效，下同)；否則稱其為非規(guī)模報(bào)酬遞增弱有效。在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域，由所有IRS弱有效決策單元構(gòu)成的曲面稱為規(guī)模報(bào)酬遞增生產(chǎn)前沿面(簡(jiǎn)稱IRS生產(chǎn)前沿面，下同)。

本文第6節(jié)的擬凹生產(chǎn)函數(shù)估計(jì)實(shí)例中，有11個(gè)決策單元處于規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域。表1給出了由這些決策單元生成的投入?yún)^(qū)域上各決策單元的BCC弱有效值、FDH弱有效值、IRS弱有效值及相應(yīng)的弱有效投影。表中數(shù)據(jù)說明在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域，用IRS弱有效性描述決策單元的產(chǎn)出更合理一些。

4 生產(chǎn)函數(shù)規(guī)模報(bào)酬遞增與非增區(qū)域的劃分

4.1 技術(shù)有效點(diǎn)的規(guī)模增減性的判定

由于邊際報(bào)酬遞減規(guī)律的存在，在不同的投入水平上，產(chǎn)量的增加可能會(huì)多于、等于或者少于同樣倍數(shù)的投入的增加。因此一種生產(chǎn)技術(shù)可能同時(shí)包括規(guī)模報(bào)酬遞增，不變和遞減區(qū)域。對(duì)于規(guī)模報(bào)酬的研究，傳統(tǒng)方法是針對(duì)生產(chǎn)函數(shù)參數(shù)間的不同表達(dá)形式確定規(guī)模報(bào)酬[19-21]。1984年Banker[22]首先提出運(yùn)用DEA模型評(píng)估決策單元的規(guī)模報(bào)酬?duì)顩r，而后Fare 和 Grosskopf[23]在使用非參數(shù)費(fèi)用法研究規(guī)模效益時(shí)，提出了FG模型。魏權(quán)齡等[10,24,25]以決策單元面向產(chǎn)出技術(shù)有效為前提，進(jìn)行了關(guān)于規(guī)模報(bào)酬?duì)顩r的進(jìn)一步研究。下文中所有DEA概念均指面向產(chǎn)出的情形。

定理4.1[10]設(shè)(Xj,Yj)為BCC弱有效，則：(Xj,Yj)為規(guī)模報(bào)酬遞增的充分必要條件是：(Xj,Yj)為ST模型下弱有效，但不為FG模型下弱有效；(Xj,Yj)為規(guī)模報(bào)酬不變的充分必要條件是：(Xj,Yj)為ST模型下弱有效，且為FG模型下弱有效；(Xj,Yj)為規(guī)模報(bào)酬遞減的充分必要條件是：(Xj,Yj)為FG模型下弱有效，但不為ST模型下弱有效。

關(guān)于定理4.1我們給出兩點(diǎn)補(bǔ)充說明：

(1)研究規(guī)模報(bào)酬時(shí)，參考的生產(chǎn)函數(shù)曲面實(shí)際為由面向產(chǎn)出的BCC模型確定的生產(chǎn)前沿面，而非經(jīng)濟(jì)學(xué)中一般意義下的生產(chǎn)函數(shù)曲面。以下文中涉及到的“規(guī)模報(bào)酬”概念除特別說明外，均依此理解；

表1 規(guī)模遞增區(qū)域決策單元不同種類的弱有效值及相應(yīng)投影

(2)“規(guī)模報(bào)酬不變”的實(shí)際含義是“規(guī)模報(bào)酬有效”，即(X,Y)稱為規(guī)模不變，如果存在δ>0使得對(duì)一切k∈(1-δ,1+δ)都有f(kX)≤kf(X)。

