卵形齒輪的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)研究

□ 史 諾 □ 劉 瓊 □ 馮東旭 □ 陶興旺

1.楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院機(jī)電工程分院 陜西楊凌 712100 2.楊凌職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息工程分院 陜西楊凌 712100 3.陜西科技大學(xué) 食品與生物工程學(xué)院 西安 710021

非圓齒輪機(jī)構(gòu)是用來傳遞非勻速比運(yùn)動(dòng)的，將其應(yīng)用于各類機(jī)械中，可以獲得減輕沖擊與振動(dòng)、提高生產(chǎn)效率、減小工位誤差等良好效果，但是非圓齒輪設(shè)計(jì)復(fù)雜、制造困難，直到近年來隨著CAD/CAM技術(shù)的迅速發(fā)展，非圓齒輪才進(jìn)入了實(shí)用化時(shí)期。在目前的技術(shù)條件下，進(jìn)行精確建模是非圓齒輪制造中最關(guān)鍵的一步。陳兆榮[1]利用UG平臺(tái)，以一實(shí)例闡述了卵形齒輪的三維模型創(chuàng)建過程；苑鵬[2]采用CAXA軟件，實(shí)現(xiàn)了卵形齒輪的三維造型。這些研究都是針對(duì)特定數(shù)據(jù)進(jìn)行的，當(dāng)數(shù)據(jù)改變時(shí)，又得重復(fù)整個(gè)設(shè)計(jì)流程。為了實(shí)現(xiàn)變異設(shè)計(jì)與系列化設(shè)計(jì)，筆者選取卵形齒輪這一常見非圓齒輪為研究對(duì)象，利用Pro/E軟件進(jìn)行參數(shù)化建模，并將模型導(dǎo)入ADAMS軟件中，進(jìn)行嚙合狀態(tài)與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析，對(duì)模型的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 卵形齒輪的設(shè)計(jì)計(jì)算

卵形齒輪傳動(dòng)是一對(duì)完全相同的節(jié)曲線繞各自的中心作純滾動(dòng)，如圖1所示。

卵形齒輪的節(jié)曲線方程為：

傳動(dòng)比函數(shù)為：

卵形齒輪節(jié)曲線周長(zhǎng)為：

式中：e為偏心率；a為長(zhǎng)軸半徑；φ為轉(zhuǎn)角。

輪齒在節(jié)曲線上均勻分布，故模數(shù)m、齒數(shù)z與節(jié)曲線周長(zhǎng)必須滿足關(guān)系式：

一般情況下，首先根據(jù)實(shí)際工況確定卵形齒輪的傳動(dòng)比曲線方程，根據(jù)方程可得到節(jié)曲線的偏心率e，為了使卵形齒輪不出現(xiàn)凹形，偏心率的取值范圍為e≤1/3[3]。然后根據(jù)設(shè)計(jì)需求選取齒輪的模數(shù)m和齒數(shù)z，模數(shù)m應(yīng)根據(jù)機(jī)構(gòu)尺寸和強(qiáng)度條件，參照相似的圓柱齒輪模數(shù)選取，齒數(shù)z一般為4x+2，x為任意整數(shù)，這樣才能夠保證長(zhǎng)軸兩端的輪齒與短軸兩端的齒槽嚙合。偏心率e、模數(shù)m、齒數(shù)z確定之后，可代入式（3）中解出節(jié)曲線的長(zhǎng)軸半徑a，從而確定了卵形齒輪的主要特征。

2 卵形齒輪模型的建立

2.1 驅(qū)動(dòng)參數(shù)的設(shè)置

▲圖1 卵形齒輪傳動(dòng)示意圖

除了上述偏心率e、模數(shù)m、齒數(shù)z、長(zhǎng)軸半徑a 4個(gè)參數(shù)之外，每個(gè)輪齒還需要確定齒頂高因子ha、頂隙因子c、壓力角α，為了滿足卵形齒輪具有互換性，在制造過程中一般采取標(biāo)準(zhǔn)插齒刀或滾刀切制輪坯，所以齒頂高因子ha為1、頂隙因子c為0.25、壓力角α為20°，利用這7個(gè)參數(shù)來驅(qū)動(dòng)并實(shí)現(xiàn)卵形齒輪的各個(gè)幾何特征。

