擬合法和平差法在點(diǎn)云中建立物體曲面的比較

段存宏

(中國人民解放軍 61175部隊(duì)，山東 淄博 255000)

擬合法和平差法在點(diǎn)云中建立物體曲面的比較

段存宏

(中國人民解放軍 61175部隊(duì)，山東 淄博 255000)

使用3D激光掃描儀的目的是獲取物體的表面形狀.現(xiàn)在大多使用擬合的方法對點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行處理來建立曲面.以約束球?yàn)槔龑σ宰钚《藶闇?zhǔn)則的擬合法和平差法進(jìn)行了討論，擬合法雖然有一定的優(yōu)點(diǎn)，但同時也存在不能對數(shù)據(jù)進(jìn)行精度評定的不足，而平差法正好彌補(bǔ)了這一缺陷.除此之外，平差法還可求出參數(shù)的點(diǎn)位中誤差，進(jìn)而可畫出誤差橢球，豐富了點(diǎn)云數(shù)據(jù)的處理過程，使點(diǎn)云數(shù)據(jù)的處理結(jié)果趨于形象化，為點(diǎn)云處理提供了新的思路.

擬合法；平差法；物體曲面；點(diǎn)云處理

高速3D激光掃描儀和擁有持續(xù)掃描探測坐標(biāo)的測量儀正在更多的應(yīng)用到采集物體表面點(diǎn)數(shù)據(jù)的實(shí)踐中.由于這些點(diǎn)數(shù)據(jù)具有很高的密度，所以通常被稱作點(diǎn)云[1].利用空間三維點(diǎn)云數(shù)據(jù)建立曲面有許多可行的算法，這些算法包括Hoppe的水平集算法[2]，Bernardini的球旋轉(zhuǎn)算法，Amenta的外殼算法[3]等.在測量中一般使用曲面擬合法，對點(diǎn)云數(shù)據(jù)自由參數(shù)的曲面擬合是計算機(jī)輔助設(shè)計和計算機(jī)制圖中遇到的基本問題[4].

一般的曲線和曲面的擬合方法的目的是通過點(diǎn)云得到一個近似的物體表面形狀[5]，沒有進(jìn)行結(jié)果的精度評定.在測量中，對測量結(jié)果進(jìn)行精度評定是重要的一步，它可以直觀的表現(xiàn)出測量結(jié)果的好壞以及是否達(dá)到工程要求.通過基于多因素決定的最小二乘準(zhǔn)則，通常能得到關(guān)于結(jié)果精度和準(zhǔn)確性的可靠信息[6].以最小二乘為準(zhǔn)則的擬合法能夠把誤差的影響降到最小，但這種方法存在著許多不足之處.擬合法采用的是多項(xiàng)式，如果待求參數(shù)存在非獨(dú)立項(xiàng)，則參數(shù)之間只有滿足相應(yīng)的關(guān)系才能得到預(yù)期的擬合面，而擬合沒有對相關(guān)項(xiàng)的約束；觀測值是帶有誤差的，擬合沒有考慮觀測值誤差的影響.平差法是依據(jù)最小二乘準(zhǔn)則，由一系列帶有觀測誤差的測量數(shù)據(jù)來求定未知量的最佳估值及精度.本研究以約束球?yàn)槔龑M合法與附有參數(shù)的條件平差法進(jìn)行了比較，得到了比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論.文中把半徑已知的球稱為約束球，半徑未知的球稱為自由球.

1 球面擬合原理

根據(jù)文獻(xiàn)[8]，用X={Xi,i=1,…,m}表示一系列形成目標(biāo)曲面的數(shù)據(jù)點(diǎn)，用S(u,v,P)表示B樣條曲面，其中P={P0,…,Pn}為曲面S(u,v,P)的控制點(diǎn)，u,v為曲面S(u,v,P)的參數(shù).擬合的準(zhǔn)則為

(1)

式中d(S,Xi)是Xi到S(u,v)的垂直距離，d(S,Xi)=‖Xi-S(ui,vi)‖，fs是P的一個二次函數(shù).

