信號(hào)降噪中小波基與閾值的選取研究

□ 羅 淼 □ 姚運(yùn)萍

蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院 蘭州 730050

在信號(hào)的生成與傳輸過(guò)程中，經(jīng)常由于受到噪聲的影響使得質(zhì)量變差，因此有針對(duì)性地從測(cè)量數(shù)據(jù)中獲得有效信息，對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪是許多分析過(guò)程的重要一步[1]。傳統(tǒng)的降噪是將被噪聲干擾的信號(hào)通過(guò)濾波器將無(wú)用噪聲成分去除，但對(duì)脈沖信號(hào)、白噪聲、非平穩(wěn)過(guò)程信號(hào)等，具有一定的局限性。近些年來(lái)，由于小波理論的不斷發(fā)展，使其在信號(hào)降噪方面有獨(dú)特的優(yōu)越性，因而被廣泛應(yīng)用。小波分析的一般過(guò)程是先把信號(hào)分解為小波系數(shù)，然后對(duì)分解出來(lái)的系數(shù)根據(jù)問(wèn)題的要求做一些處理，再用小波重建方法恢復(fù)信號(hào)[2]。

1 小波降噪方法

1981年，法國(guó)地理物理學(xué)家Morlet在分析地質(zhì)探測(cè)數(shù)據(jù)時(shí)，基于群論首先提出了小波分析這一概念，隨后他和法國(guó)物理學(xué)家Grossmann開(kāi)始一起共同研究小波理論，發(fā)展了連續(xù)小波變換的理論體系。1985年，法國(guó)數(shù)學(xué)家Meyer、物理學(xué)家Grossmann及比利時(shí)數(shù)學(xué)家Daubechies等共同研究，得到了一組離散小波基。1988年，Daubechies提出了具有緊支集的正交基，即Daubechies基。美國(guó)研究者Weaver等最早將小波變換用于圖像降噪[3]，Weaver等所用的算法是一種簡(jiǎn)單的閾值降噪法。所謂閾值濾波就是把小波系數(shù)的幅值同一個(gè)閾值進(jìn)行比較，若小波系數(shù)的幅值比這個(gè)閾值小，則把小波系數(shù)置為0；若小波系數(shù)的幅值比這個(gè)閾值大，則把小波系數(shù)保留或進(jìn)行修改后保留。隨后美國(guó)數(shù)學(xué)家Donoho等對(duì)小波閾值濾波算法作了系統(tǒng)闡述，成為小波濾波方法的一個(gè)具有里程碑意義的研究成果。

1.1 小波變換原理

小波函數(shù)是由一個(gè)小波“母函數(shù)”經(jīng)過(guò)伸縮和平移而得到的一簇函數(shù)。若φ（t）為小波母函數(shù)，則由其派生出來(lái)的小波函數(shù)為：

式中：a是伸縮的尺度；b是平移的距離。

并非任何函數(shù)都可以成為小波母函數(shù)，小波母函數(shù)必須滿足一定的條件。令：

則 φ（t）為小波母函數(shù)的必要條件為 Cφ＜+∞，Cφ＜+∞又叫作可容許（admissible）條件。可容許條件說(shuō)明ω=0 時(shí)，一定為 0，即：

這說(shuō)明函數(shù)φ（t）必須要有一定的波動(dòng)性。函數(shù)f（t）的連續(xù)小波變換可表示為：

可以看出，小波變換是一種可以保持信息內(nèi)容的可逆變換，信息保存于小波變換系數(shù)中，經(jīng)過(guò)反變換后即可恢復(fù)。

在實(shí)際應(yīng)用中，需要將小波離散化才有意義[4]。離散小波就是將連續(xù)小波的尺度參數(shù)和平移參數(shù)離散化，若令 a＞1，b＞0，則定義離散小波為：

小波變換是對(duì)Fourier變換的繼承和發(fā)展，使變換結(jié)果既有一定的頻率分辨率，又有一定的時(shí)間分辨率。小波變換的一個(gè)重要特性是其具有“變焦”的特性，對(duì)非平穩(wěn)信號(hào)具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，因此很適合對(duì)信號(hào)進(jìn)行降噪處理。

