基于逐次升階的翼型參數(shù)化與氣動優(yōu)化方法研究

王 超，高正紅，*，黃江濤，2，趙 軻，李 靜，許 放

(1.西北工業(yè)大學翼型葉柵空氣動力學國防科技重點實驗室，陜西 西安710072; 2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心，四川綿陽 621000)

基于逐次升階的翼型參數(shù)化與氣動優(yōu)化方法研究

王 超1，高正紅1，*，黃江濤1，2，趙 軻1，李 靜1，許 放1

(1.西北工業(yè)大學翼型葉柵空氣動力學國防科技重點實驗室，陜西 西安710072; 2.中國空氣動力研究與發(fā)展中心，四川綿陽 621000)

研究了基本Bezier樣條曲線的特性，對比了不同階次Bezier曲線對超臨界翼型的幾何描述能力以及由幾何偏差帶來的氣動性能的偏差。利用Bezier曲線的特性提出逐次升階的翼型參數(shù)化方法，結合改進的粒子群優(yōu)化算法，建立了逐步擴展設計空間的氣動優(yōu)化設計方法，兼顧設計空間和優(yōu)化效率，很好地解決了設計質量和設計效率之間的矛盾。最后通過典型翼型的優(yōu)化設計，對比了文中方法與傳統(tǒng)Hicks-Henne型函數(shù)方法，驗證了文中方法的可行性和高效性。

參數(shù)化;Bezier曲線;逐次升階;粒子群算法;擴展設計空間

0 引 言

隨著計算機以及CFD［1-2］技術的高速發(fā)展，用數(shù)值方法進行飛行器的氣動外形優(yōu)化設計［3］已成一種趨勢。在氣動外形優(yōu)化設計中，外形的參數(shù)化是非常重要的一個環(huán)節(jié)，好的參數(shù)化方法不僅能提高優(yōu)化效率而且能得到很好的結果。在翼型參數(shù)化的過程中，主要關心設計變量的個數(shù)以及設計空間的大小，少的設計變量有助于提高優(yōu)化算法的收斂速度，充足的設計空間有助于找到可能的最優(yōu)解，但二者互相矛盾。直接使用較少的設計變量可以提高優(yōu)化搜索效率，但是可能由于設計空間小、設計幾何外形變化生硬、缺乏必要的靈活性等，導致難以獲得優(yōu)良的結果;直接使用多的設計變量雖然設計空間充足，但是由于各個設計變量隨機盲目變化，幾何外形變化的過于靈活，中間過程可能會產(chǎn)生很多畸形無用的外形，導致優(yōu)化搜索的效率大大降低，甚至難以獲得收斂的優(yōu)化設計結果。

本文以翼型設計為例，討論了不同階次Bezier樣條曲線對超臨界翼型的描述能力，然后基于該曲線發(fā)展了一套逐次升階的翼型參數(shù)化方法，結合改進的粒子群優(yōu)化算法，構建了逐步擴展設計空間的氣動優(yōu)化設計方法。該方法首先利用低階Bezier曲線參數(shù)化構建的設計空間，優(yōu)化搜索出性能較為優(yōu)秀的翼型。在此基礎上，利用曲線的升階保形特性，對曲線進行升階，傳遞設計變量，擴展更新粒子群，繼續(xù)進行優(yōu)化搜索，不斷地增加設計變量個數(shù)，不斷地擴大設計空間。由于設計變量個數(shù)由少到多，低階優(yōu)化搜索結果為高階曲線指明了“方向”，使得該優(yōu)化設計方法在提高優(yōu)化質量的同時，提高了優(yōu)化搜索的效率。

1 基于低階Bezier曲線的翼型參數(shù)化

Bezier曲線［4-5］是一種參數(shù)樣條曲線。不同于插值樣條曲線，它是一種逼近多邊形頂點的方法。Bezier曲線用參數(shù)方法表示自由曲線，具有幾何不變性，可以處理無窮大斜率和多值曲線，并易于進行坐標變換等諸多優(yōu)點。用Bernstein多項式作為基函數(shù)描述Bezier曲線的表達式為:

式中Vi(i=0，1，…，n)為特征多邊形的頂點，Bn，i(u) =(1－u)n－iui(i=0，1，…，n)為Bernstein多項式，u∈［0，1］為變化參數(shù)。頂點的個數(shù)為n+1，而且頂點的位置一旦確定，曲線的形狀就唯一確定。

