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    函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法

    2015-04-15 02:39鐘志波
    文理導(dǎo)航 2015年5期
    關(guān)鍵詞:函數(shù)

    鐘志波

    【摘 要】函數(shù)的一致連續(xù)性是函數(shù)最重要的分析性質(zhì)之一,它與函數(shù)的連續(xù)性既有區(qū)別又有聯(lián)系,本文從教材出發(fā),在已有的研究成果上結(jié)合例子,對(duì)不同區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法加以總結(jié)并作一定的推廣。本文對(duì)函數(shù)一致連續(xù)性的判別提供一個(gè)系統(tǒng)、完整的總結(jié),具有一定的參考價(jià)值。

    【關(guān)鍵詞】函數(shù);連續(xù);一致連續(xù);有界;收斂

    1.引言

    1.1函數(shù)的一致連續(xù)的定義及其否定敘述

    定義1.1設(shè)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對(duì)任給的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得對(duì)任何x′,x″∈I只要|x′-x″|<δ,就有|f(x′)-f(x″)|<ε,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)。

    1.2函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性和一致連續(xù)性的區(qū)別與聯(lián)系

    連續(xù)是逐點(diǎn)考察的性質(zhì),一致連續(xù)是函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)。也就是說(shuō),從極限的角度考察連續(xù),發(fā)現(xiàn)整個(gè)函數(shù)可以用同樣的方式來(lái)趨近,稱為“一致連續(xù)”。下面給出函數(shù)連續(xù)性的定義:

    定義1.2設(shè)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù),若對(duì)任給的ε>0,存在δ>0,使得對(duì)任何x,x0∈I且|x-x0|<δ時(shí),有|f(x)-f(x0)|<ε,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù).

    比較函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)性和一致連續(xù)性定義可知:前者的δ不僅與ε有關(guān),而且還與點(diǎn)x0有關(guān),即對(duì)于不同的x0,一般來(lái)說(shuō)δ是不同的,這表明只要函數(shù)在區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)的話,則函數(shù)在區(qū)間上連續(xù);后者的δ僅與ε有關(guān),與x無(wú)關(guān),即對(duì)不同的x,δ是相同的,這表明函數(shù)在區(qū)間的一致連續(xù)性,不僅要求函數(shù)在這區(qū)間的每一點(diǎn)連續(xù),而且要求函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)是“一致”的。

    在區(qū)間I一致連續(xù)的函數(shù)在這區(qū)間一定連續(xù),事實(shí)上,由一致連續(xù)性的定義將x1固定,令x2變化,即知函數(shù)f(x)在x1連續(xù),又x1是I的任意一點(diǎn),從而函數(shù)f(x)在I連續(xù)。但在區(qū)間I連續(xù)的函數(shù)在這區(qū)間上不一定一致連續(xù),如f(x)= 在區(qū)間(0,1)連續(xù)但不一致連續(xù)。

    總之,函數(shù)連續(xù)性反映了函數(shù)局部的性質(zhì),而函數(shù)的一致連續(xù)性則反映函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的整體性質(zhì),二者之間既有區(qū)別又有聯(lián)系。

    1.3相關(guān)的定理:

    定理1(一致連續(xù)性定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)在[a,b]上一致連續(xù)。

    定理2函數(shù)f(x)在(a,b)上一致連續(xù)的充分必要條件是f(x)在(a,b)上連續(xù)且 f(x)與 f(x)都存在。

    定理3函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)且 f(x)和 f(x)都存在,則f(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù)。

    定理4函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上連續(xù),g(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù), |f(x)-g(x)|=0, |f(x)-g(x)|=0,則f(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù)。

    2.不同類型區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法

    在許多教材中,函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性和一致連續(xù)性關(guān)系的敘述主要是一致連續(xù)性定理,即有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必定一致連續(xù).但是當(dāng)我們考慮的區(qū)間不是有界閉區(qū)間,而是開(kāi)區(qū)間或者是無(wú)界區(qū)間時(shí),區(qū)間連續(xù)性就不一定能轉(zhuǎn)變?yōu)閰^(qū)間的一致連續(xù)性,這種轉(zhuǎn)變需要一定的條件。這里主要探討這種轉(zhuǎn)變條件,從而更加深刻地理解在不同類型的區(qū)間上連續(xù)性和一致連續(xù)性的關(guān)系,同時(shí)也按不同類型區(qū)間總結(jié)判斷函數(shù)一致連續(xù)性的一些方法。

