補(bǔ) 形
——求解三棱錐外接球半徑的一條重要途徑

崔 磊

（江蘇省平潮高級(jí)中學(xué)）

在立體幾何的學(xué)習(xí)中，經(jīng)常遇到求解三棱錐外接球體半徑的問題，此類問題往往球心的位置難以找到。我們知道，棱錐是柱體的一部分，因此，在求三棱錐外接球體的半徑時(shí)，通過(guò)“補(bǔ)形”，將錐體還原成柱體，有時(shí)能起到柳暗花明的效果。常見的“補(bǔ)形”方法有下列幾種.

例1. 已知三棱錐P-ABC 中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA=3，PB=4，PC=5.則其外接球體的表面積為________.

思路：補(bǔ)成“長(zhǎng)方體”

解析：三棱錐P-ABC（圖1）可以補(bǔ)成長(zhǎng)方體，且它們擁有相同的外接球體（圖2），再過(guò)長(zhǎng)方體的一組對(duì)面上的對(duì)角線作軸截面得一圓的內(nèi)接矩形（圖3）.其中矩形的一邊為原長(zhǎng)方體的棱，另一邊為原長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，而該矩形的對(duì)角線則為球體的直

圖1

圖2

圖3

例2.已知一正四面體的棱長(zhǎng)為4，則其外接球體的體積為________.

思路：補(bǔ)成“正方體”

解析：由于連接正方體的六條面對(duì)角線可以形成一個(gè)正四面體，因此，可將正四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，且它們擁有相同的外接球體（圖4）.再過(guò)該正方體的一組對(duì)面上的對(duì)角線作軸截面，易得外接球體的半徑為，從而其體積為

圖4

例3.已知三棱錐P-ABC 中，底面ABC 為正三角形，邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱PA⊥底面ABC，且PA=2，則其外接球體的半徑為 .

圖5

圖6

圖7

思路一：補(bǔ)成“直三棱柱”

思路二：補(bǔ)成“圓柱”

圖8

圖9

總之，“補(bǔ)形”是求解三棱錐外接球體半徑的一條重要途徑，且通常可補(bǔ)成上述幾種模型?！把a(bǔ)形”應(yīng)遵循“擁有相同的外接球體”的原則，在此基礎(chǔ)上，還要選擇好恰當(dāng)?shù)奈恢米鞒鼋孛?，將抽象的空間問題轉(zhuǎn)化為熟悉的平面問題，關(guān)系也就簡(jiǎn)單明朗多了。