讓解題思路自然流淌——淺談數(shù)學(xué)解題思維能力的培養(yǎng)

趙建麗

（山東省聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2014 級研究生 東營墾利縣中等職業(yè)專業(yè)學(xué)校）

在數(shù)學(xué)解題中，通常會出現(xiàn)解完題，學(xué)生高呼“太巧了”。其實這種現(xiàn)象不正常，會出現(xiàn)這種情況，是因為有些人喜歡故弄玄虛，弄一些技巧性強、方法奇妙的解法，以此顯示自己解法的高明。從數(shù)學(xué)思維的角度看，自然的想法才是學(xué)生能夠想到的方法，才能引起師生的共鳴。

例如，（全國大綱卷2012 年17 題）已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且2b2=3ac，求角A。

解：由題意知2B=A+C，且A+B+C=180°，知∠B=60°，則A+C=120°.

由2b2=3ac及正弦定理知2sin260°=3sinAsinC知sinAsinC=

則cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=cosAcosC

得cosAcosC=0，則cosA=0或cosC=0。

若cosA=0，則A=90°；

若cosC=0，則C=90°，從而A=180°-90°-60°=30°。

所以∠A=90°或∠A=30°

通法一、化角的關(guān)系為邊的關(guān)系，運用方程思想和余弦定理求A。

解：由題意知2B=A+C，且A+B+C=180°，知∠B=60°，

通法二、化邊的關(guān)系為角的關(guān)系。

解：由題意知2B=A+C，且A+B+C=180°，知∠B=60°，則A+C=120°.

由2b2=3ac及正弦定理知2sin260°=3sinAsinC知sinAsinC=

從而∠A=90°或∠A=30°。

解三角形的問題，學(xué)生容易想到的是邊角之間關(guān)系的互化，無論是化為邊的關(guān)系，還是角的關(guān)系，都是可以解決的。要讓學(xué)生能夠想到，敢于去嘗試，學(xué)生才能掌握和應(yīng)用。

事實上，教師炫耀自己解法的高明和技巧的高超只會讓學(xué)生望而卻步，容易讓學(xué)生誤以為自己很笨，失去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和信心。怎樣做到自然？拿到題目，應(yīng)該自己先做一做，不應(yīng)該馬上就看答案，照本宣科，這樣你是無法做到自然，也無法走進學(xué)生的思維世界。

培養(yǎng)學(xué)生的解題思維能力，我認(rèn)為有以下幾種途徑：

1.加強對概念的理解和應(yīng)用

讓學(xué)生明白高中數(shù)學(xué)所有教學(xué)內(nèi)容最基本的是概念。概念是思維的基本形式，具有確定研究對象和任務(wù)的作用?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：教學(xué)中應(yīng)加強對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，幫助學(xué)生逐步加深理解。

概念的由來能讓學(xué)生參與的，要創(chuàng)造條件讓學(xué)生去動手、去觀察、去發(fā)現(xiàn)和歸納總結(jié)。比如，在橢圓概念的教學(xué)中，我利用硬紙片、針和線做了一種道具，用針扎在硬紙的兩個點上，這兩個點就作為橢圓的焦點，弄上一段線，讓線的長度大于兩個定點之間的距離，讓學(xué)生親自操作，畫出了不同形狀的橢圓，學(xué)生很有心得體會；然后讓學(xué)生把線的長度縮短，和兩定點的距離一樣再去觀察，學(xué)生輕而易舉地就給出了橢圓的定義，使課堂教學(xué)取得了良好的教學(xué)效果，并且學(xué)生每見到“橢圓上一點P”時就能想到“P到兩焦點距離之和為定值”這一結(jié)論，并能靈活地轉(zhuǎn)化成式子。

2.挖掘題目中的隱含條件

數(shù)學(xué)解題中最首要的問題是讀懂題目，挖掘出隱含條件。所謂的隱含條件是指數(shù)學(xué)題目中那些若明若暗含而不露的已知條件，或者從題設(shè)中不斷發(fā)現(xiàn)并利用條件進行推理和變形而重新發(fā)現(xiàn)的條件。一般來說，隱含條件通常隱蔽在數(shù)學(xué)定義與性質(zhì)中；或者隱蔽在函數(shù)的定義域與值域之中；或者隱蔽在幾何圖形的特殊位置上；或者隱蔽在知識的相互聯(lián)系中。

解題活動中，許多學(xué)生由于對隱含條件的關(guān)注不夠或不知道如何挖掘題目中的隱含條件，而使解題活動陷入困境，或?qū)е陆忸}失誤，或使思路復(fù)雜化。隱含條件的挖掘離不開有效的閱讀，從題干中的蛛絲馬跡分析出隱含條件，給解題帶來暢快淋漓之感。

例如：如果a，b，c成等比數(shù)列，那么函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點個數(shù)為 （ ）。

A.0 B.1 C.2 D.1或2

在此題中，條件“a，b，c成等比數(shù)列”都能轉(zhuǎn)化成b2=ac，而對于“a≠0”則往往分析不到，不能明確函數(shù)y=ax2+bx+c就是一個二次函數(shù)。判斷函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點個數(shù)只需驗證判別式即可。

再比如：lga，lgb，lgc成等差數(shù)列是a，b，c成等比數(shù)列的（ ）。

A.充分條件 B.必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

在此題中，“l(fā)ga，lgb，lgc成等差數(shù)列”的等價轉(zhuǎn)化不僅僅是“2lgb=lga+lgc”，還有就是a，b，c>0。

在做題中，有些題目的表述不那么直白，需要我們用一雙慧眼看出隱含在文字中的條件；根據(jù)解題的實際需要，有效轉(zhuǎn)化題目中的條件，整合有用的信息，確定正確的理解途徑，養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，就能破解復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題。

3.要養(yǎng)成“三思而后行”的習(xí)慣

一思：要我做什么？就是要對解決的問題進行思考，定位題目考查的知識點，提煉解決問題的基本途徑，即分析結(jié)論；

二思：我要做什么？就是探討解決問題的基本途徑、步驟，共分為幾步，每一步解決什么問題，即分析思路；

三思：給了我什么？即審視條件，把已知條件朝結(jié)論方向轉(zhuǎn)化和挖掘，促進學(xué)生在條件和結(jié)論之間建立聯(lián)系，及分析條件。

要我做什么？求（f2）；

點評：此方法有具體的式子，學(xué)生容易接受。

點評：此法較為抽象，但也是通法，要求程度稍好的同學(xué)掌握。

解題應(yīng)該跟著感覺走，自然至上。自然的想法才是最真實的，是學(xué)生能夠想到的。所謂自然，就是盡量利用基本知識和基本技能，盡量反映解題的思維歷程，解題是一種思維性很強的活動，解題的目的在于啟迪心智，鍛煉思維，不僅僅是為了解題而解題，而應(yīng)該緊貼自己的思維實際，讓解題思路自然地流淌。

方厚實.專題復(fù)習(xí)的“四查”“三思”“一練”，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2012（08）.