解析Brown模型波形參數(shù)的最小二乘估計

翟振和，李曉燕

1.西安測繪研究所，陜西 西安，710054；2.地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安，710054；3.測繪導(dǎo)航局，北京，100045

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解析Brown模型波形參數(shù)的最小二乘估計

翟振和1,2，李曉燕3

1.西安測繪研究所，陜西 西安，710054；2.地理信息工程國家重點實驗室，陜西 西安，710054；3.測繪導(dǎo)航局，北京，100045

Brown回波模型是描述傳統(tǒng)雷達(dá)高度計的基本模型，它對于獲取高精度的海面高具有重要作用。本文在解析Brown模型的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)獲得了最小二乘估計中關(guān)于五個波形參數(shù)的具體公式。在相同的仿真數(shù)據(jù)條件下，以海面高改正值為比較對象，通過與中科院空間中心的計算結(jié)果比較，表明其互差在mm級。

衛(wèi)星測高；解析Brown模型；波形重跟蹤；最小二乘估計

1 引 言

波形重跟蹤(waveformretracking)是海洋測高衛(wèi)星數(shù)據(jù)處理中的一項關(guān)鍵技術(shù)，其本質(zhì)是通過回波波形獲取高精度海面高、海浪高、風(fēng)速等地球物理參數(shù)[1]?；谖⒉ㄉ⑸淅碚摚琈oore和Williams(1957)以及Barrick(1972)闡明了對于一個粗糙的散射面，平均回波功率作為時間延遲的函數(shù)可以表示為三部分的卷積即平面脈沖響應(yīng)函數(shù)、鏡像點高程的概率密度函數(shù)以及雷達(dá)系統(tǒng)點目標(biāo)響應(yīng)。Brown(1977)在前人研究的基礎(chǔ)上構(gòu)建了平均回波功率的卷積表達(dá)式，即Brown模型。除了利用Brown模型估計回波參數(shù)外，國內(nèi)外學(xué)者還利用重心偏移重跟蹤算法即OCOG算法(OffsetCentreofGravityRetracker)、β參數(shù)法、閾值法、改進(jìn)閾值法等對T/P、ERS-1、Envisat、Geosat等測高衛(wèi)星開展了波形重跟蹤計算與分析，獲得了大量有價值的結(jié)論和研究成果[2-9]。雖然目前波形重跟蹤方法很多，但從理論上分析，基于Brown模型的波形參數(shù)估計仍是最嚴(yán)密的方法；從工程實際考慮，這種方法也是目前主流測高衛(wèi)星(如Jason-1、Jason-2)采用的方法[10]。目前，在關(guān)于Brown模型應(yīng)用的文獻(xiàn)中，都沒有給出利用Brown模型進(jìn)行波形參數(shù)估計的具體過程。為此，本文將基于簡化的解析Brown模型，給出回波波形五個參數(shù)的具體估計過程，并利用仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行檢核。

2 解析Brown模型

Brown模型的基本形式如下：

P(t)=Pfs(t)*qs(t)*Pptr(t)

(1)

式中，P(t)表示回波波形能量；t表示時間；Pfs(t)表示平坦海面的沖擊響應(yīng)；qs(t)是鏡像點的海洋面高程概率密度函數(shù)；Pptr表示雷達(dá)點目標(biāo)響應(yīng)。上式是一個卷積表達(dá)式，為了實際應(yīng)用需要進(jìn)行簡化，當(dāng)忽略海面高度傾斜參數(shù)影響后，Brown模型可得到如下簡化形式[11]：

(2)

式中，A0表示信號幅度；erf表示誤差函數(shù)；PN表示熱噪聲水平；ζ表示偏天底點角。式中τ、d分別表示如下：

(3)

(4)

式中，γa表示天線波束寬度參數(shù)；c表示光速；h表示衛(wèi)星相對于參考橢球高度；R表示地球半徑；σ表示上升時間。式(2)中包含了描述回波波形基本特征的5個參數(shù)，它們分別是：

①t0：表示對應(yīng)于平均海水面的時間偏移；

②σ：表示合成上升時間，由此參數(shù)可獲得有效波高；

③A0：信號幅度，由此參數(shù)可獲得后向散射系數(shù)；

④PN：表示熱噪聲水平；

⑤ζ：偏天底點角。

對于測高應(yīng)用，我們更關(guān)注海面高的確定，而根據(jù)參數(shù)t0就可獲得海面高的精密改正值ds。

ds=tp·c/2·(t0/tp-g0)

(5)

式中，tp表示雷達(dá)脈沖寬度；c表示光速；g0表示高度計正常跟蹤點所在的門數(shù)。

3 解析Brown模型參數(shù)的迭代最小二乘估計

目前，參數(shù)估計的方法主要有極大似然估計(MLE)和最小二乘估計等方法，本文采用迭代最小二乘法進(jìn)行求解五個參數(shù)，具體模型如下：

V=MAδx-L

(6)

式中，δx表示待估參數(shù)改正值；MA表示P(t)對待估參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在初始值x0時形成的矩陣；V表示殘差；L表示P(t)的觀測值即高度計回波波形。

L=PL-P(x0)

(7)