由于超臨界翼型下表面通常存在拐點，所以能很好地考驗翼型參數(shù)化方法的能力。本文首先采用低階(n=5)Bernstein多項式，對RAE2822超臨界翼型采用最小二乘法進行擬合。翼型上下表面各采用5次Bezier曲線，各6個控制點(其中頭部和尾部的頂點保持不動)，設計變量為頂點的縱坐標，共8個(上下表面各4個設計變量)。

圖1顯示了五次Bernstein多項式的函數(shù)圖。由Bernstein多項式的混合性，可知:對任意給定參數(shù)u，Bezier曲線就是特征多邊形頂點Vi的加權平均，其權值因子就是Bernstein多項式的值。

圖1 五次Bernstein多項式函數(shù)圖Fig.1 Figure of fifth-order Bernstein polynomial

圖2為五次Bezier曲線擬合RAE2822翼型充分收斂［6］后的幾何外形。圖3給出了上下翼型表面的擬合誤差。該算例中使用8個設計變量的Bezier曲線，描述翼型的最大幾何誤差為0.0011。為了檢驗翼型外形偏差對其氣動特性的影響，本文利用CFD方法對擬合翼型的流場與氣動特性進行了計算，并將計算結果與原始翼型RAE2822的計算結果進行了比較。計算狀態(tài)為:

圖2 五次Bezier曲線擬合RAE2822Fig.2 Approximation of RAE2822 using fifth-order Bezier curves

表1為擬合翼型與RAE2822翼型的幾何誤差與氣動性能偏差。由表1可見，兩個翼型的氣動性能存在偏差，升力系數(shù)、阻力系數(shù)和力矩系數(shù)相對誤差的平均值為2.24%。假設在某次優(yōu)化設計中，RAE2822就是需要的“最優(yōu)”翼型，8個設計變量的Bezier曲線由于變化空間有限，就不能很好的描述這個“最優(yōu)”翼型。換言之，為了獲得最佳的外形，必須提高曲線的參數(shù)化能力，擴大設計空間進而提高對某個翼型描述的精度。

圖3 上下表面擬合誤差Fig.3 Approximation residuals of the upper and lower surface

表1 實際翼型和擬合翼型的氣動性能對比Table 1 Comparison of aerodynamic properties between RAE2822 and approximation

2 擴大Bezier曲線的設計空間

通過對RAE2822的參數(shù)化擬合，發(fā)現(xiàn)用較少的設計變量對翼型參數(shù)化時，每個設計變量的變化對曲線形狀的影響程度過大，對曲線描述不夠靈活，不能精準地描述翼型。因此，當用于翼型設計時，由于設計空間有限，導致設計結果質量不高。

文獻［6］提出了廣義Bezier曲線［7-8］的概念，即在給定控制頂點和相應Bernstein基函數(shù)的情況下，曲線的形狀仍然可以再微調。圖4顯示了幾組廣義Bezier曲線，該組曲線只是單純擴大了曲線的變化范圍，但它在精確描述某個翼型方面能力有限。

圖4 廣義Bezier曲線Fig.4 General Bezier curves

為解決此問題，文中嘗試曲線升階的方法，即在保持原低階擬合曲線形狀不變的情況下，增加控制點的數(shù)量，提高曲線的階次，增加曲線的柔性和變化的靈活性。

基于Bernstein基函數(shù)的升階算法表示為:

圖5 二次曲線升階到三次曲線示意圖Fig.5 Sketch map of two-order curve and three-order curve

在低階曲線(8個設計變量)擬合結果的基礎上，對曲線進行升階，分別逐步升到12、16、20和24個設計變量，如圖6～圖9所示。

圖 10顯示了升階后不同設計變量擬合RAE2822翼型的誤差，發(fā)現(xiàn)曲線階次的增加明顯提高了曲線擬合的幾何精度。圖11和圖12分別顯示了不同設計變量收斂后翼型上下表面的擬合誤差。圖13和圖14分別顯示了不同設計變量收斂后翼型上下表面曲線的曲率半徑歸1化后的分布。由此可見，隨著設計變量的4增加，擬合誤差越來越小，但是翼型表面曲率的波動越來越明顯。

表2對比了不同設計變量下的氣動性能和相對誤差的平均值(與上文的飛行狀態(tài)相同)，發(fā)現(xiàn)超過20個(包括20)設計變量時，氣動力系數(shù)的平均相對誤差小于1%，達到了很高的精度。同時發(fā)現(xiàn)，設計變量達到24個時，由于曲線拐點增多，波動性加強，

圖7 8個設計變量升到16個設計變量Fig.7 Increasing variables from 8 to 16

圖8 8個設計變量升到20個設計變量Fig.8 Increasing variables from 8 to 20

圖9 8個設計變量升到24個設計變量Fig.9 Increasing variables from 8 to 24

圖10 不同設計變量的擬合誤差Fig.10 Approximation error of different variables

圖11 不同設計變量擬合后上表面誤差Fig.11 Approximation error of the upper surface of different variables

