伴隨矩陣的若干性質(zhì)及其在解題中的應(yīng)用①

張麗麗

(隴東學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 慶陽(yáng)745000)

0 引 言

伴隨矩陣在矩陣運(yùn)算中起著非常重要的作用，它是由方陣A 唯一確定的，因此伴隨矩陣A*與原矩陣A 必定存在著一定的聯(lián)系，在高等代數(shù)中我們已經(jīng)詳細(xì)的學(xué)習(xí)了矩陣的性質(zhì)，這些性質(zhì)能否平行的運(yùn)用到伴隨矩陣中來(lái)，伴隨矩陣是否還有它自身的一些性質(zhì)，下面將逐一進(jìn)行探討.

1 伴隨矩陣的定義

2 伴隨矩陣的性質(zhì)

定理［2］n 階矩陣A 可逆的充要條件是A 非退化，即，且

推論［3］AA*=A*A=|A|E，E 為n 階單位矩陣.

性質(zhì)1 設(shè)A 為n 階矩陣，則有

證明: 若r(A)=n 時(shí)，矩陣A 可逆，由定理得r(A－1)=r(A)=n，即有r(A*)=n;

若r(A)=n－1 時(shí)，也就是A 中有n－1 階非零子式，A*中有非零元素，從而r(A*)≥1.由定理得|A|=0，即AA*=| A| E =0.故r(A)+r(A*)≤n，再由r(A)=n－1 得r(A*)≤1，因此r(A*)=1.

若r(A)＜n－1 時(shí)，則A 中所有n－1 階子式全為0，即A*為零矩陣，故r(A*)=0.

性質(zhì)2 設(shè)A 為n 階矩陣，則|A*|=|A|n－1.

證明: 當(dāng)A 可逆時(shí)，因?yàn)锳*=|A|A－1，故|A*|=|A|A|－1|=|A|n|A|－1=|A|n－1.當(dāng)A 不可逆時(shí)，|A|=0，故|A*|=0，可得|A*|=|A|n－1.

性質(zhì)3 A*可逆當(dāng)且僅當(dāng)A 可逆，若A 可逆，則(A*)－1=(A－1)*.

證明:(A*)－1=(| A| A－1)－1=| A| A，(A－1)*=| A| (A－1)－1=| A|－1A，故(A*)－1=(A－1)*.

性質(zhì)4 (A*)T=(AT)*

證明:(AT)*=|AT|(AT)－1=|A|(A－1)T=(|A|A－1)T=(A*)T

性質(zhì)5 設(shè)k 為常數(shù)，(kA)*=kn－1A*.

證明:(kA)*=| kA| (kA)－1=kn| A|·k－1A－1=kn－1A*

性質(zhì)6 (AB)*=B*A*.

2)|A|=0，|B|=0 時(shí)，令A(yù)(x)=xE+A，B(z)=xE+B，只要x 充分大，A(x)與B(x)都可逆，所以(A(x)B(x))*=(B(x))*(A(x))*.式中的元素都是關(guān)于x 的多項(xiàng)式，由于x 充分大時(shí)對(duì)應(yīng)元素相等，所以對(duì)應(yīng)元素是相等的多項(xiàng)式，即上式對(duì)任意x 都成立.取x =0 時(shí)，得(AB)*=B*A*.

性質(zhì)7 若A 是可逆矩陣，λ 是其特征值，α 是A 的屬于λ 的特征向量，那么A*的特征值為λ－1|A|，α 是A*的屬于特征值λ－1|A|的特征向量.

證明: 因A 可逆，故λ ≠0，由Aα=λα，左乘A*得，A*Aα=λA*α，故A*α=λ－1|A|Eα=λ－1|A|α.

性質(zhì)8 若A 是正定的，則A*也是正定的.

證明: 因A 正定，故存在可逆矩陣P，使PTAP=E，則有(PTAP)*=E*，即P*A*(PT)*=E，故A*也是正定的.

3 性質(zhì)在解題中的應(yīng)用

例1 設(shè)A 為4 階方陣，且A 的伴隨矩陣的行列式|A*|=8，求|A－1+A*|

解: 由性質(zhì)2 得，|A|3=|A*|=8，故|A|=2 再結(jié)合定理得.

其中f 為多項(xiàng)式f(x)=2x2+x－1.由于相似矩陣有相同的特征值，故B 的全部特征值為，所以B－1的全部特征值為2，2，3.因此，f(B－1)的全部特征值為f(2)=9，f(2)=9，f(3)=20.

所以，所求行列式的值為D=f(B－1)=9×9×20=1620.

例3 設(shè)n 階方陣A 是可逆的，那么A*可表示為A 的多項(xiàng)式.

解:A 的特征多項(xiàng)式為f(λ)=λn+an－1λn－1+…+a1λ+a0.因A 可逆，所以a0=(－1)n|A|0，由哈密爾頓－凱萊定理知f(A)=0，即An+an－1An－1+…+a1A+a0E=0 故

右乘A*，得

故

［1］ 張禾瑞，郝丙新.高等代數(shù)［M］.北京:高等教育出版社，1986.

［2］ 吳天毅，王文杰，邱玉文.線性代數(shù)［M］.天津:南開大學(xué)出版社.2007.

［3］ 錢吉林.高等代數(shù)題解精粹［M］.北京:中央名族大學(xué)出版社.2002.