1.2 降噪基本原理

假設(shè)信號(hào) f（n）被噪聲污染后為 s（n），則可以建立噪聲模型：

式中：e（n）為噪聲；σ 為噪聲強(qiáng)度。

在簡(jiǎn)單情況下可假設(shè)e（n）為高斯白噪聲，且σ=1。利用小波變換去噪就是要通過(guò)抑制噪聲e（n），從而盡可能恢復(fù)原信號(hào) f（n）。

從統(tǒng)計(jì)學(xué)的觀點(diǎn)看，這個(gè)模型是一個(gè)隨時(shí)間推移的回歸模型，也可以看作是在正交基上對(duì)函數(shù)f（n）的無(wú)參估計(jì)[5]。

小波去噪的整個(gè)過(guò)程可以分以下三步進(jìn)行。

第一步，利用離散小波變換（DWT）進(jìn)行信號(hào)分解，選擇適當(dāng)?shù)男〔ɑ约胺纸鈱訑?shù)。

第二步，確定小波域的閾值，對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值截?cái)唷?/p>

第三步，利用截?cái)嗪蟮南禂?shù)進(jìn)行小波重構(gòu)。

1.3 閾值的處理

小波閾值是根據(jù)噪聲模型和原信號(hào)的信噪比來(lái)確定的，在模型中，這個(gè)量由標(biāo)準(zhǔn)方差σn來(lái)表示。在得到夾雜白噪聲的信號(hào)后，可以由噪聲強(qiáng)度σ來(lái)確定閾值。最常用的確定方法為Donoho提出的統(tǒng)一閾值，閾值Thr的選擇滿足：

式中：N為信號(hào)的長(zhǎng)度。

這種方法在實(shí)際應(yīng)用中效果不是很好，比較常用的閾值選取方法有以下幾種[6]。

（1）基于無(wú)偏似然估計(jì)的軟閾值估計(jì)（Rigrsure），最佳閾值通過(guò)選擇風(fēng)險(xiǎn)最小的閾值達(dá)到。

（2） 長(zhǎng)度對(duì)數(shù)閾值 （Sqtwolog）， 其閾值等于

（3）啟發(fā)式閾值（Heursure），這種方法是長(zhǎng)度對(duì)數(shù)閾值和軟閾值估計(jì)的綜合，利用啟發(fā)函數(shù)在上述兩種閾值估計(jì)方法中選取一個(gè)。

（4）最小極大方差閾值（Minimaxi），這種方法利用求得的回歸函數(shù)與原信號(hào)的方差在最壞的情況時(shí)的最小值得到閾值，使選取的閾值產(chǎn)生最小均方誤差的極值。

筆者所用的閾值選擇方法先是利用Birge-Massart算法求得小波變換閾值，再根據(jù)合適的閾值確定閾值選取范圍，最終取得最優(yōu)閾值。Birge-Massart是針對(duì)給定的分解層數(shù)j，保留j+1以及更高層的系數(shù)，然后對(duì)第 i層（1≤i≤j），保留絕對(duì)值最大的 ni個(gè)系數(shù)：

式中：M和α是經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，在缺省情況下為第一層分解后的系數(shù)長(zhǎng)度，在降噪時(shí)α=3。

選擇閾值函數(shù)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閾值處理，即對(duì)其系數(shù)進(jìn)行截?cái)?。常用的閾值函?shù)主要有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)[7]，如圖1、圖2所示，圖中橫坐標(biāo)表示信號(hào)的原始小波系數(shù)，縱坐標(biāo)表示閾值化后的小波系數(shù)，T為估計(jì)閾值。

硬閾值函數(shù)：

軟閾值函數(shù)：

▲圖1 硬閾值函數(shù)

▲圖2 軟閾值函數(shù)

硬閾值方法可以較好地保留信號(hào)邊緣等局部特征，但濾波后信號(hào)容易突變，產(chǎn)生較大的振蕩（稱為吉布斯現(xiàn)象）[3]；軟閾值處理后信號(hào)較為平滑，但易造成模糊等失真現(xiàn)象。