    2.1閉區(qū)間的情形

    一般判別方法:在區(qū)間內(nèi)取兩點(diǎn),將其函數(shù)值作差,并取其絕對(duì)值,即可根據(jù)以下原則判斷,若存在任給的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得滿足|x1-x2|<δ的x1,x2,均可得出|f(x1)-f(x2)|<ε,即f(x)在該閉區(qū)間一致連續(xù),反之則不一致連續(xù)。

    例1 證明f(x)= (-1≤x≤1)的一致連續(xù)性

    證明:|f(x1)-f(x2)|=| - |= |(x1-x2)|

    由于| |< = <1,

    故對(duì)于任給的ε>0,

    取δ=ε,則

    對(duì)滿足|x1-x2|<δ的x1,x2(x1,x2屬于[-1,1]值,均有|f(x1)-

    f(x2)|<ε

    因而f(x)在區(qū)間[-1,1]上一致連續(xù)。

    推論1設(shè)f(x)是[a,b]上的增函數(shù),其值域?yàn)閇f(a),f(b)],則f(x)在[a,b]上一致連續(xù)

    2.2有限非閉區(qū)間的情形

    一般判別方法:把函數(shù)與其一階導(dǎo)數(shù)作差并取其絕對(duì)值,然后即可根據(jù)以下原則判斷,若存在任給的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得當(dāng)n> 時(shí),總有|xn-x′n|<δ,且|f(x)-f(x′n)|>ε,即f(x)在該區(qū)間上一致連續(xù),反之則不一致連續(xù)。

    例2 證明f(x)=excos 在(0,1)上非一致連續(xù).

    證明:取ε=1令xn=

    x′n= ?(n為正整數(shù))

    則xn及x′n均屬于(0,1),對(duì)任意給定的δ>0,

    當(dāng)n> 時(shí),

    總有|xn-x′n|= < <δ

    但是|f(x)-f(x′n)|=e cos(nπ+ )-e cosnπ=e >1=ε0

    因此,f(x)=excos 在(0,1)上非一致連續(xù)。

    推論2函數(shù)f(x)在(a,b)上連續(xù)有界,則f(x)在(a,b)上一致連續(xù)。

    推論3函數(shù)f(x)定義在有限區(qū)間(a,b)上,若對(duì)(a,b)上的任意收斂數(shù)列{xn}, f(xn)都存在,則f(x)在(a,b)上一致連續(xù)。

    2.3無(wú)窮區(qū)間的情形

    一般判別方法:取一簡(jiǎn)單函數(shù)g(x)使其滿足在區(qū)間上一致連續(xù),然后則只需要根據(jù)定義,證明g(x)在區(qū)間上一致連續(xù)即可。

    例3證明f(x)=xln(e+ )在[1,+∞)上一致連續(xù)。

    證明:取g(x)=x+ ,則g(x)在[1,+∞)上一致連續(xù),

    因?yàn)?|f(x)-g(x)|=0,

    由定理4可知 f(x)=xln(e+ )在[1,+∞)上一致連續(xù)。

    這證法雖在尋求g(x)上有一定的困難,但大大避免了用定義證明的繁瑣。

    推論4函數(shù)f(x)在(a,+∞)上一致連續(xù)的充分條件是f(x)在(a,+∞)上連續(xù), f(x)和 f(x)都存在。

    推論5函數(shù)f(x)在(-∞,b)上一致連續(xù)的充分條件是f(x)在(-∞,b)上連續(xù),且 f(x)和 f(x)都存在。

    注1:上述無(wú)限區(qū)間1中的定理及推論中 f(x)的存在是非必要的,如f(x)=ax+b(a≠0)在(-∞,+∞)上 f(x)不存在,但f(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù)。

