基于Pair Copula的隨機(jī)潮流三點(diǎn)估計(jì)法

吳 巍 汪可友 韓 蓓 李國(guó)杰

(電力傳輸與功率變換控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(上海交通大學(xué)) 上海 200240)

?

基于Pair Copula的隨機(jī)潮流三點(diǎn)估計(jì)法

吳 巍 汪可友 韓 蓓 李國(guó)杰

(電力傳輸與功率變換控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(上海交通大學(xué)) 上海 200240)

現(xiàn)有Copula等方法難以對(duì)多維風(fēng)電功率準(zhǔn)確建模，且傳統(tǒng)的點(diǎn)估計(jì)法無(wú)法直接應(yīng)用于風(fēng)電功率具有相關(guān)性的場(chǎng)合。針對(duì)這一問(wèn)題，提出基于Pair Copula和概率積分變換的隨機(jī)潮流點(diǎn)估計(jì)法。首先采用Pair Copula對(duì)多維風(fēng)電功率進(jìn)行建模，然后使用點(diǎn)估計(jì)法在獨(dú)立正態(tài)概率空間中采樣，最后，依據(jù)概率積分變換，把采樣點(diǎn)變換到實(shí)際風(fēng)電功率的概率空間中進(jìn)行潮流計(jì)算，從而使點(diǎn)估計(jì)法能夠處理具有任意概率分布的多維風(fēng)電功率。對(duì)澳大利亞多個(gè)風(fēng)電場(chǎng)出力樣本的建模和分析驗(yàn)證了Pair Copula模型的優(yōu)越性，基于IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的算例驗(yàn)證了所提方法的有效性。

Pair Copula 多維相關(guān)性 概率積分變換 點(diǎn)估計(jì)法 隨機(jī)潮流

0 引言

截止到2013年底，中國(guó)風(fēng)能裝機(jī)容量已達(dá)到91.4 GW[1]，大量風(fēng)電場(chǎng)接入到電力系統(tǒng)中。與傳統(tǒng)發(fā)電形式相比，由于自然因素(風(fēng)速)固有的隨機(jī)性和波動(dòng)性，風(fēng)電功率呈現(xiàn)較強(qiáng)的間歇性。另外，由于風(fēng)電場(chǎng)之間的復(fù)雜空間位置關(guān)系，風(fēng)電場(chǎng)出力之間呈現(xiàn)多樣化的相關(guān)特性[2]。風(fēng)電功率的這些特性會(huì)對(duì)電力系統(tǒng)運(yùn)行造成一定影響[3]，因此在對(duì)電力系統(tǒng)進(jìn)行隨機(jī)潮流(probabilistic load flow，PLF)計(jì)算和運(yùn)行特性分析時(shí)，需綜合考慮多風(fēng)電場(chǎng)風(fēng)電功率的概率特性。

自1974年B.Borkowska[4]提出PLF的概念以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種隨機(jī)潮流計(jì)算方法。其中，蒙特卡羅法[5，6](Monte Carlo simulation，MCS)計(jì)算準(zhǔn)確度高，但即使提高采樣效率，計(jì)算量仍然較大，一般作為驗(yàn)證其他方法準(zhǔn)確度的標(biāo)準(zhǔn)。解析法[7]基于單一運(yùn)行點(diǎn)，對(duì)潮流方程進(jìn)行線性化，這會(huì)引入一定誤差[8]。點(diǎn)估計(jì)法[9](point estimate method，PEM)無(wú)需知道輸入和輸出之間具體的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，僅通過(guò)少量確定性計(jì)算，即可得到較高準(zhǔn)確度的輸出變量統(tǒng)計(jì)量，但點(diǎn)估計(jì)法需要假設(shè)輸入隨機(jī)變量相互獨(dú)立，無(wú)法處理風(fēng)電功率具有相關(guān)性的情況。

目前，考慮輸入變量相關(guān)性的PLF方法，主要關(guān)注兩方面內(nèi)容：①對(duì)相關(guān)性隨機(jī)變量的準(zhǔn)確建模；②結(jié)合相關(guān)性概率模型，改進(jìn)現(xiàn)有PLF方法，從而使其能處理隨機(jī)變量的相關(guān)性。

在相關(guān)性建模方面，文獻(xiàn)[10]提出三階多項(xiàng)式變換，采用線性相關(guān)系數(shù)表征隨機(jī)變量相關(guān)性。文獻(xiàn)[11]采用Spearman秩相關(guān)系數(shù)描述輸入隨機(jī)變量間的相關(guān)性。然而，隨機(jī)變量相關(guān)特性的完整表征方式是聯(lián)合概率分布，其具有諸多測(cè)度指標(biāo)分別從不同方面考察相關(guān)特性，線性相關(guān)系數(shù)和秩相關(guān)系數(shù)只是諸多測(cè)度指標(biāo)中的一部分[12]。因而上述方法不能完整地表征隨機(jī)變量的相關(guān)性。