4.2 生產(chǎn)函數(shù)規(guī)模報(bào)酬遞增、不變與遞減區(qū)域的劃分

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的規(guī)模報(bào)酬概念是對(duì)那些在生產(chǎn)函數(shù)曲面上生產(chǎn)狀態(tài)的投入規(guī)模而言的[10]。由于DEA中的規(guī)模報(bào)酬概念是對(duì)生產(chǎn)前沿面上的生產(chǎn)狀態(tài)而言，所以在DEA中討論決策單元的規(guī)模報(bào)酬應(yīng)以該決策單元技術(shù)有效為前提條件。但由于規(guī)模報(bào)酬?duì)顩r的評(píng)估是關(guān)于投入規(guī)模的評(píng)估，我們也可以對(duì)非技術(shù)有效的決策單元的規(guī)模報(bào)酬?duì)顩r進(jìn)行評(píng)估，方法就是將一個(gè)決策單元的規(guī)模報(bào)酬?duì)顩r定義為其BCC弱有效投影后的決策單元的規(guī)模報(bào)酬?duì)顩r[10]。如此，對(duì)給定的一組決策單元(樣本數(shù)據(jù))，我們可以根據(jù)定理4.1判定每個(gè)決策單元的規(guī)模報(bào)酬情況(遞增、遞減或不變)。

記由決策單元(X1,Y1),(X2,Y2),…,(Xn,Yn)生成的BCC生產(chǎn)可能集為TBCC，對(duì)應(yīng)的投入集為TBCC(X)。依據(jù)下述定理，我們可以將TBCC(X)劃分為規(guī)模報(bào)酬遞增、不變(有效)和遞減區(qū)域。為表述方便，對(duì)任意X∈TBCC(X)，記(X,F(X))為TBCC的BCC生產(chǎn)前沿面上投入為X的點(diǎn)。

定理4.2 設(shè)(Xi,Yi),(Xj,Yj)∈TBCC，(Xi,Yi)，(Xj,Yj)為BCC弱有效且(Xi,Yi)規(guī)模報(bào)酬遞增，(Xj,Yj)規(guī)模報(bào)酬遞減，則一定存在α∈(0,1)，使得(αXi+(1-α)Xj,F(αXi+(1-α)Xj))規(guī)模報(bào)酬有效。

由于經(jīng)濟(jì)學(xué)上已經(jīng)證明了規(guī)模報(bào)酬遞減規(guī)律的存在，因此由定理4.2，生產(chǎn)函數(shù)的投入?yún)^(qū)域總可劃分為規(guī)模報(bào)酬遞增、不變(有效)與遞減區(qū)域。

根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)曲面與BCC生產(chǎn)前沿面的關(guān)系，我們可以認(rèn)為決策單元在經(jīng)濟(jì)學(xué)意義下的規(guī)模報(bào)酬增減性和基于BCC生產(chǎn)前沿面的規(guī)模報(bào)酬增減性是相同的。

5 生產(chǎn)函數(shù)曲面的分區(qū)域估計(jì)

根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，邊際產(chǎn)出具有先升后降的規(guī)律，即邊際報(bào)酬遞減規(guī)律。所以，生產(chǎn)函數(shù)規(guī)模報(bào)酬就呈現(xiàn)“遞增-不變-遞減”規(guī)律。一般而言，在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域，生產(chǎn)函數(shù)僅呈現(xiàn)擬凹性；在規(guī)模報(bào)酬遞減區(qū)域，生產(chǎn)函數(shù)呈現(xiàn)凹性。特別地，對(duì)C-D生產(chǎn)函數(shù)，上述結(jié)論恒成立。

圖1 生產(chǎn)函數(shù)曲面，BCC生產(chǎn)前沿面，IRS生產(chǎn)前沿面之間的位置關(guān)系

基于生產(chǎn)函數(shù)曲面，BCC生產(chǎn)前沿面和IRS生產(chǎn)前沿面之間的關(guān)系，我們給出如下的生產(chǎn)函數(shù)曲面分區(qū)域估計(jì)方法。

在對(duì)所有決策單元(樣本數(shù)據(jù))依據(jù)規(guī)模報(bào)酬增減性(由定理4.1確定)分類后，對(duì)處于規(guī)模報(bào)酬遞增階段的決策單元，我們首先求出其IRS弱有效投影(本身已經(jīng)是IRS弱有效的決策單元的投影為其自身)，以確保產(chǎn)出盡可能的接近生產(chǎn)函數(shù)要求的最大產(chǎn)量，然后再通過這些投影擬合生產(chǎn)函數(shù)曲面。

(13)

對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的傳統(tǒng)方法是統(tǒng)計(jì)回歸[7,8,26,27]。但生產(chǎn)函數(shù)曲面與IRS生產(chǎn)前沿面的位置關(guān)系(參考圖1)會(huì)導(dǎo)致回歸結(jié)果的系統(tǒng)性誤差。所以，我們用下述線性規(guī)劃模型對(duì)生產(chǎn)函數(shù)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