2.2 齒廓的確定

2.2.1 齒廓的設(shè)計(jì)方法

卵形齒輪節(jié)曲線各點(diǎn)處的曲率半徑不同，因此每個(gè)輪齒的齒形各不相同，單就一個(gè)齒形而言，左齒廓與右齒廓也不相同，因此采用解析方程計(jì)算齒廓的工作量很大，在工程中不易推廣。為了避免繁瑣復(fù)雜的計(jì)算，采用齒形折算法是求出卵形齒輪齒廓的有效方法，雖然應(yīng)用此種方法得出的齒廓曲線沒有解析法精確，但其精度足以滿足絕大部分實(shí)際工況的使用需求。齒形折算法的原理如圖2所示，若a點(diǎn)是卵形齒輪某輪齒在節(jié)曲線上的中點(diǎn)，該點(diǎn)的曲率半徑為 Ra，則該輪齒近似為分度圓與卵形齒輪節(jié)曲線相切于a點(diǎn)、半徑為Ra的圓柱齒輪的輪齒，同理，對(duì)于b點(diǎn)，該輪齒近似為分度圓半徑為Rb的圓柱齒輪的輪齒[4]。

▲圖2 齒形折算法原理示意圖

2.2.2 齒廓曲線的生成

一個(gè)完整的齒形包括6條曲線，即齒頂曲線、齒根曲線、左右兩條齒廓線以及兩條齒根過渡曲線。首先需要確定的是節(jié)曲線，因?yàn)辇X頂曲線和齒根曲線只需要將節(jié)曲線在法向上向上偏移一個(gè)齒頂高、向下偏移一個(gè)齒根高就可實(shí)現(xiàn)，通過Pro/E軟件中的“來自方程的曲線”功能，輸入方程就可得到精確的節(jié)曲線。對(duì)于齒頂高因子ha為1的齒輪，齒根過渡曲線的半徑為0.38m，只需要在齒根圓及左右齒廓線之間進(jìn)行倒角就能方便地得出。生成齒形的關(guān)鍵及難點(diǎn)是確定左右兩條齒廓線。

齒廓線需要以輪齒在節(jié)曲線上的中心作為參照進(jìn)行定位，各輪齒的左右齒廓線將節(jié)曲線分為4z等份，所以可通過定義比率的方式確定中心。例如圖3所示PNT1點(diǎn)，以節(jié)曲線為對(duì)象，定義比例為1.5/z就可得到，這個(gè)點(diǎn)是第一個(gè)輪齒在節(jié)曲線的中心。PNT1點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲率半徑可以通過卵形齒輪的節(jié)曲線方程推出，其值為：

應(yīng)用齒形折算法時(shí)，這個(gè)值可直接通過作圖法得出，首先以PNT1點(diǎn)及節(jié)曲線為參照，創(chuàng)建穿過PNT1點(diǎn)且位于節(jié)曲線法向的基準(zhǔn)面DTM1，然后以FRONT面與TOP面為參照，創(chuàng)建同時(shí)穿過兩參照對(duì)象的基準(zhǔn)軸 A-1，DTM1與 A-1相交于 PNT2點(diǎn)，PNT2點(diǎn)即為PNT1點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的曲率中心，兩點(diǎn)之間的距離R1即為曲率半徑，同時(shí)是此輪齒所對(duì)應(yīng)的圓柱齒輪的分度圓半徑。

得出圓柱齒輪的分度圓半徑后，再利用漸開線方程生成曲線，但此曲線并不是右齒廓曲線，必須繞PNT2點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度由漸開線的性質(zhì)推導(dǎo)出，其值為[5]：

右齒廓曲線形成后，以DTM1面作為參照進(jìn)行鏡像，可得到左齒廓曲線。所有曲線繪制完后的效果如圖4所示，刪去多余線段后可得到第一個(gè)輪齒的完整齒形。其余各齒的齒形可按上述步驟逐一繪制，由于卵形齒輪完全對(duì)稱，所以繪制完成四分之一的輪齒齒形之后，進(jìn)行兩次鏡像操作即可得到完整的卵形齒輪的輪廓。輪廓經(jīng)過拉伸操作，就可得到卵形齒輪的實(shí)體模型。

