淺談參數(shù)方程的解題思維突破

曾勇斌

【摘 要】 由于參數(shù)方程的解題思維障礙產(chǎn)生的原因不盡相同，作為主體的學(xué)生的思維習(xí)慣、方法也都有所區(qū)別，所以，參數(shù)方程的解題思維障礙的表現(xiàn)各異，因此，解決參數(shù)方程的解題思維障礙對(duì)于增強(qiáng)參數(shù)方程的解題思維教學(xué)的針對(duì)性和實(shí)效性有極為重要的意義。

【關(guān)鍵詞】參數(shù)方程;解題;思維突破

參數(shù)方程這一章節(jié)與高中數(shù)學(xué)的其他章節(jié)知識(shí)比較，來(lái)得更加的抽象，理解的難度更深，且又是高考核心考點(diǎn)內(nèi)容，注重培養(yǎng)學(xué)生的解題思維顯得極為迫切。而解題思維貫穿于學(xué)生在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)，并且運(yùn)用轉(zhuǎn)化、分析、綜合、歸納、演繹等思維方法，理解并掌握數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容而且能對(duì)具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行推論與判斷，從而獲得對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和規(guī)律的認(rèn)知、梳理的能力。在教學(xué)實(shí)踐中，如果讓學(xué)生對(duì)參數(shù)方程的基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)、基本定理公式進(jìn)一步地加深理解，并且通過(guò)解題→糾錯(cuò)→反思的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題是很效的。

由于參數(shù)方程的解題思維障礙產(chǎn)生的原因不盡相同，作為主體的學(xué)生的思維習(xí)慣、方法也都有所區(qū)別，所以，參數(shù)方程的解題思維障礙的表現(xiàn)各異，我們應(yīng)該積極尋求解題方法突破，具體做法：

一、抵制思維浮于表面，提高解題意識(shí)

例如：我在讓學(xué)生作下面這一道題：

若P（，）為橢圓x=2cosφy=sinφ（φ為參數(shù)）上一點(diǎn)，求OP的傾斜角。

（學(xué)生對(duì)知識(shí)認(rèn)知的膚淺，容易把橢圓上的點(diǎn)的離心角的概念理解錯(cuò)誤，將離心角與OP的傾斜角混為同一個(gè)角。）

錯(cuò)解：將x=，y=代入橢圓的參數(shù)方程得

解得cosφ，sin=?∴OP的傾斜為45o。

正解：設(shè)OP的傾斜角為θ ?則

∵點(diǎn)P（，）在第一象限

∴θ=30o 即OP的傾斜角為30o

二、抓住思維基礎(chǔ)構(gòu)筑，提高解題信心

如：

按下列要求將方程+=1化為參數(shù)方程

1）設(shè)x=3 cosφ，φ為參數(shù);

2）設(shè)y=2t，t為參數(shù);

錯(cuò)解：1）把x=3 cosφ代入方程■+■=1

得y2=4（1-cos2φ）-4sin2φ ?即：y=±2sinφ

∴所求的參數(shù)方程為x=3cosφy=±2sinφ（φ為參數(shù)）

2）把y=2t代入■+■=1得：■+t2=1于是

x2=9（1-t2）得：x=±3■則

所求的參數(shù)方程是：

正解： 在第一小題中學(xué)生沒(méi)有足夠認(rèn)識(shí)到φ的任意性，可取y=2sinφ

∴所求的參數(shù)方程為x=3cosφy=2sinφ（φ為參數(shù)）

（而第二小題學(xué)生沒(méi)有充分的信心，反而受第1小題的影響，想當(dāng)然的沒(méi)有把參數(shù)方程分開列解。）

2）應(yīng)得解題結(jié)果為：

和

三、屏棄思維畏難情緒，探索解決問(wèn)題的方法

如：已知曲線C的參數(shù)方程為x=2t2-1 ①y=2t+4 ②（t為參數(shù)）判斷點(diǎn)M（7，0），N（1，6），P（2，-2）與曲線的位置關(guān)系。

（學(xué)生在引入?yún)?shù)t的意識(shí)形態(tài)中無(wú)法理解這道題，更不用說(shuō)著手解題。 ）

正確解法：由參數(shù)方程的概念可知要判斷是否在曲線上，只要看點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足參數(shù)方程即可，即把M、N、P點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)方程中就能看出M、N在曲線上，P點(diǎn)不在曲線上。即：把M（7，0）代入曲線C的參數(shù)方程為x=2t2-1 ①y=2t+4 ②得t=-2

可見M在曲線，同理可得N也在曲線上。而P（2，-2）不能夠使得①②獲得t的同一解，所以P不在曲線上。

四、促發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率

例：雙曲線的參數(shù)方程及應(yīng)用中，求點(diǎn)P（0，1）到雙曲線x2-y2=4的最小距離。

若用普通方程求解比較麻煩，且學(xué)生也不易理解，從而引導(dǎo)學(xué)生將雙曲線上任意一點(diǎn)設(shè)成參數(shù)的形式，轉(zhuǎn)化成三角公式計(jì)算：

設(shè)計(jì)如下：

1） 設(shè)出參數(shù)：設(shè)雙曲線x2-y2=4上任一點(diǎn)坐標(biāo)為

2）再求兩點(diǎn)間距離轉(zhuǎn)化成三角公式計(jì)算：

3）再求

4）再求出題目要求的結(jié)果：

所以當(dāng)tanφ取得時(shí)，得到最小值

即：點(diǎn)P（0，1）到雙曲線x2-y2=4的最小距離為

上述設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，每做完一題，適時(shí)指出解決這類問(wèn)題的要點(diǎn)，大大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高了課堂效率。

（作者單位：福建省龍海市浮宮中學(xué)）