Copula理論則是一種有效的聯(lián)合概率分布建模工具[13]，Nataf變換實(shí)際是Normal Copula[14]。已有的多種Copula函數(shù)能夠分別較好地描述各類二維相關(guān)性。然而，對(duì)于三維及以上維的隨機(jī)量，現(xiàn)有多維Copula函數(shù)[15]僅能使用單一類型的Copula函數(shù)，即僅能描述單一類型的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，因而難以對(duì)多維風(fēng)電功率間可能存在的多樣化的相關(guān)性結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確建模。另外，在多維Copula模型與現(xiàn)有PLF方法結(jié)合方面，目前僅有Normal Copula能夠與現(xiàn)有PLF方法結(jié)合使用[14]，因而概率建模的不準(zhǔn)確會(huì)導(dǎo)致PLF計(jì)算誤差。

針對(duì)目前多維相關(guān)性風(fēng)電功率難以準(zhǔn)確建模和處理的問(wèn)題，本文提出了基于Pair Copula和概率積分變換的隨機(jī)潮流點(diǎn)估計(jì)法。不同于現(xiàn)有多維Copula函數(shù)，Pair Copula針對(duì)隨機(jī)變量?jī)蓛芍g不同的相關(guān)特性，采用了相適應(yīng)的多種類型的二維Copula函數(shù)進(jìn)行描述，從而能對(duì)多維概率分布模型準(zhǔn)確建模。概率積分變換依據(jù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布(cumulative distribution function，CDF)，將其變換到獨(dú)立正態(tài)概率空間中，從而使點(diǎn)估計(jì)法能較好地處理具有任意聯(lián)合概率分布的多維相關(guān)性風(fēng)電功率，并進(jìn)行PLF計(jì)算。最后，以澳大利亞風(fēng)電場(chǎng)歷史數(shù)據(jù)和IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，驗(yàn)證了所提方法的有效性。

1 基于Pair Copula 的風(fēng)電功率相關(guān)性模型

1.1 Copula理論

Copula函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量的邊緣分布和相關(guān)性分別進(jìn)行建模，進(jìn)而構(gòu)建多元隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布，簡(jiǎn)化了建模步驟，是描述隨機(jī)變量相依結(jié)構(gòu)的有力工具[16]。Sklar定理奠定了Copula理論的基礎(chǔ)。

Sklar定理：記F是邊緣分布為F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的隨機(jī)變量X=[X1，X2，…，Xn]的聯(lián)合概率分布函數(shù)。則存在一個(gè)Copula概率分布函數(shù)C，對(duì)任意X∈Rn有

F(x1,x2,…,xn)=C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(1)

目前常用的二元Copula函數(shù)有Archimedean-Copula函數(shù)簇和Ellipse-Copula函數(shù)簇兩類[12]。前者包括Gumbel-Copula、Clayton-Copula和Frank-Copula，后者包括Normal-Copula。這些函數(shù)各自具有不同的對(duì)稱性和尾部相關(guān)性等特性，能夠較好地對(duì)各類二元相關(guān)特性進(jìn)行建模。

二維Copula函數(shù)的構(gòu)建步驟如下：

1)確定隨機(jī)變量的邊緣分布?？梢圆捎媒?jīng)驗(yàn)分布或非參數(shù)密度估計(jì)[17]。

2)分別使用上述4種Copula函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行擬合，使用極大似然估計(jì)法得到相應(yīng)Copula函數(shù)的參數(shù)。

3)進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，選擇最優(yōu)Copula函數(shù)。在此采用文獻(xiàn)[18，19]推薦的Cramér-vonMises(CvM)距離進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，CvM距離越小，則所建概率分布模型對(duì)風(fēng)電功率的擬合效果越好。

1.2PairCopula模型

目前，文獻(xiàn)中多維風(fēng)電功率建模方法包括基于線性和秩相關(guān)系數(shù)的建模，以及基于Copula函數(shù)的模型。其中，線性和秩相關(guān)系數(shù)只是相關(guān)性測(cè)度的一部分，實(shí)際上，還有尾部相關(guān)性等相關(guān)系數(shù)，因而，采用線性和秩相關(guān)系數(shù)難以全面反映相關(guān)特性，建模不準(zhǔn)確。對(duì)于Copula函數(shù)，當(dāng)面對(duì)三維及以上更高維隨機(jī)變量時(shí)，二維Archimedean-Copula函數(shù)簇難以拓展到多維，Ellipse-Copula函數(shù)簇只能描述特定相關(guān)特性，難以對(duì)多維風(fēng)電功率準(zhǔn)確建模[15]。