(14)

同理，對(duì)于處于規(guī)模報(bào)酬非增階段的所有決策單元，我們可以將其BCC弱有效投影數(shù)據(jù)運(yùn)用于模型(14)對(duì)生產(chǎn)函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

6 實(shí)例驗(yàn)證

為說明本文所述方法的有效性，我們通過一個(gè)實(shí)例加以驗(yàn)證。實(shí)例數(shù)據(jù)取自滬深兩市 “新材料概念”板塊49家上市公司2012年年報(bào)(“新材料概念”板塊共包含55家上市公司，為消除業(yè)績(jī)變動(dòng)的偶然因素，本文去除了營(yíng)業(yè)收入變動(dòng)超過30%的6家公司)。每個(gè)決策單元有兩個(gè)投入項(xiàng)和一個(gè)產(chǎn)出項(xiàng)，分別為K(總資產(chǎn))、L(職工人數(shù))、Y(營(yíng)業(yè)收入)。對(duì)實(shí)例中的決策單元，先根據(jù)定理4.1確定各決策單元的規(guī)模報(bào)酬增減性并進(jìn)行分類，再對(duì)規(guī)模報(bào)酬遞增的決策單元求出IRS弱有效投影，對(duì)規(guī)模報(bào)酬非增的決策單元求出BCC弱有效投影(見表2)。然后對(duì)不同類型決策單元分別運(yùn)用對(duì)應(yīng)的投影數(shù)據(jù)和模型(14)進(jìn)行生產(chǎn)函數(shù)參數(shù)的估計(jì)。

圖2給出了決策單元(樣本數(shù)據(jù))在投入空間的分布狀況(橫軸為資金投入，縱軸為人員投入,“*”表示規(guī)模報(bào)酬遞減決策單元，“○”表示規(guī)模報(bào)酬不變決策單元，“×”表示規(guī)模報(bào)酬遞增決策單元)，可以印證定理4.2的結(jié)論。事實(shí)上，可以根據(jù)定理4.2的證明思路，找出更多規(guī)模報(bào)酬不變的決策單元，使得規(guī)模報(bào)酬增減區(qū)域的劃分更加精細(xì)，例如利用規(guī)模報(bào)酬遞減決策單元DMU5的BCC投影(17.28, 1.61, 38.52)和DMU6的BCC投影(46.89, 4.279, 62.82)可以找出規(guī)模報(bào)酬不變決策單元(22.3, 2.82，49.51)。

表2 決策單元的DEA投影值及生產(chǎn)函數(shù)曲面擬合值

數(shù)據(jù)來源：金融界，www.jrj.com.cn

圖2 樣本數(shù)據(jù)在投入空間的分布

應(yīng)用線性規(guī)劃模型(14)及表3的數(shù)據(jù)進(jìn)行生產(chǎn)函數(shù)方程擬合得出的生產(chǎn)函數(shù)表達(dá)式為：

(15)

圖3為根據(jù)規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域的樣本數(shù)據(jù)擬合得到的生產(chǎn)函數(shù)曲面，圖4為根據(jù)規(guī)模報(bào)酬遞減區(qū)域的樣本數(shù)據(jù)擬合得到的生產(chǎn)函數(shù)曲面。

從表2中各決策單元弱有效投影(BCC或IRS)與擬合生產(chǎn)函數(shù)曲面上相同投入點(diǎn)產(chǎn)出的相對(duì)誤差可以看出，在規(guī)模報(bào)酬遞減和規(guī)模不變區(qū)域擬合效果是比較好的；在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域，擬合效果不大理想，這可能由以下幾個(gè)方面原因所致：(1)樣本數(shù)據(jù)較少，產(chǎn)出規(guī)律反映的不充分；(2)規(guī)模報(bào)酬遞增弱有效對(duì)實(shí)際生產(chǎn)狀況中決策單元產(chǎn)出有效性的解釋還不充分；(3)C-D生產(chǎn)函數(shù)不適合描述樣本對(duì)應(yīng)的實(shí)際生產(chǎn)狀況。