式中，PL表示觀測得到的回波波形；P(x0)表示利用待估參數(shù)初始值計算得到的回波波形。利用最小二乘原理得到待估參數(shù)改正值

(8)

式中，PW表示觀測值的權(quán)。

為了進(jìn)行參數(shù)估計，首先應(yīng)給出待估參數(shù)的初始值，初始值的選取分別如下：

(9)

(10)

式中，N表示高度計回波波形的總門數(shù)。文中，n1=n2=4。

(11)

(12)

式中，ft是利用高斯函數(shù)估計壓縮脈沖形狀的值；SWH表示有效波高，文中取值為4m。

其次，需要求出P(t)關(guān)于各參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

則各參數(shù)偏導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)如下:

(13)

(14)

(15)

(16)

式(15)、式(16)中各偏導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)如下：

(17)

(18)

(19)

(20)

式中，ζ的初值選為0，但由于當(dāng)ζ趨向于0時，其偏導(dǎo)數(shù)也趨向于0，因此，為了避免無法估計ζ的問題，實際解算中以ζ2代替ζ進(jìn)行估計。關(guān)于ζ2偏導(dǎo)數(shù)的推導(dǎo)如下：

(21)

考慮到sinζ與ζ在ζ很小時量級一致，則有：

(22)

由u和v表達(dá)式可得：

(23)

(24)

對于觀測值權(quán)Pw的確定采用兩種方式：一種是等權(quán)處理；一種是參考ERS-2衛(wèi)星的定權(quán)原則如下：

Pwi=200 i≤LEG-1

Pwi=100LEG-1

Pwi=50LEG+2

(25)

式中，LEG表示波形前緣位置，N表示波形門數(shù)。

4 波形參數(shù)最小二乘估計的仿真試驗

為了驗證本文推導(dǎo)公式的準(zhǔn)確性，采用另一單位中科院空間中心的仿真試驗進(jìn)行比對(采用Jason-1衛(wèi)星簡化的Brown模型)。仿真數(shù)據(jù)生成的條件是：4m有效波高，回波幅度平均2.5，姿態(tài)角為0，128門值，正常跟蹤點33，軌道高度960km，天線波束寬度1.2°，點目標(biāo)相應(yīng)采用高斯函數(shù)，波形頻率是20Hz。仿真的高度計回波波形如圖1所示。

圖1 仿真波形數(shù)據(jù)

為了便于比對，選取海面高改正值(t0)作為比較對象，兩個單位的波形重跟蹤結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2 中科院空間中心重跟蹤結(jié)果

圖3 基于本文算法的波形重跟蹤結(jié)果

實際計算中，迭代的次數(shù)一般不超過5次就能收斂，且等權(quán)處理與按式(24)加權(quán)處理的結(jié)果基本一致，圖3所示為不加權(quán)的結(jié)果。兩個單位計算結(jié)果的統(tǒng)計情況見表1。

表1 仿真數(shù)據(jù)波形重跟蹤結(jié)果統(tǒng)計

最小值(m)最大值(m)平均值(m)標(biāo)準(zhǔn)差(m)波形數(shù)量(個)本文結(jié)果-0．260．280．0080．0721000中科院空間中心-0．240．270．0070．0741000兩者互差-0．050．060．0010．0031000

通過圖2、圖3及表1可以看出，本文計算結(jié)果與中科院空間中心計算結(jié)果非常一致，差異在mm級，這也驗證了本文對基于Brown模型的參數(shù)估計的公式推導(dǎo)是可信和準(zhǔn)確的。

5 結(jié) 語

為了實現(xiàn)利用Brown模型進(jìn)行波形重跟蹤，本文在解析Brown模型基礎(chǔ)上，推導(dǎo)獲得了最小二乘估計中關(guān)于五個波形參數(shù)的具體公式，以海面高改正值為比較對象進(jìn)行了仿真試驗比對。統(tǒng)計結(jié)果表明，最小二乘估計迭代的次數(shù)一般不超過5次就能收斂，等權(quán)與不等權(quán)的結(jié)果基本一致，本文結(jié)果與中科院空間中心的計算結(jié)果的互差在mm級，從而驗證了文中公式的準(zhǔn)確性。為了進(jìn)一步驗證本文所推導(dǎo)的公式，需要結(jié)合實測波形數(shù)據(jù)進(jìn)行更全面的比對。

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Least Square Estimation of Waveform Parameters of Analytical Brown Model

Zhai Zhenhe1,2,Li Xiaoyan3

1.Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping, Xi’an 710054, China 2.State Key Laboratory of Geo-information Engineering, Xi’an 710054, China 3.Agency of Surveying,Mapping & Navigation,Beijing 100045, China

The Brown waveform model is the basic one that describes the traditional radar altimeter, which is critical to obtain high accuracy sea surface height. Based on the analytic Brown model, the paper derives partial derivatives for five waveform parameters. Using the same simulation data, the paper compares the sea level height correction value to the results from Space Centre of Chinese Academy of Sciences, and it shows that the differences are in the order of millimeters.

satellite altimetry; analytical Brown model; waveform retracking; least square estimation

2014-12-30。

高分專項青年創(chuàng)新基金資助項目(GFZX04060103-7-14)。

翟振和(1980—)，男，助理研究員，主要從事物理大地測量研究。

P228

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