針對(duì)現(xiàn)有Copula函數(shù)難以對(duì)多維風(fēng)電功率準(zhǔn)確建模的難題，本文提出采用C藤PairCopula構(gòu)建多風(fēng)場(chǎng)風(fēng)電功率的相關(guān)性模型。

PairCopula方法最早是K.Aas等[20]提出，是一種基于傳統(tǒng)Copula理論，靈活的多維概率分布構(gòu)造方式，能較好地描述多維隨機(jī)變量間差異化的相關(guān)特性，從而實(shí)現(xiàn)較好的擬合效果。目前，PairCopula常用的結(jié)構(gòu)包括C藤和D藤兩種結(jié)構(gòu)，兩者建模準(zhǔn)確度類似，其中，C藤結(jié)構(gòu)更簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，因而在此采用C藤PairCopula，下文簡(jiǎn)寫為PairCopula。n維Pair Copula結(jié)構(gòu)圖圖1所示。

圖1 n維Pair Copula結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of n-dimensional Pair Copula

由圖1可見，n維Pair Copula有n-1層，Ti層有n-i個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中第一個(gè)節(jié)點(diǎn)為根節(jié)點(diǎn)，與其余節(jié)點(diǎn)相連構(gòu)造下一層的節(jié)點(diǎn)，通過(guò)逐層合并的方式構(gòu)造多元概率分布。每個(gè)節(jié)點(diǎn)為一個(gè)二元Copula函數(shù)。

聯(lián)合概率密度f(wàn)(x1，…，xn)為

(2)

式中，fi(xi)和Fi(xi)分別為Xi的概率密度函數(shù)(probabilistic distribution function，PDF)和CDF；c(·)為Copula的PDF，可表示為

c(u1,…,un)=?nC(u1,…,un)/(?u1…?un)

(3)

式中，ui=Fi(xi)，i=1，2，…，n。

依據(jù)Pair Copula理論[20]，c(·)可分解為二維Copula函數(shù)的乘積

(4)

式中

ci,j|1,…,i-1:=ci,j|1,…,i-1(F(ui|u1,…,ui-1),

F(uj|u1,…,ui-1))

(5)

式中，i=1時(shí)，ci，j|1，…，i-1為c1，j(u1，uj)。結(jié)合圖1和式(4)可以看到，Pair Copula中所有節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)Copula函數(shù)的乘積即為式(4)。式(5)中條件分布性質(zhì)為

(6)

(7)

Pair Copula把隨機(jī)變量?jī)蓛珊喜ⅲ捎孟鄳?yīng)的二元Copula函數(shù)描述，能夠根據(jù)需要引入多種Copula函數(shù)來(lái)描述各類相關(guān)特性，使用靈活，適用范圍廣，從而可提高多維概率模型的擬合準(zhǔn)確度。

1.3 Pair Copula建模方法

參照?qǐng)D1，Pair Copula建模過(guò)程自上而下，采用1.1節(jié)中二維Copula函數(shù)最優(yōu)擬合步驟，逐步估計(jì)出T1～Tn-1層中所有節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的二維Copula函數(shù)，從而確定Pair Copula。具體建模步驟如下：

1)基于風(fēng)電功率X=[X1，X2，…，Xn]歷史數(shù)據(jù)，得到相應(yīng)的邊緣概率分布Fi(xi)，i=1，2，…，n。

2)把X歷史數(shù)據(jù)帶入ui=Fi(xi)，得到均勻分布U=[U1，U2，…，Un]的樣本點(diǎn)。

3)基于U的樣本點(diǎn)，采用如下算法構(gòu)建Pair Copula模型。

Forj=2，…，n

基于U1，Uj的樣本點(diǎn)，估計(jì)得到c1，j(u1，uj；θ1，j)；

計(jì)算v1,j=?C1,j(u1,uj)/?u1

Endfor

Fori=2，…，n-1

Forj=i+1，…，n

基于vi-1，i，vi-1，j的樣本點(diǎn)，估計(jì)得到ci，j|1，…，i-1(vi-1，i，vi-1，j；θi，j)

計(jì)算vi,j=?Ci,j|1,…,i-1(vi-1,i,vi-1,j/?vi-1,i)

Endfor

Endfor

其中，θ為Copula函數(shù)參數(shù)，vi，j=F(uj|u1，…，ui)。從而得到Pair Copula中所有節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Copula函數(shù)。