圖3 規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域生產(chǎn)函數(shù)曲面

圖4 規(guī)模報(bào)酬遞減區(qū)域生產(chǎn)函數(shù)曲面

7 結(jié)語(yǔ)

本文提出了規(guī)模報(bào)酬遞增生產(chǎn)前沿面的概念并證明了如下兩個(gè)結(jié)論：(1)基于樣本數(shù)據(jù)的DEA生產(chǎn)投入集可劃分為規(guī)模報(bào)酬遞增、不變和遞減區(qū)域；(2)C-D生產(chǎn)函數(shù)是擬凹函數(shù)，且在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域非凹，在規(guī)模遞減區(qū)域嚴(yán)格凹。在分析生產(chǎn)函數(shù)曲面，BCC生產(chǎn)前沿面和規(guī)模報(bào)酬遞增生產(chǎn)前沿面的相互關(guān)系的基礎(chǔ)上，提出了一種生產(chǎn)函數(shù)分區(qū)域估計(jì)方法：針對(duì)生產(chǎn)函數(shù)存在規(guī)模報(bào)酬變動(dòng)及樣本數(shù)據(jù)普遍未能實(shí)現(xiàn)最大產(chǎn)出的現(xiàn)象，分別在規(guī)模報(bào)酬遞增和遞減階段利用新建立的規(guī)模報(bào)酬遞增弱有效投影模型和BCC弱有效投影模型對(duì)樣本決策單元進(jìn)行弱有效性投影，再通過這些投影對(duì)生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行估計(jì)。這種估計(jì)方法主要有三個(gè)特點(diǎn)：(1)考慮了生產(chǎn)函數(shù)的規(guī)模報(bào)酬變動(dòng)；(2)在規(guī)模報(bào)酬遞增區(qū)域，根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)曲面呈現(xiàn)擬凹性的特點(diǎn)，提出了規(guī)模報(bào)酬遞增生產(chǎn)前沿面的概念并通過規(guī)模報(bào)酬遞增前沿面從下方逼近生產(chǎn)函數(shù)曲面；(3)基于生產(chǎn)函數(shù)曲面與DEA生產(chǎn)前沿面的位置關(guān)系，在進(jìn)行生產(chǎn)函數(shù)參數(shù)估計(jì)時(shí)假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)曲面相對(duì)于DEA生產(chǎn)前沿面只存在正誤差。此外，本文提出的規(guī)模報(bào)酬遞增弱有效概念及相應(yīng)判別及投影模型提供了成長(zhǎng)期產(chǎn)業(yè)中決策單元相對(duì)有效性評(píng)價(jià)的一種新途徑。

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《第十七屆中國(guó)管理科學(xué)學(xué)術(shù)年會(huì)》征文通知

會(huì)議主題：“管理創(chuàng)新推動(dòng)企業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)”

主辦單位：中國(guó)優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)研究會(huì) 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)

中國(guó)科學(xué)院科技政策與管理科學(xué)研究所《中國(guó)管理科學(xué)》編輯部

支持單位：內(nèi)蒙古社會(huì)科學(xué)界聯(lián)合會(huì)

承辦單位：內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院

協(xié)辦單位：內(nèi)蒙古管理學(xué)會(huì) 內(nèi)蒙古管理現(xiàn)代化研究中心

會(huì)議時(shí)間：2015年7月31日—8月3日

會(huì)議地點(diǎn)：內(nèi)蒙古·呼和浩特市

征文范圍：

優(yōu)選法與優(yōu)化管理 統(tǒng)籌法與項(xiàng)目管理 經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)與低碳經(jīng)濟(jì)

金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理工業(yè)工程與運(yùn)作管理信息系統(tǒng)與商務(wù)智能

物流與供應(yīng)鏈管理營(yíng)銷工程與服務(wù)科學(xué)戰(zhàn)略管理與認(rèn)知決策

數(shù)據(jù)挖掘與知識(shí)管理人力資源與組織績(jī)效管理創(chuàng)業(yè)與小微企業(yè)管理

安全與應(yīng)急管理資源型產(chǎn)業(yè)發(fā)展模式能源與環(huán)境管理

公共管理與復(fù)雜系統(tǒng)管理戰(zhàn)略型新興產(chǎn)業(yè)與產(chǎn)業(yè)金融企業(yè)管理創(chuàng)新理論與實(shí)踐

