地震壓力波的格子玻爾茲曼模擬★

崔亞平 劉鎮(zhèn)瑋

(吉林建筑大學土木工程學院，吉林 長春 130021)

·結(jié)構(gòu)·抗震·

地震壓力波的格子玻爾茲曼模擬★

崔亞平 劉鎮(zhèn)瑋

(吉林建筑大學土木工程學院，吉林 長春 130021)

應用LB方法對地震波作了初步研究，通過Taylor公式展開和Chapman-Enskog分析技術(shù)得到了模型的系列方程，并選擇了適當?shù)钠胶鈶B(tài)分布函數(shù)，構(gòu)造了用于地震壓力波的LB模型，同時結(jié)合實例，驗證了所構(gòu)造模型的有效性，最后給出了用LB模型模擬的地震壓力波。

格子Boltzmann模型，地震壓力波，數(shù)值模擬

0 引言

LB方法[1-5]是由格子氣自動機(Lattice Gas Automata，LGA)發(fā)展起來的。LGA是元胞自動機(Cellular Automata，CA)的一種具體化形式，是一個空間、時間和速度完全離散，某些物理量只取有限個數(shù)值的理想化數(shù)學模型。在CA模型中，粒子按照一定的規(guī)則在格子上進行碰撞和遷移。

LB方法基于非平衡統(tǒng)計物理學的基本方程——Boltzmann方程，可以看作是連續(xù)Boltzmann方程的特殊離散化形式[6]，對于復雜流體系統(tǒng)中的一些多尺度(不同Kn數(shù))行為具有物理描述上的自適應性，因而是一種多尺度方法；一方面LB的離散速度模型對分子運動細節(jié)做了平均化處理，另一方面LB是聯(lián)系宏觀層次和介觀層次的橋梁和紐帶，因而是一種介觀方法；從離散的網(wǎng)格來說，LB具有Euler方法的屬性，從離散的粒子觀點來說，它又具有Langrange方法的屬性，因而是一種混合方法；該方法實現(xiàn)了用本來就不連續(xù)的模型去描述連續(xù)的客觀對象并進行直接計算的設想。

1 地震壓力波的LB模型構(gòu)建

1.1 格子BGK模型

含有源項的格子LBGK方程為:

通過對fα(x+eαε,t+ε)進行Taylor展開，對fα進行Chapman-Enskog展開，可以得到關(guān)于ε的系列方程。由待定系法可得關(guān)于εi的系列等式：

(a)

(b)

1.2 地震壓力波LB方程建立

其中，φ為位移；Cs為波速。

在地震壓力波的控制方程為:

其中，ρ為密度；p為壓力；v=(u1,u2)為速度。

2 地震壓力波方程的恢復

定義宏觀壓力p：

(1)

(2)

將平衡態(tài)分布函數(shù)feq的一階矩和二階矩記為：

對式(a)兩邊乘以mα并對α求和，結(jié)合式(1)，式(2)得到：

對式(b)兩邊乘以mα，eαi并對于α求和，結(jié)合式(1)，式(2)得到：

即可得到t0時間尺度上的壓力波方程：

用(a)+(b)×ε并對α進行兩邊求和，得：

即：

(3)

用(a)+(b)×ε，乘以eαi，再對α進行兩邊求和，得:

即:

(4)

對式(3)兩邊對t求偏導，式(4)兩邊對x求偏導，再依次相減，得到：

1)若考慮D1Q3離散速度模型，如圖1所示，其粒子速度eα={0,c,-c}，α=0,1,2。

平衡分布函數(shù)可以為：

其中，A0，A2，D0均為參量。

3 一維模型數(shù)值模擬

考慮波動方程:

初值條件:

4 二維模型數(shù)值模擬

給出在均質(zhì)介質(zhì)中壓力波傳播的結(jié)果，選擇格子尺寸為100×100，Δx=Δy=0.01，c=3.0，τ=0.5，ρ=0.1，λ=0.01。

初始條件為：u(x,y,0)=0.0，v(x,y,0)=0.0,

圖4顯示了T=200Δt，T=500Δt時壓力波傳播的圖案。

5 結(jié)語

構(gòu)造格子Boltzmann模型來研究地震壓力波，通過了Taylor公式展開和Chapman-Enskog分析技術(shù)得到了模型的系列方程；通過選擇適當?shù)钠胶鈶B(tài)分布函數(shù)，我們構(gòu)造了用于地震壓力波的LB模型。此外，我們通過一些例子驗證了所構(gòu)造模型的有效性，表明LB模擬得到的結(jié)果與精確解析吻合較好，最后給出了用LB模型模擬的地震壓力波。

[1] SUCCI S. The lattice Boltzmann equation for fluid dynamics and beyond[M].New York: Oxford University Press，2001.

[2] XU A, GONNELLA G, LAMURA A. Simulations of complex fluids by mixed lattice Boltzmann finite difference methods[J]. Physica A, 2004,331(1-2):10-22.

[3] 許愛國,張廣財,李 華,等.材料動力學的介觀模擬[D].北京:北京應用物理與計算數(shù)學研究所,2011.

[4] 郭照立,鄭楚光.格子Boltzmann方法的原理與應用[M].北京:科學出版社,2008.

[5] 何雅玲,王 勇,李 慶.格子Boltzmann方法理論與應用[M].北京:科學出版社,2008.

[6] HE X, LUO L. Theory of the lattice Boltzmann method: from the Boltzmann equation to the lattice Boltzmann equation[J]. Phys. Rev. E,1997(56):6811-6817.

The Lattice Boltzmann simulation of seismic pressure wave★

Cui Yaping Liu Zhenwei

(CivilEngineeringCollege,JilinJianzhuUniversity,Changchun130021,China)

This paper makes preliminary study application of LB method of seismic wave. Obtaining the series of the model equation through Taylor formula and Chapman-Enskog analysis, selecting the proper equilibrium distribution function to construct the LB models for seismic stress wave. Verifying the effectiveness of the model through some examples. Finally, presenting the seismic stress wave which is stimulated by the LB model.

Lattice Boltzmann model, seismic pressure wave, numerical simulation

1009-6825(2015)30-0038-03

2015-08-19★：吉林省科技發(fā)展計劃項目(項目編號：20140203008SF)

崔亞平(1969- )，女，副教授

TU352.1

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