4)基于式(4)，得到Copula PDF，令ui=Fi(xi)，得到風(fēng)電功率概率模型，完成Pair Copula建模。

2 含風(fēng)電的改進(jìn)隨機(jī)潮流點(diǎn)估計(jì)法

2.1 隨機(jī)潮流問(wèn)題

電力系統(tǒng)潮流方程為

(8)

(9)

式中，Pinj和Qinj分別為節(jié)點(diǎn)注入有功和無(wú)功功率；V和θ分別為節(jié)點(diǎn)電壓幅值和相角；Yij∠φij為系統(tǒng)導(dǎo)納矩陣第(i，j)個(gè)元素；K為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)目。

實(shí)際電力系統(tǒng)中存在諸多隨機(jī)因素，如風(fēng)電功率和負(fù)荷等，隨機(jī)潮流把這些不確定因素視作輸入變量，計(jì)算得到輸出變量(系統(tǒng)潮流和節(jié)點(diǎn)電壓)的概率特性，從而可以更全面地分析電力系統(tǒng)運(yùn)行特性。

2.2 點(diǎn)估計(jì)法

點(diǎn)估計(jì)算法最早由H.P.Hong[9]于1998年提出，是一種分析隨機(jī)潮流等隨機(jī)響應(yīng)問(wèn)題的近似計(jì)算方法。點(diǎn)估計(jì)法利用輸入隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)信息，構(gòu)造特定的輸入隨機(jī)變量采樣點(diǎn)，針對(duì)這些采樣點(diǎn)，僅通過(guò)確定性計(jì)算少數(shù)次響應(yīng)，即可得到輸出隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)信息。

常用的2n+1點(diǎn)估計(jì)法要求隨機(jī)變量相互獨(dú)立。記xi的期望、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度和峰度分別為λi，1、λi，2、λi，3和λi，4。點(diǎn)估計(jì)法前2n個(gè)采樣點(diǎn)中，每個(gè)采樣點(diǎn)僅一個(gè)分量分別選取2個(gè)采樣值，其余分量都取為對(duì)應(yīng)期望值，采樣點(diǎn)為

Si,k=[λ1,1,…,λi,1+ξi,kλi,2,…,λn,1]
i=1,…，nk=1,2

(10)

式中

(11)

點(diǎn)估計(jì)法第2n+1個(gè)采樣點(diǎn)中，各分量為對(duì)應(yīng)隨機(jī)量的期望值

S2n+1=[λ1,1,λ2,1,…,λn,1]

(12)

記h(·)為針對(duì)一個(gè)采樣點(diǎn)，進(jìn)行確定性潮流計(jì)算得到的輸出樣本值，則輸出y的j階原點(diǎn)矩計(jì)算式為

(13)

式中權(quán)重系數(shù)為

(14)

得到輸出y的j階原點(diǎn)矩后，則期望μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ為

(15)

2.3 隨機(jī)潮流的改進(jìn)點(diǎn)估計(jì)法

實(shí)際電力系統(tǒng)運(yùn)行中，風(fēng)電功率具有相關(guān)性，如果忽略這種相關(guān)性，會(huì)帶來(lái)較大的計(jì)算誤差。由于點(diǎn)估計(jì)法要求輸入隨機(jī)量相互獨(dú)立，因此需要依據(jù)風(fēng)電功率相關(guān)特性，對(duì)點(diǎn)估計(jì)法進(jìn)行改進(jìn)。

最準(zhǔn)確描述輸入隨機(jī)量相關(guān)特性的模型是其聯(lián)合概率分布，而這可通過(guò)上文所述Pair Copula進(jìn)行建模獲得。在此采用概率積分變換[21]，可把具有任意聯(lián)合CDF的輸入隨機(jī)變量，轉(zhuǎn)換到獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率空間中。概率積分變換為

(16)

式中，Z=[z1，z2，…，zn]服從獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；Ф-1為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布CDF的反函數(shù)。

此時(shí)，在獨(dú)立正態(tài)概率空間上，推導(dǎo)點(diǎn)估計(jì)法的采樣點(diǎn)，即式(16)中的Z，基于概率積分變換，將其轉(zhuǎn)換得到原始輸入隨機(jī)變量概率空間中的采樣點(diǎn)，并進(jìn)行確定性潮流計(jì)算，即可得到輸出的各階矩。隨機(jī)潮流改進(jìn)點(diǎn)估計(jì)法步驟如下：

1)基于1.3節(jié)Pair Copula建模步驟，對(duì)輸入隨機(jī)變量進(jìn)行建模。

2)使用點(diǎn)估計(jì)法在獨(dú)立正態(tài)概率空間中進(jìn)行采樣。相應(yīng)的采樣點(diǎn)為

(17)