(u,v,w)為球心坐標(biāo)，r為球的半徑，k點(diǎn)應(yīng)滿足方程：

(2)

展開式(2)，兩邊同除-(u2+v2+w2-r2)，并用A,B,C,D表示系數(shù)得到

(3)

由A,B,C,D計算u,v,w,r公式為

(4)

根據(jù)上述擬合原理用EEXLT程序(平臺為IDL語言)對點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到約束球未知參數(shù)u,v,w,r的值.

2 約束球的三個位置特征參數(shù)確定

在掃描點(diǎn)的過程中，只能得到物體表面的點(diǎn)的數(shù)據(jù).在將規(guī)則物體作為標(biāo)靶時，往往需要確定該物體的其他參數(shù).因此，把該參數(shù)作為未知參數(shù)參與平差過程，這就是在測量工作中經(jīng)常用到的附有未知參數(shù)的條件平差.

平差的數(shù)學(xué)模型為

(5)

依據(jù)最小二乘準(zhǔn)則min= VTV最終可得

(6)

(7)

(8)

(9)

式中

(10)

(11)

(12)

對于n(n>4)個點(diǎn)組成方程

(13)

系數(shù)陣A的形式為

其中?表示1×3的0矩陣，球心坐標(biāo)和點(diǎn)云三維坐標(biāo)的改正數(shù)可由公式(6)、(7)得到，所以約束球的三個位置特征參數(shù)得到確定.

球心坐標(biāo)的點(diǎn)位中誤差公式為

(14)

式中Quu、Qvv、Qww可由

根據(jù)Cardan解法可以求出誤差橢球的三個特征值，進(jìn)而可以求出主軸向量畫出誤差橢球來形象表示圓心坐標(biāo)在各個方向上的誤差.

3 實(shí)驗(yàn)分析

3.1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

本實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是由3D激光掃描儀得到的四組球面測量數(shù)據(jù)，在進(jìn)行本實(shí)驗(yàn)前須先對掃描數(shù)據(jù)進(jìn)行剔除粗差很大的噪聲點(diǎn)的預(yù)處理工作.

3.2 參數(shù)結(jié)果對比及分析

通過用EEXLT程序(平臺為IDL語言)對數(shù)據(jù)分別進(jìn)行處理,完成約束球的擬合與平差過程，得到的參數(shù)差值(平差參數(shù)值-擬合參數(shù)值)見表1.

表1 3D激光掃描數(shù)據(jù)差值表 m

從數(shù)據(jù)差值表中可以看出擬合得到的約束球的四參數(shù)與平差得到的相差不大.原因是在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)前對數(shù)據(jù)進(jìn)行了大量的預(yù)處理工作，除去了誤差大的點(diǎn)，使用的是數(shù)據(jù)誤差都比較小.

3.3 平差法進(jìn)行精度評定

使用擬合法無法對參數(shù)結(jié)果進(jìn)行精度評定，而平差法可以.使用平差法時可用中誤差σ做為評定精度指標(biāo)，但前提是數(shù)據(jù)只存在偶然誤差，而在實(shí)際測量過程中還存在著系統(tǒng)誤差和粗差，所以需要驗(yàn)證該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否大致符合偶然誤差的四個性質(zhì).將點(diǎn)在geomegic軟件中打開，并且導(dǎo)入擬合球面數(shù)據(jù)將其封裝得到圖1～4.

圖1 3D激光掃描數(shù)據(jù)1

圖2 3D激光掃描數(shù)據(jù)2

圖3 3D激光掃描數(shù)據(jù)3

圖4 3D激光掃描數(shù)據(jù)4

由圖可證實(shí)偶然誤差的兩個性質(zhì)：在一定觀測條件下，誤差的絕對值有一定的限制；絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的概率大.對于性質(zhì)3(絕對值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等)和性質(zhì)4(偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為0)可由表2(n1為擬合球面上的點(diǎn)，n2為擬合球面下的點(diǎn)數(shù)，N為總點(diǎn)數(shù))看出，所以用中誤差σ可以較好的地表示計算精度.

