一種有灰色初值函數的泛函微分方程數據預測①

劉雅靜

(華東理工大學商學院，上海200237)

0 引 言

經濟指標的準確預測是國家對宏觀經濟正確調控的必要前提，對掌控經濟運行態(tài)勢、為正確的經濟決策提供依據都十分重要.但經濟預測又是困難的，實際的經濟數據往往變化多端，并且經濟系統(tǒng)是非常復雜的系統(tǒng)［1］.其中廣泛存在著非線性時變性和不確定作用關系，各種宏觀經濟模型大部分都是線性模型，線性模型在發(fā)揮巨大作用的同時也存在缺陷，即很難把握宏觀經濟系統(tǒng)中的非線性現象，這必然導致結果上的誤差加大［2］.經濟學界的工作者們因此對各種線性模型做了大量改進工作，但結果往往并不理想，迫使人們尋求一些非線性工具進行宏觀經濟建模［3］，因而經濟預測方法非常多.即便如此，往往實際的經濟數據仍難以簡單地以某單一方法來預測.另外，很多經濟數據之間的聯系不能很好地體現出來，需要深入到數據的內部去尋找.而這需要對數據做理論推算處理，這也是困難的工作.

灰色系統(tǒng)理論是研究解決灰色系統(tǒng)分析、建模、預測、決策和控制的理論.灰色預測模型具有所需樣本數據少，運算簡便等特點［4］.自從灰色理論創(chuàng)立以來，在許多領域都有著比較廣泛的應用［5～8］.本文將以一個經濟預測實例作為例子，根據這個實際例子的特點，提出的一個較好的預測方法.該方法引入中立型泛函微分方程，將泛函微分方程與灰色GM(1，1)模型結合來進行預測.并通過差商計算，從理論上推算出使用泛函微分方程與灰色GM(1，1)模型結合進行預測的理論依據.

1 預備知識

(1)灰色GM(1，1)模型的概念

對時間序列{x(0)(t)}(t=1，2，…，N)，做其1階累加序列N).對累加序列{x(1)(t)}建立GM(1，1)模型:可得指數曲線:x(1)(t)=將預測序列}還原為原序列{x(0)(t)}即得預測曲線.

(2)中立型泛函微分方程的概念

給出具有如下形式的方程:

(1)式中，ri≥0(i=1，2，…，m)，si＞0(i=1，2，…，n).D 為Rn中的一個開集，

稱方程(1)為中立型泛函微分方程.

2 泛函微分方程預測

某市要根據該市近年來的第三產業(yè)產值數據對該市第三產業(yè)發(fā)展情況進行預測，首先需要根據實際產值數據建立合理的預測系統(tǒng)模型.該市多年的第三產業(yè)產值數據見表1，表1 中的序號表示年份.

表1 第三產業(yè)逐年產值表

由表1 可知，該市第三產業(yè)產值數據發(fā)展變化的大致曲線為:從序號1 到序號7 處為平滑曲線，產值數據單調上升;在序號7 和序號8 之間產值數據有一突變，之后產值數據又平穩(wěn)地單調上升.

對實際的第三產業(yè)產值數據做差商.從序號1到序號7 數據的差商Δx(t+1)/Δx(t)的期望值為1.06，而從序號8 到序號10 的數據的差商也近似等于1.06，而序號7 到序號8 的數據的差商有一突變，為1.852.由于有

所以序號1 到序號7 的產值數據可用灰色GM(1，1)模型擬合.

經計算，擬合曲線為

用公式(2)算出的擬合值列入表1 中.

由于從序號7 到序號8 的差商有一突變，因此不能對序號8 到序號10 的第三產業(yè)產值數據一并利用公式(2)進行擬合，需要找出序號8 到序號10的產值數據與序號1 到序號7 的產值數據之間的內在聯系.經計算，有關系

又因序號8 到序號10 的數據差商約為常數1.06，而序號1 到序號7 的數據差商的期望值也約為1.06，所以序號8 到序號10 的數據與序號1 到序號7 的數據之間應有如下泛函微分方程關系

于是，可用公式(2)作為方程(3)的初始函數.解方程(3)，得

公式(4)即為得到的預測系統(tǒng)模型.

利用公式(4)對序號11 到序號14 的第三產業(yè)產值進行預測.預測結果列入表2 中.

表2 預測結果表

11 259.41 259.89 0.48 12 292.41 293.75 1.34 13 327.18 323.56 3.62 14 362.39 361.39 1.00

表2 中，將序號10 以后4 年的實際第三產業(yè)產值數據也填入表2 中，經和利用公式(4)得出的預測值比較，誤差很小，說明預測系統(tǒng)模型合理，預測結果有效.

3 結 語

本文提出了一種以灰色模型擬合曲線為初值函數，以中立型泛函微分方程的解為預測函數的預測方法.該方法需以對數據的理論證明為根據，因而這一方法有良好的預測效果.對實例的預測結果、擬合精度也說明了這一預測方法效果良好，有實用價值.

［1］ 鄧聚龍.灰色預測與決策［M］.武漢:華中理工大學出版社，1986.

［2］ 劉思峰，黨耀國，方志耕，等.灰色系統(tǒng)理論及其應用［M］.北京:科學出版社，2010.

［3］ 石為人，馮治恒.基于灰色理論與BP 算法的宏觀經濟預測模型研究［J］.計算機與數字工程，2007，35(1):8－10.

［4］ DENG J L.Introduction to Grey System Theory［J］.Journal of Grey System，1989，1(01):1－24.

［5］ 吳天魁，王波，顧基發(fā).基于最小二乘法的改進GM(1，1)模型在上海市社會總撫養(yǎng)比預測中的應用［J］.系統(tǒng)科學與數學，2015，35(1):75－84.

［6］ 張彬，西桂權.基于背景值和邊值修正的GM(1，1)模型優(yōu)化［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2013，33(3):682－688.

［7］ 趙愛文，李東.中國碳排放灰色預測［J］.數學的實踐與認識，2012，42(4):61－70.

［8］ 吳天魁，王波，周曉輝，等.火災損失預測的改進GM(1，1)模型［J］.數學理論與應用，2014，34(1):58－70.