圖12 不同設計變量擬合后下表面誤差Fig.12 Approximation error of the lower surface of different variables

圖13 翼型上表面曲率半徑分布Fig.13 Radius of curvature distribution of upper surface

圖14 翼型下表面曲率半徑分布Fig.14 Radius of curvature distribution of lower surface

表2 實際翼型和擬合翼型的氣動性能對比Table 2 Comparison of aerodynamic properties between RAE2822 and approximation

很難滿足翼型表面光順性的要求，氣動誤差較20個設計變量時反而變大。對于翼型優(yōu)化來說，綜合考慮擬合誤差和曲線的曲率分布，最終使用20個設計變量足夠。

基于Bezier曲線的特性，建立逐步升階的翼型參數(shù)化方法:在優(yōu)化搜索的過程中，給曲線逐次升階，設計變量由少到多，不斷地擴大設計空間。

3 改進的粒子群算法及優(yōu)化設計方法

在粒子群算法［9-10］(PSO)的可調參數(shù)中，慣性權值是最重要的參數(shù)，較大的w有利于提高算法的全局搜索能力，而較小的w會增強算法的局部搜索能力。文中采用改進后的自適應慣性權值［11-12］粒子群算法(SAPSO)進行優(yōu)化搜索。自適應權重法的慣性權重系數(shù)公式表達式如下:

其中wmax、wmin分別表示w的最大值和最小值，f表示當前的目標函數(shù)值，fave、fmin分別表示當前所有粒子的平均目標值和最小目標值。式(3)中，目標函數(shù)值優(yōu)于平均目標值的微粒，其對應的慣性權重因子較小，從而保護該微粒;反之，對于目標函數(shù)值差于平均目標值的微粒，其對應的慣性權重因子較大，使得該微粒去尋找較好的搜索區(qū)域。

基于改進的粒子群算法，若直接使用20個設計變量進行優(yōu)化搜索，設計變量過多且變化隨機盲目，導致搜索效率大大降低。本文結合逐步升階的翼型參數(shù)化方法和改進的粒子群算法，構建逐步擴展設計空間的優(yōu)化設計方法。首先在低階曲線參數(shù)化構建的設計空間中，進行粒子群優(yōu)化搜索，進化一定代數(shù)后，保持已優(yōu)化外形不變的情況下，按照上文的算法給曲線升階，增加設計變量的個數(shù)，進行設計變量的傳遞，擴展更新粒子群(即增加每個粒子的維度)，繼續(xù)進行粒子群搜索。即先由較低階曲線尋找到有利的區(qū)域，然后增加設計變量個數(shù)，用高階曲線在低階的基礎上繼續(xù)在該區(qū)域精細化尋優(yōu)，逐層優(yōu)化搜索。這樣，每次升階的過程都保留低階的最優(yōu)結果，不但擴大設計空間，還能提高優(yōu)化搜索的效率。圖15給出了該優(yōu)化設計方法的框架。

圖15 優(yōu)化設計方法框架Fig.15 Frame of the optimization method

4 算例分析

本文的氣動分析方法采用基于結構網(wǎng)格的RANS方程［13-14］，網(wǎng)格數(shù)量為4萬，使用Roe空間離散方法，S-A一方程湍流模型，LU-SGS隱式時間推進方法，多重網(wǎng)格加速收斂。為提高計算機的并行效率，對結構網(wǎng)格進行分塊處理。

以NASA0412超臨界翼型為初始翼型進行減阻優(yōu)化設計，設計狀態(tài)為:

優(yōu)化目標為最小化翼型的阻力系數(shù)，約束條件為厚度不減小，力矩系數(shù)絕對值不大于0.12，不滿足約束則對目標函數(shù)進行懲罰。優(yōu)化的數(shù)學模型可描述為:

為了驗證本文方法的優(yōu)越性，對比本文優(yōu)化方法與傳統(tǒng)Hicks-Henne型函數(shù)翼型參數(shù)化的優(yōu)化方法如下:

1)參數(shù)設置。本文方法:初始為8個設計變量，每次升階增加4個設計變量，最后為20個設計變量; Hicks-Henne方法:使用20個設計變量，設計變量個數(shù)不變。

2)優(yōu)化算法設置。本文方法:每代粒子群數(shù)目為50，不同的設計變量各進化10代，共40代;Hicks-Henne方法:每代粒子群數(shù)目50，連續(xù)進化40代。

