無窮區(qū)間上一類分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題解的存在性①

李珊珊

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京)理學(xué)院，北京100083)

1 預(yù)備知識

本文主要研究以下分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題

有關(guān)Riemann－Liouville 分?jǐn)?shù)階微積分定義及相關(guān)性質(zhì)，參考文獻(xiàn)［1］中69－90 頁.本文中令R+=［0，+∞)，C1－α(R+)={x(t)|x:(0，+∞)→R，t1－αx(t)∈C(R+)}.

定義空間:

空間X 上的范數(shù)是:

空間Y 上的范數(shù)是:

引理1.1:(X，‖·‖X)，(Y，‖·‖Y)是Banach 空間.

這個(gè)引理的證明方法參見蘇［2］中引理2.2 及寇［5］中引理3.1.

引理1.2:Z ?Y 且Z 是有界集，則Z 在Y 是相對緊集，只需滿足以下兩個(gè)條件:

這個(gè)引理的證明方法參見蘇［2］中引理2.3.

2 主要結(jié)果

定理2.1: 假設(shè)函數(shù)f ∈(0，+∞)×R×R→R 且f ∈C1－α(R+)，存在非負(fù)有界函數(shù)a(t)，b(t)，c(t)∈L1(0，+∞)，使得

并且

則方程(1)，(2)至少存在一個(gè)解u(t)∈C1－α(R+).

證明: 我們熟知，方程(1)，(2)等價(jià)于積分方程:

定義算子:

則方程的解轉(zhuǎn)化為算子A 的不動(dòng)點(diǎn)問題.

第一步:取

令U={u(t)∈Y:‖u‖Y≤R，則A:U →U.

事實(shí)上，

因?yàn)?/p>

故

所以

所以‖Au‖Y≤R，且根據(jù)Au(t)的定義，易知

即Au(t)∈Y，所以A:U →U.

第二步:利用引理1.2 證明對于?V ?U，AV相對緊.

令I(lǐng) ?［0，+∞)且為緊區(qū)間，?t1，t2∈I，不失一般性，設(shè)t1≤t2，則對?u(t)∈V，

綜上，由引理1.2 知，AV 是相對緊的.

第三步:A:U →U 是連續(xù)算子.

所以由Lebesgue 控制收斂定理知，A 是連續(xù)算子.

綜上所述:由Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理，方程(1)(2)至少存在一個(gè)解u(t)∈C1－α(R+).

［1］ A.A.Kilbas，H.M.Strivastava，J.J.Trujillo.Theory and Applications of Fractional Differential Equations［M］.Amsterdam:Elsevier，2006.

［2］ X.Su，S.Zhang.Unbounded Solutions to a Boundary Value Problems of Fractional Order on the Half－line［J］.Computer and Mathematics with Applications，2011，61(4):1079－1087.

［3］ J.Deng，Z.Deng.Existence of Solutions of Initial Value Problems for Nonlinear Fractional Differential Equations［J］.Applied Mathematics Letters，2014，32:6－12.

［4］ 劉玉記.無限區(qū)間上多分?jǐn)?shù)階微分方程初值問題解的存在與唯一性［J］.中國科學(xué):數(shù)學(xué)，2012，42(7):735－756.

［5］ C.Kou，H.Zhou，Y.Yan.Existence of Solutions of Initial Value Problems for Nonlinear Fractional Differential Equations on the Half－axis［J］.Nonlinear Analysis，2011，74(17):5975－5986.