    2.4組合區(qū)間的情形

    一般判別方法:由于f(x)在兩個(gè)分區(qū)間上都一致連續(xù),即在兩個(gè)區(qū)間上分別都滿足一致連續(xù)的定義,則不妨求出δ(ε)的最小值,可知當(dāng)x1,x2∈(-∞,+∞),|x1-x2|<δ(ε)時(shí),x1與x2必同時(shí)屬于兩個(gè)分區(qū)間中的其中一個(gè),即f(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù)。

    例4已知f(x)=arctgx在區(qū)間(-∞,1][0,+∞)上一致連續(xù),判斷其是否在(-∞,+∞)上一致連續(xù)。

    解:已知f(x)=arctgx在區(qū)間(-∞,1][0,+∞)上均一致連續(xù)

    于是,對(duì)于所給的ε>0,存在δ1(ε)>0,

    當(dāng)x1,x2∈(-∞,1],|x1-x2|<δ1(ε)時(shí),恒有|f(x1)-f(x2)|<ε成立,

    又存在δ2(ε)>0,當(dāng)x1,x2∈(0,+∞),|x1-x2|<δ2(ε)時(shí),恒有|f(x1)-f(x2)|<ε成立,

    今取δ(ε)=min{1,δ1(ε),δ2(ε)}則當(dāng)x1,x2∈(-∞,+∞),|x1-x2|<δ(ε)時(shí),x1與x2必或同時(shí)屬于(-∞,1],或同時(shí)屬于[0,+∞),故恒有|f(x1)-f(x2)|<ε成立,

    即f(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù)。

    2.5任意區(qū)間的情形

    一般判別方法:把函數(shù)一階導(dǎo)和二階導(dǎo)作差并取其絕對(duì)值,若對(duì)任給的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得對(duì)任何x′,x″∈I,只要|x′-x″|<δ,就有|f(x′)-f(x″)|<ε,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù)。

    例5 證明:無(wú)界函數(shù)f(x)=x+sinx在全軸-∞<x<+∞是一致連續(xù)的。

    證明:因?yàn)閨f(x′)-f(x″)|=|(x′-x″)+(sinx′-sinx″)|≤|x′-x″|+|sinx′-sinx″|≤2|x′-x″|

    對(duì)于任給的ε>0,

    取δ= >0,則當(dāng)x′,x″∈(-∞,+∞),且|x′-x″|<δ時(shí),

    恒有|f(x′)-f(x″)|<ε

    故f(x)在(-∞,+∞)上一致連續(xù)。

    推論6函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間I上可導(dǎo),|f′(x)|≥|g′(x)|>0,若f(x)在區(qū)間I上一致連續(xù),則g(x)在I上一致連續(xù);若g(x)在區(qū)間I上非一致連續(xù),則f(x)在I上也非一致連續(xù)。

    注3:推論6的f′(x)有界對(duì)于不同的區(qū)間是非必要的,如函數(shù)f(x)=xx在區(qū)間(0,1)上一致連續(xù),但f′(x)=exlnx(lnx+1)→-∞(x→0+).若區(qū)間為無(wú)限區(qū)間,則f′(x)有界則是必要的.例如f(x)=sinx2在(-∞,+∞)上不一致連續(xù).因?yàn)閒′(x)=2xcosx2在(-∞,+∞)上無(wú)界,故f(x)=sinx2在(-∞,+∞)上不一致連續(xù)。

    3.結(jié)束語(yǔ)

    本文章從課本出發(fā),在前人的成果上,按不同的區(qū)間對(duì)判別函數(shù)一致連續(xù)性的方法進(jìn)行分類,并舉出相應(yīng)的例子以及作了一定的推廣,對(duì)于判別函數(shù)一致連續(xù)性的方法給出了系統(tǒng)、完整的總結(jié),具有一定的參考價(jià)值。

    【參考文獻(xiàn)】

    [1]張建建.函數(shù)一致連續(xù)性的幾個(gè)證明方法[J].和田師范科學(xué)學(xué)校報(bào)(漢文綜合版).2005,25(1)

    [2]楊中南.函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的一致連續(xù)性[J].集美大學(xué)學(xué)報(bào).1997,2(1):70-75

    [3]陳惠汝,何春羚.再探函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的一致連續(xù)性[J].春學(xué)院學(xué)報(bào).2006,(2):45-46

    (作者單位:廣東創(chuàng)新科技職業(yè)學(xué)院)

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