圖16和圖17分別給出了本文方法優(yōu)化前后的翼型形狀和翼型表面的壓力分布。在設計狀態(tài)下，初始翼型上面出現(xiàn)較強的激波，引起很大的激波阻力。優(yōu)化后的翼型下表面前緣半徑減小，壓力增加，前加載增大;最大厚度點后移，彎度增加，后加載增大;由于升力系數(shù)固定，前后加載增大，翼型上表面的壓力緩慢恢復，激波基本消除，大大減小了翼型的阻力。

圖16 優(yōu)化前后的翼型形狀Fig.16 Comparison between initial and optimized airfoil configuration

圖17 優(yōu)化前后的壓力分布Fig.17 Comparison of pressure distribution between initial and optimized airfoil

表3給出了使用本文方法和使用Hicks-Henne方法的優(yōu)化前后的結果對比，本文的方法優(yōu)化阻力系數(shù)減小了0.0057，優(yōu)化質量高于Hicks-Henne方法的0.0054。

表3 翼型優(yōu)化前后性能對比Table 3 Comparison of airfoil performance between initial and optimized airfoil

圖18給出了兩種方法優(yōu)化收斂歷程對比，很明顯文中的翼型優(yōu)化方法在搜索效率和質量方面高于傳統(tǒng)的Hicks-Henne參數(shù)化的優(yōu)化方法。使用文中的參數(shù)化方法，每次設計變量的增加時(每10代增加一次)，優(yōu)化的質量都提高一次，打破原來的收斂趨勢，證明了該參數(shù)化方法的有效性和實用性。

圖18 優(yōu)化收斂歷程對比Fig.18 Comparison of convergence history

5 結 論

文中研究了翼型參數(shù)化中設計變量和設計空間關系，基于Bernstein多項式的性質，提出Bezier曲線逐次升階的翼型參數(shù)化方法，結合改進的粒子群算法構建了逐步擴展設計空間的優(yōu)化設計系統(tǒng)，很好地解決了設計變量和設計空間這對矛盾。最后，通過對典型超臨界翼型的減阻設計，對比了文中方法和傳統(tǒng)的優(yōu)化方法，證實了該方法的可行性和高效性。同時，該升階思想可以拓展到三維Bezier曲面建模以及以Bernstein多項式為基函數(shù)的自由變形造型(FFD)［15-16］中，有很好的實用價值。

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Research on airfoil parameterization based on adding-order method and its application in aerodynamic optimization

Wang Chao1，Gao Zhenghong1，*，Huang Jiangtao1，2，Zhao Ke1，Li Jing1，Xu Fang1
(1.National Key Laboratory of Aerodynamic Design and Research，Northwestern Polytechnical University，Xi’an Shaanxi 710072，China; 2.China Aerodynamics Research and Development Center，Mianyang Sichuan 621000，China)

The number of design variables and their design room are focused on in airfoil parameterization.Fewer variables helps improve the speed of convergence and adequate design room can help to find the best result.However，they contradict with each other.A research was carried on the performances of basic Bezier-Spline curves and a comparison was presented between different orders of Bezier-Spline curves in order to explain their ability of describing a supercritical airfoil and aerodynamic errors as a result of geometric errors.An adding-order airfoil parameterization method was put forward based on the characteristics of Bezier-Spline curves.An optimization design system of expanding design room was established combined with improved particle swarm optimization algorithm which guarantees design room and efficiency.The method balances the inconsistency of design quality and efficiency.By comparing the results of a typical airfoil optimization using the proposed method and the traditional Hicks-Henne model function method，feasibility and high efficiency of this method is verified.

parameterization;Bezier-Spline curve;stepwise adding-order;particle swarm optimization algorithm;expand design room

V211.3;V221+.6

A

10.7638/kqdlxxb-2013.0042

0258-1825(2015)03-0360-07

2013-04-01;

2013-05-21

王超(1990-)，男，河北保定人，博士，主要研究方向:飛行器設計空氣動力學，計算流體力學.E-mail:wangchao19900405@126.com

高正紅(1960-)，女，教授，博士生導師，主要從事大迎角非定常流動、飛行器氣動外形優(yōu)化設計等研究.E-mail:zgao@nwpu.edu.cn

王超，高正紅，黃江濤，等.基于逐次升階的翼型參數(shù)化與氣動優(yōu)化方法研究［J］.空氣動力學學報，2015，33(3):360-366.

10.7638/kqdlxxb-2013.0042 Wang C，Gao Z H，Huang J T，et al.Research on airfoil parameterization based on adding-order method and its application in aerodynamic optimization［J］.Acta Aerodynamica Sinica，2015，33(3):360-366.