2 小波降噪的MATLAB仿真

測(cè)試信號(hào)采用Doppler信號(hào)。小波基的一般選取原則有正交性、緊支性、對(duì)稱性、平滑性、消失矩陣階數(shù)，由于一般小波基的選擇是根據(jù)與原信號(hào)相似原理，所分析的信號(hào)和所選小波基需存在一定的相似性。sym小波的構(gòu)造類似于db小波族，兩者的差別在于sym小波有更好的對(duì)稱性[8]。故對(duì)Doppler信號(hào)進(jìn)行降噪處理，采用 symN小波基。 初選 symN（N=1，2，…，15）為預(yù)選小波基系列，給Doppler信號(hào)加入高斯白噪聲SNR為16 dB。

對(duì)于降噪效果的評(píng)估，采用最小化平均平方誤差MSE（Mean Squared Error）及信噪比 SNR（Signal to Noise Ratio）來(lái)進(jìn)行評(píng)價(jià)：

式中：xi為原圖像第i個(gè)像素；為降噪后圖像的第i個(gè)像素。

對(duì)加有噪聲的Doppler信號(hào)按照硬閾值函數(shù)，分解層數(shù)初選為四層進(jìn)行降噪處理。信號(hào)的信噪比越高，最小化平均平方誤差越小，則表明降噪效果越好。

各小波基對(duì)信號(hào)降噪后的效果見(jiàn)表1，從表中可以看出，不同的小波基降噪效果不同，對(duì)于測(cè)試信號(hào)而言，sym10、sym13、sym15降噪效果較好。 對(duì)于不同的信號(hào)，小波基的選取決定降噪的好壞。經(jīng)過(guò)多次仿真發(fā)現(xiàn)，sym10小波基對(duì)于Doppler信號(hào)的降噪效果較好，最終選取sym10小波基作為降噪過(guò)程采用的小波基。使用Birge-Massart算法獲取小波變換的最佳閾值在0.57左右，為確定最優(yōu)閾值，可將閾值搜索區(qū)間定為0.55至0.65，各閾值去噪效果對(duì)比如圖3所示。最終經(jīng)過(guò)多次仿真，確定最優(yōu)閾值為0.6。確定小波基和閾值后，進(jìn)一步確定最優(yōu)分解層數(shù)。實(shí)驗(yàn)取分解層數(shù)為1～10層，不同分解層數(shù)的降噪效果見(jiàn)表2。

從表2的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看出，分解層數(shù)小于4時(shí)，降噪后的信號(hào)有明顯的突變、尖峰情況。分解層數(shù)為3時(shí)的降噪效果如圖4所示。當(dāng)層數(shù)逐漸增加，效果逐漸平滑。分解層數(shù)為5、6、7層時(shí)，降噪效果較好，信號(hào)比較平滑，最后經(jīng)過(guò)綜合評(píng)定，選定最終的分解層數(shù)為6層。降噪后的信號(hào)如圖5所示，采用上文提出的4種閾值選取規(guī)則對(duì)原信號(hào)進(jìn)行降噪處理，各種方法得到降噪效果見(jiàn)表3。

表1 各小波基對(duì)Doppler信號(hào)降噪后的效果評(píng)價(jià)

▲圖3 不同閾值的去噪效果曲線圖

表2 不同分解層數(shù)的降噪效果

表3 不同閾值選取規(guī)則的降噪效果

從表3中可以看出，筆者所采用的小波基及閾值選取方法的降噪效果優(yōu)于其它方法。

3 結(jié)論

通過(guò)分析可知，根據(jù)相似性原理，對(duì)Doppler信號(hào)的降噪處理采用sym小波基，其中小波的分解層數(shù)對(duì)信號(hào)的去噪影響較為顯著，分解層數(shù)較小時(shí)，經(jīng)過(guò)降噪處理的信號(hào)有突變和尖峰現(xiàn)象，隨著分解層數(shù)的增加，信號(hào)逐漸趨于平滑，得到較好的降噪效果。

對(duì)于小波基的選擇是一項(xiàng)艱難而又復(fù)雜的工作，筆者僅通過(guò)對(duì)Doppler信號(hào)降噪過(guò)程的小波基與閾值選取做了有限的分析，對(duì)于實(shí)際復(fù)雜信號(hào)降噪中的小波基與閾值選取需根據(jù)不同情況進(jìn)行。

▲圖4 分解層數(shù)為3時(shí)的降噪效果

▲圖5 分解層數(shù)為6時(shí)的降噪效果

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