截稿日期：2015年5月31日

錄用通知：2015年6月30日

征稿要求：

▲ 未在其它學(xué)術(shù)會(huì)議、論文集和刊物上公開發(fā)表過。

▲ 文章具體格式可參照《中國(guó)管理科學(xué)》近期期刊。

▲ 來稿篇幅要求5-8頁(yè)(5頁(yè)以內(nèi)版面費(fèi)600元，超過5頁(yè)每增加一頁(yè)加收版面費(fèi)150元)。

▲ 來稿注明：征文類別(從征文范圍中選擇一個(gè)接近的類別填寫)、作者簡(jiǎn)介、單位、通訊地址、郵編、聯(lián)系電話、E-mail地址，并在郵件標(biāo)題上注明“征文”字樣。

論文出版：

▲ 出版《中國(guó)管理科學(xué)》專輯(已被CNKI數(shù)字圖書館全文收錄(www.cnki.net))，以國(guó)家正式出版物的方式出版發(fā)行，專輯中將收錄通過評(píng)審錄用的論文。并在會(huì)前將所有錄用論文的長(zhǎng)摘要編輯成冊(cè)《第十七屆中國(guó)管理科學(xué)學(xué)術(shù)年會(huì)論文摘要》。

▲ 大會(huì)設(shè)《優(yōu)秀論文報(bào)告獎(jiǎng)》：會(huì)議論文通過評(píng)審錄用可參加本屆年會(huì)專題會(huì)議的交流評(píng)議，獲《優(yōu)秀論文報(bào)告獎(jiǎng)》的論文將頒發(fā)獲獎(jiǎng)證書并安排在《中國(guó)管理科學(xué)》正刊發(fā)表，直接列入2016年刊登計(jì)劃。

▲ 會(huì)議具體情況請(qǐng)登陸中國(guó)優(yōu)選法統(tǒng)籌法與經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)研究會(huì)網(wǎng)站:www.scope.org.cn;中國(guó)管理科學(xué)網(wǎng)站:www.zgglkx.com及中國(guó)學(xué)術(shù)會(huì)議網(wǎng)站：www.zgglkxnh.conf.cnki.net 。

大會(huì)秘書處：

聯(lián)系人：傅繼良、張玲

E-mail：shuangfa@casipm.ac.cn 聯(lián)系電話：010-62542629

變更：“第十七屆中國(guó)管理科學(xué)學(xué)術(shù)年會(huì)”會(huì)議時(shí)間變更為2015年7月31日-8月3日。

Estimation of Quasi-concave Production Function Based on the Division of Input Possibility Set

DONG Jin-quan1, QIU Cheng-cheng1, MA Zhan-xin2,LIU Jun-hua1,ZHENG Zhi-hua1

(1.School of Management, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot 010051，China；2. School of Management, Inner Mongolia University, Hohhot 010021，China)

It is proved that,firstly, the input possibility set spanned by samples (DMUs in terms of DEA) can be divided into areas of increasing return to scale (IRS), constant return to scale (CRS) and decreasing return to scale (DRS); secondly, C-D production function is quasi-concave, and non-concave on the area of IRS. The concept of IRS frontier of a production possibility set is proposed. Based on the division of input possibility set and the position of the production function surface, BCC frontier and the IRS frontier, a method to estimate production function is proposed. According to the method, production function is divided into a non-concave segments on area of IRS and a concave segment on area of non-IRS, and the estimation is processed in following steps. First, dividing the input possibility set into IRS area and non-IRS area; second, forming IRS frontier on IRS area and BCC frontier on non-IRS area, respectively; third, estimating parameters of each segment with corresponding frontier by a linear programming model, respectively. The validity of the estimation method is verified through an instance.

data envelopment analysis (DEA); production function; return to scale; weak efficiency; production frontier

2013-03-23；

2013-07-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71261017, 70961005,71262020)

董進(jìn)全(1963-)，男(漢族)，內(nèi)蒙古人，內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)管理學(xué)院，教授，博士，研究方向：最優(yōu)化及其應(yīng)用.

1003-207(2015)03-0032-10

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.03.004

F224.31

A