4)針對(duì)X的采樣點(diǎn)，計(jì)算得到相應(yīng)的輸出量的樣本值。

5)依據(jù)式(18)計(jì)算得到輸出的各階矩。

(18)

3 仿真算例

3.1 Pair Copula模型驗(yàn)證

以澳大利亞12個(gè)風(fēng)電場(chǎng)2009年7月31日～2010年7月31日1h間隔的歷史數(shù)據(jù)[22]為例，驗(yàn)證Pair Copula的有效性。按各自最大功率標(biāo)幺化，分別記為P1，…，P12。由于樣本數(shù)足夠多，在此采用經(jīng)驗(yàn)分布獲得其邊緣概率分布。

首先，進(jìn)行二維風(fēng)電功率建模分析。分別采用Frank Copula和Normal Copula對(duì)U7和U8進(jìn)行擬合，各Copula模型的散點(diǎn)圖和歷史數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖2所示。由圖2a中可見，歷史數(shù)據(jù)的散點(diǎn)大多分布于45°斜率的直線附近，風(fēng)電功率易同時(shí)較大或較小，具有明顯的相關(guān)性。圖2c與圖2a相比較，可以看到，Normal Copula有許多散點(diǎn)偏離了45°斜率的直線，因而對(duì)稱相關(guān)性的建模有一定偏差，另外，尾部相關(guān)性也有一定偏差。另一方面，可以看到，圖2b與圖2a的散點(diǎn)分布較為接近，因而Frank Copula擬合效果較好。

圖2 U7和U8的散點(diǎn)圖Fig.2 Scatter diagram of U7 and U8

對(duì)各二維風(fēng)電功率，各Copula函數(shù)擬合的CvM距離如圖3所示。從圖3中可以看到，只有部分二維風(fēng)電功率適于用Normal Copula建模，其余二維風(fēng)電功率適用于Frank或Gumbel Copula建模，Clayton Copula誤差較大，不適于此算例。因而，針對(duì)不同的二維風(fēng)電功率，應(yīng)引入多種相適應(yīng)的Copula函數(shù)進(jìn)行建模，而不是僅僅使用單一的Normal Copula對(duì)風(fēng)電功率進(jìn)行建模。

圖3 二維Copula函數(shù)CvM距離Fig.3 CvM distances of 2 dimensional Copula functions

然后，對(duì)所有風(fēng)電功率建模，進(jìn)行整體擬合效果檢驗(yàn)，CvM距離及參數(shù)估計(jì)時(shí)間如表1所示，進(jìn)行局部擬合效果檢驗(yàn)，對(duì)所有6維風(fēng)電功率組合檢驗(yàn)得到的CvM距離如圖4所示。

表1 Normal Copula和Pair Copula的CvM距離及參數(shù)估計(jì)時(shí)間Tab.1 CvM distances and estimation time of Normal Copula and Pair Copula

圖4 6維風(fēng)電功率CvM距離Fig.4 CvM distances of 6 dimensional wind power outputs

由表1和圖4可知，Pair Copula的整體擬合CvM距離遠(yuǎn)小于Normal Copula，擬合效果優(yōu)于Normal。局部擬合檢驗(yàn)中，Normal Copula的CvM距離始終較大，而Pair Copula的CvM距離則能保持在較低的值。這是由于Pair Copula中引入了多種Copula函數(shù)，可以描述各種類型的相關(guān)特性。因而，Pair Copula能同時(shí)實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的整體和局部擬合效果。

考察不同相關(guān)性模型的計(jì)算負(fù)擔(dān)。不同相關(guān)性模型與點(diǎn)估計(jì)法結(jié)合時(shí)，其潮流計(jì)算的計(jì)算量相同，不同的是建模和相關(guān)性處理(即配點(diǎn)轉(zhuǎn)換)的時(shí)間。其中，Normal copula配點(diǎn)轉(zhuǎn)換由于采用了Cholesky分解，僅涉及矩陣運(yùn)算，計(jì)算很快。Pair Copula的配點(diǎn)轉(zhuǎn)換是把原始配點(diǎn)帶入解析式中進(jìn)行計(jì)算，僅涉及代數(shù)運(yùn)算，計(jì)算也很快[20]，與Normal Copula相近。因而，重點(diǎn)考慮建模的計(jì)算負(fù)擔(dān)。