2.3 齒輪實(shí)體的生成

打開菜單欄中的工具-參數(shù)對(duì)話框，如圖5所示，對(duì)各參數(shù)的數(shù)值進(jìn)行修改，修改完畢后進(jìn)行再生就可得到所需的卵形齒輪模型。例如，輸入e=0.2 mm、m=3 mm、z=18、a=26.486 16 mm，得到的卵形齒輪模型如圖6 （a） 所示； 輸入 e=0.3 mm、m=3 mm、z=22、a=31.662 582 mm，得到的卵形齒輪模型如圖6（b）所示。

▲圖3 齒廓曲線的生成

▲圖5 參數(shù)對(duì)話框

3 實(shí)例驗(yàn)證

卵形齒輪的模型是否正確，可通過測(cè)試卵形齒輪副在運(yùn)動(dòng)中的嚙合狀態(tài)和所反應(yīng)出的運(yùn)動(dòng)特性來進(jìn)行驗(yàn)證。以圖6（a）所示的卵形齒輪為例，在Pro/E中進(jìn)行卵形齒輪副的裝配，導(dǎo)入ADAMS中進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。首先通過定義材料屬性賦予模型質(zhì)量，然后定義主動(dòng)齒輪及從動(dòng)齒輪與大地之間的連接為旋轉(zhuǎn)副，用于約束齒輪與大地之間的3個(gè)平動(dòng)自由度和2個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度，由于ADAMS中齒輪副只具有定傳動(dòng)比，所以對(duì)于卵形齒輪的仿真不能采用，只有通過定義兩齒輪之間的接觸力才能保證嚙合傳動(dòng)。最后在主動(dòng)輪上施加30 r/s的驅(qū)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)仿真的模型如圖7所示。

設(shè)置仿真時(shí)間為0.2 s，運(yùn)算步數(shù)為1 000步，在仿真過程中，可清楚地觀察到輪齒逐一嚙合，符合共軛齒輪嚙合定律。求解結(jié)束之后，查看仿真結(jié)果，主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的角速度如圖8所示。主動(dòng)輪的角速度保持恒定，從動(dòng)輪的角速度呈明顯的周期性變化，但角速度曲線有一定的波動(dòng)，這主要是由于接觸力造成在傳動(dòng)過程中的振動(dòng)以及卵形齒輪的變速特性形成的振動(dòng)脈沖兩個(gè)因素共同作用下形成的[6-7]。從動(dòng)輪的角速度曲線通過擬合可以得到和理論計(jì)算完全一致的角速度曲線，證明了建立的卵形齒輪模型是正確的。

4 結(jié)束語

（1）利用Pro/E軟件平臺(tái)進(jìn)行了卵形齒輪的參數(shù)化建模，同時(shí)利用ADAMS軟件進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)仿真，對(duì)模型的正確性進(jìn)行了實(shí)例驗(yàn)證，仿真結(jié)果較好地反應(yīng)了齒輪的運(yùn)動(dòng)特性，證明了參數(shù)化建模方法是正確的。

（2）筆者采用的方法對(duì)于節(jié)曲線為橢圓、對(duì)數(shù)螺旋線、阿基米德螺旋線等形式的非圓齒輪同樣適用，從而為各類非圓齒輪機(jī)構(gòu)的合理設(shè)計(jì)提供了解決的方法。

[1]陳兆榮.基于UG平臺(tái)的卵形齒輪的三維建模與運(yùn)動(dòng)仿真[J].現(xiàn)代機(jī)械，2012（5） ：53-55.

[2]苑鵬，黃志東.卵形齒輪計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與三維造型研究[J].遼寧科技學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，14（1）：42-44.

[3]吳旭堂，王貴海.非圓齒輪及非勻速比傳動(dòng)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

[4]朱墨.非圓齒輪參數(shù)化設(shè)計(jì)及自動(dòng)編程系統(tǒng)開發(fā)[D].蘭州：蘭州理工大學(xué)，2013.

▲圖6 卵形齒輪三維模型

▲圖7 運(yùn)動(dòng)仿真模型

▲圖8 角速度曲線

[5]郭利.基于Pro/E的齒輪漸開線鏡像問題新研究[J].機(jī)械工程師，2010（12）：66-67.

[6]張布，趙鳳芹，于文翠，等.新型高速分插機(jī)構(gòu)橢圓齒輪傳動(dòng)的仿真分析[J].農(nóng)機(jī)化研究，2008（6）：21-23.

[7]楊存.非圓齒輪運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)研究 [D].蘭州：蘭州理工大學(xué)，2014.