表2 3D激光掃描數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)表

點(diǎn)云數(shù)據(jù)n1n2Nn1Nn2NE(Δ)數(shù)據(jù)1126862120．594339620．405660380．001815數(shù)據(jù)23935459380．418976550．58102345-0．00122數(shù)據(jù)32681524200．638095240．36190476-0．00073數(shù)據(jù)458721300．446153850．55384615-0．00637

使用擬合法和平差法都可對數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，處理結(jié)果由表1可以看出相差不大，但平差法可以對結(jié)果數(shù)據(jù)進(jìn)行精度評定.可計算出球心坐標(biāo)的點(diǎn)位中誤差.

表3 參數(shù)的點(diǎn)位中誤差

點(diǎn)云數(shù)據(jù)點(diǎn)位中誤差點(diǎn)云數(shù)據(jù)點(diǎn)位中誤差數(shù)據(jù)10．0000075數(shù)據(jù)30．00000147數(shù)據(jù)20．00000132數(shù)據(jù)40．00000242

引用Cardan解法可以得到結(jié)果數(shù)據(jù)的誤差橢球，可以看出圓心坐標(biāo)在各個方向上的誤差，為了形象展示立體效果，用geomagic封裝，如圖5～8所示.

圖5 數(shù)據(jù)1處理結(jié)果的誤差橢球

圖6 數(shù)據(jù)2處理結(jié)果的誤差橢球

圖7 數(shù)據(jù)3處理結(jié)果的誤差橢球

圖8 數(shù)據(jù)4處理結(jié)果的誤差橢球

4 結(jié)論

通過理論分析與實(shí)驗(yàn)證明可得到以下結(jié)論：

1) 在測量數(shù)據(jù)存在較小系統(tǒng)誤差的情況下，通過擬合方法得到的結(jié)果與平差得到的相當(dāng)；在測量數(shù)據(jù)存在較大系統(tǒng)誤差的情況下，擬合法得到的結(jié)果比平差法得到的要精確一些.

2) 平差方法具有擬合法所不具備的一些特征.由平差法可求出參數(shù)的點(diǎn)位中誤差，進(jìn)而可畫出誤差橢球，豐富了點(diǎn)云數(shù)據(jù)的處理過程，使點(diǎn)云數(shù)據(jù)的處理結(jié)果趨于形象化.

3) 在實(shí)際的測量過程中系統(tǒng)誤差不可避免的會出現(xiàn)，這對使用平差法有一定的影響，所以在使用平差法前要對數(shù)據(jù)進(jìn)行更加精確的預(yù)處理.

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(編輯：劉寶江)

The comparison research of fitting and the compensation oferrors in setting the object surface in the point cloud

DUAN Cun-hong

(61175 Troops,The Chinese People′s Liberation Army，Zibo 255000,China)

The purpose of using a 3D laser scanner is to obtain the shape of the object surface. Now the fitting method is mostly used to process point cloud data to create the surface. In this study, we took the restraint ball as an example, and developed the scientific and deeply discussion on fitting method and the compensation of errors, based on the rule of the least squares. Although there are certain advantages of the fitting method, it can’t give the accuracy judgement of the data at the same time. However, the compensation of errors make up the disadvantage. Besides, the second method can also make out the point error of the parameters, then draw out the error ellipsoid. It enriches the process of point cloud data, make the processing result of point cloud data tend to be visualized, and provides a new way of thinking for point cloud processing.

fitting; the compensation of errors; the object surface; point cloud processing

2015-01-30

段存宏, 男, 275503036@qq.com

1672-6197(2015)06-0039-04

P

A