理論上，Pair Copula建模估計(jì)的時(shí)間與節(jié)點(diǎn)數(shù)目(即(n2-n)/2)有關(guān)，單個(gè)節(jié)點(diǎn)的估計(jì)時(shí)間約為0.5 s，對(duì)于12維變量，建模時(shí)間約為(122-12)/2×0.5=33 s，與表1中結(jié)果一致。對(duì)于Normal copula，估計(jì)時(shí)間為0.14 s。這是由于Pair Copula需要對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行GOF檢驗(yàn)，選取最優(yōu)Copula類型導(dǎo)致的，從而獲取更高的建模準(zhǔn)確度，而多元Normal Copula則不需要進(jìn)行GOF檢驗(yàn)和選型，且得到了Maltab的矢量化優(yōu)化。另外，需要指出的是，在未來(lái)的工作中將研究truncated Pair Copula (tPC)，其在本文full Pair Copula (fPC)的基礎(chǔ)上對(duì)fPC做簡(jiǎn)化，維持滿意的建模準(zhǔn)確度，同時(shí)可以降低計(jì)算負(fù)擔(dān)，計(jì)算量可減少到約為(2n-3)×0.5[23]，從而對(duì)建模時(shí)間和準(zhǔn)確度進(jìn)行折中。

3.2 IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)隨機(jī)潮流

采用IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)[24]驗(yàn)證本文模型在隨機(jī)潮流中的應(yīng)用。IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)有54臺(tái)發(fā)電機(jī)組，總裝機(jī)容量為9 966.2 MW，系統(tǒng)峰荷4 242 MW。12，31，46，54，80，87，103，111處的發(fā)電機(jī)分別替換為等容量的8個(gè)風(fēng)場(chǎng)，剩余4個(gè)風(fēng)場(chǎng)接入34，36，40，42節(jié)點(diǎn)，額定容量為50MW，風(fēng)場(chǎng)全部采用恒壓控制。負(fù)荷有功服從獨(dú)立正態(tài)分布，均值為靜態(tài)平衡點(diǎn)處的值，標(biāo)準(zhǔn)差為均值的5%，負(fù)荷的功率因數(shù)恒定。

依據(jù)風(fēng)電功率歷史數(shù)據(jù)計(jì)算得到的結(jié)果作為參考值，輸出變量期望和標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差如式(19)和式(20)所示。

(19)

(20)

在進(jìn)行PLF計(jì)算時(shí)，考慮現(xiàn)有文獻(xiàn)中PEM常用的兩種風(fēng)電功率模型，分別為假設(shè)獨(dú)立的概率模型和Normal Copula[14]，與本文所提Pair Copula模型進(jìn)行對(duì)比。對(duì)這三種風(fēng)電功率模型分別進(jìn)行PLF計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)平均相對(duì)誤差結(jié)果Tab.2 Average error indices of the IEEE 118-bus system (單位：%)

由表2可知，在不同風(fēng)電功率模型下，對(duì)于期望的計(jì)算都能獲得較好的準(zhǔn)確度，因而相關(guān)性對(duì)期望的影響較小。然而，在不同概率模型下，標(biāo)準(zhǔn)差的相對(duì)誤差具有比較大的差距。不考慮相關(guān)性時(shí)，PEM對(duì)于線路有功標(biāo)準(zhǔn)差的平均相對(duì)誤差高達(dá)16.227%，誤差較大。Normal Copula考慮了風(fēng)電功率相關(guān)性，然而，由于其建模準(zhǔn)確度不高，仍然具有一定的誤差。Pair Copula由于具有較高的建模準(zhǔn)確度，其誤差最小。因而，在進(jìn)行PLF計(jì)算時(shí)，是否考慮風(fēng)電功率相關(guān)性以及風(fēng)電功率建模的準(zhǔn)確性對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算準(zhǔn)確度具有顯著影響。

為了分析這一現(xiàn)象，在此借助半不變量法[7]的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)進(jìn)行分析。半不變量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是潮流方程的近似線性化，輸出y表示為輸入xi的線性組合

(21)

由式(21)可得到期望E(y)

(22)

由式(22)可知，E(y)與輸入xi的期望有關(guān)，與相關(guān)性無(wú)關(guān)。因而，僅考慮各自的邊緣分布而不考慮相關(guān)性時(shí)，對(duì)于期望的計(jì)算影響較小。類似的，可得到方差D(y)

(23)

式中，ρij為xi、xj的相關(guān)系數(shù)。

與E(y)不同的是，D(y)不僅與D(xi)有關(guān)，即與邊緣分布有關(guān)，還與相關(guān)性有關(guān)，因而相關(guān)性對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響較大。

為了進(jìn)一步考察本文所提方法的適用性，本文考察了不同負(fù)荷波動(dòng)幅度下的誤差，計(jì)算結(jié)果如表3所示?？梢钥闯?，負(fù)荷波動(dòng)幅度對(duì)誤差影響較小，誤差維持在較低的水平。

表3 不同負(fù)荷波動(dòng)幅度時(shí)的平均相對(duì)誤差結(jié)果Tab.3 Average error indices under different fluctuations of load level (單位：%)

4 結(jié)論

針對(duì)PLF中，多維風(fēng)電功率難以準(zhǔn)確建模和處理的問(wèn)題，本文提出了基于C藤Pair Copula和概率積分變換的隨機(jī)潮流點(diǎn)估計(jì)法。所提方法采用Pair Copula對(duì)多維風(fēng)電功率概率分布進(jìn)行建模，基于概率積分變換，將所建概率分布變換到獨(dú)立正態(tài)概率空間中，從而使點(diǎn)估計(jì)法能夠處理具有任意概率分布的相關(guān)性風(fēng)電功率，具有較強(qiáng)的通用性。

多風(fēng)電場(chǎng)歷史數(shù)據(jù)分析表明，相比于現(xiàn)有的Normal Copula模型，本文所建模型能夠更好地描述多維風(fēng)電功率內(nèi)部的相關(guān)特性，其概率分布的模型準(zhǔn)確度更高。IEEE 118節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)算例表明，忽略風(fēng)電功率相關(guān)性會(huì)造成較大的誤差。同時(shí)，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提改進(jìn)隨機(jī)潮流點(diǎn)估計(jì)法的有效性和實(shí)用性，采用具有更高建模準(zhǔn)確度的Pair Copula，能夠更準(zhǔn)確地分析風(fēng)電接入對(duì)電力系統(tǒng)的影響。

[1] Global Wind Energy Council(GWEC).Global Wind Report 2013-annual market update[EB/OL].2014-05-11.http：//www.gwec.net.

[2] Wan Y H，Milligan M，Parsons B.Output power correlation between adjacent wind power plants[J].Journal of Solar Energy Engineering，2003，125(4)：551-555.

[3] 蔣程，劉文霞，張建華，等.含風(fēng)電接入的發(fā)輸電系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2014，29(2)：260-270. Jiang Cheng，Liu Wenxia，Zhang Jianhua，et al.Risk assessment of generation and transmission systems considering wind power penetration[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2014，29(2)：260-270.

[4] Borkowska B.Probabilistic load flow[J].IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1974，93(3)：752-759.

[5] 陳芳，張利，韓學(xué)山，等.配電網(wǎng)線損概率評(píng)估及應(yīng)用[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2014，42(13)：39-44. Chen Fang，Zhang Li，Han Xueshan，et al.Line loss evaluation and application in distribution network[J].Power System Protection and Control，2014，42(13)：39-44.

[6] 茆美琴，周松林，蘇建徽.基于風(fēng)光聯(lián)合概率分布的微電網(wǎng)概率潮流預(yù)測(cè)[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2014，29(2)：55-63. Mao Meiqin，Zhou Songlin，Su Jianhui.Probabilistic power flow forecasting of microgrid based on joint probability distribution about wind and irradiance[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2014，29(2)：55-63.

[7] 董雷，楊以涵，張傳成，等.綜合考慮網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)不確定性的概率潮流計(jì)算方法[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，27(1)：210-216. Dong Lei，Yang Yihan，Zhang Chuancheng，et al.Probabilistic load flow considering network configuration uncertainties[J].Transactions of China Electrotechnical Society，2012，27(1)：210-216.

[8] 朱星陽(yáng)，劉文霞，張建華.考慮大規(guī)模風(fēng)電并網(wǎng)的電力系統(tǒng)隨機(jī)潮流[J].中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2013，33(7)：77-85. Zhu Xingyang，Liu Wenxia，Zhang Jianhua.Probabilistic load flow method considering large-scale wind power integration[J].Proceedings of the CSEE，2013，33(7)：77-85.

[9] Hong H P.An efficient point estimate method for probabilistic analysis[J].Reliability Engineering & System Safety，1998，59(3)：261-267.

[10]劉小團(tuán)，趙晉泉，羅衛(wèi)華，等.基于TPNT和半不變量法的考慮輸入量相關(guān)性概率潮流算法[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2013，41(22)：13-18. Liu Xiaotuan，Zhao Jinquan，Luo Weihua，et al.A TPNT and cumulants based probabilistic load flow approach considering the correlation variables[J].Power System Protection and Control，2013，41(22)：13-18.

[11]徐瀟源，嚴(yán)正，馮冬涵，等.基于輸入變量秩相關(guān)系數(shù)的概率潮流計(jì)算方法[J].電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2014，38(12)：54-61. Xu Xiaoyuan，Yan Zheng，F(xiàn)eng Donghan，et al.Probabilistic load flow calculation based on rank correlation coefficient of input random variables[J].Automation of Electric Power Systems，2014，38(12)：54-61.

[12]蔡菲，嚴(yán)正，趙靜波，等.基于 Copula 理論的風(fēng)電場(chǎng)間風(fēng)速及輸出功率相依結(jié)構(gòu)建模[J].電力系統(tǒng)自動(dòng)化，2013，37(17)：9-16. Cai Fei，Yan Zheng，Zhao Jingbo.Dependence structure models for wind speed and wind power among different wind farms based on copula theory[J].Automation of Electric Power Systems，2013，37(17)：9-16.

[13]蔡德福，石東源，陳金富.基于Copula理論的計(jì)及輸入隨機(jī)變量相關(guān)性的概率潮流計(jì)算[J].電力系統(tǒng)保護(hù)與控制，2013，41(20)：13-19. Cai Defu，Shi Dongyuan，Chen Jinfu.Probabilistic load flow considering correlation between input random variables based on Copula theory[J].Power System Protection and Control，2013，41(20)：13-19.

[14]Zhang L，Cheng H，Zhang S，et al.A novel point estimate method for probabilistic power flow considering correlated nodal power[C].IEEE PES General Meeting|Conference & Exposition，National Harbor，MD，2014：1-5.

[15]Berg D，Aas K.Models for construction of multivariate dependence-a comparison study[J].The European Journal of Finance，2009，15(7)：639-659.

[16]Nelsen R B.An Introduction to Copulas[M].New York：Springer，1999.

[17]Soleimanpour N，Mohammadi M.Probabilistic load flow by using nonparametric density estimators[J].IEEE Transactions on Power Systems，2013，28(4)：3747-3755.

[18]Genest C，Rémillard B，Beaudoin D.Goodness-of-fit tests for copulas：a review and a power study[J].Insurance：Mathematics and economics，2009，44(2)：199-213.

[19]Berg D.Copula goodness-of-fit testing：an overview and power comparison[J].The European Journal of Finance，2009，15(7-8)：675-701.

[20]Aas K，Czado C，F(xiàn)rigessi A，et al.Pair Copula constructions of multiple dependence[J].Insurance：Mathematics and economics，2009，44(2)：182-198.

[21]Rosenblatt M.Remarks on a multivariate transformation[J].The Annals of Mathematical Statistics，1952，23(3)：470-472.

[22]Data[DB/OL].Sydney：AEMO，2010[2014-06-01].http：//www.oz-energy-analysis.org/data/generation_wind_farms.php.

[23]Brechmann E C，Czado C，Aas K.Truncated regular vines in high dimensions with application to financial data[J].Canadian Journal of Statistics，2012，40(1)：68-85.

[24]Power Systems Test Case Archive[DB/OL].Washington：University of Washington，1993[2014-11-01].http：//www.ee.washington.edu/research/pstca.

Pair Copula Based Three-point Estimate Method for Probabilistic Load Flow Calculation

WuWeiWangKeyouHanBeiLiGuojie

(Key Laboratory of Control of Power Transmission and Conversion， Ministry of Education Shanghai Jiao Tong University Shanghai 200240 China)

Current methods，such as Copula theory，are inadequate to model multiple dependent wind power outputs accurately.Moreover，the point estimate method cannot handle the correlation among wind power outputs.Thus，an improved point estimate method based on Pair Copula and probability integral transformation is proposed for probabilistic load flow studies.The probabilistic model of multiple correlated wind power outputs is firstly constructed by Pair Copula.The point estimate method is then used to generate samples in the independent normal domain.Finally，based on the probability integral method，the samples are transformed into the actual probabilistic domain in order to find the characteristics of the power system operation.In this way，the point estimate method can handle multiple dependent wind generations with arbitrary distributions.The modeling and analysis for the power outputs of adjacent wind farms in Australia verify the goodness-of-fit of Pair Copula.The probabilistic load flow of the IEEE 118-bus system is solved to demonstrate the effectiveness of the proposed method.

Pair Copula，multiple dependence，probability integral transformation，point estimate method，probabilistic load flow

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃(“863”計(jì)劃)(2014AA052003)，國(guó)家自然科學(xué)基金(51307107、51477098)，國(guó)家科技支撐計(jì)劃(2015BAA01B02)資助項(xiàng)目。

2014-12-29 改稿日期2015-02-14

TM315

吳 巍 男，1990年生，博士研究生，研究方向?yàn)槲㈦娋W(wǎng)的安全穩(wěn)定分析及優(yōu)化運(yùn)行。(通信作者)

汪可友 男，1979年生，博士，副教授，研究方向?yàn)殡娏ο到y(tǒng)分析與控制，新能源的不確定性分析。