對(duì)中考中滾動(dòng)與展開問題的一些思考

☉江蘇省徐州市第三十一中學(xué) 劉睿

對(duì)中考中滾動(dòng)與展開問題的一些思考

☉江蘇省徐州市第三十一中學(xué) 劉睿

中考中的滾動(dòng)與展開問題，歸根到底研究的是與圓有關(guān)的弧長(zhǎng)問題，此類問題在當(dāng)今的中考試卷中反復(fù)出現(xiàn)，對(duì)學(xué)生來說也是一個(gè)難點(diǎn)，從中考試卷得分率上面來分析，此類問題的丟分情況非常嚴(yán)重，很多學(xué)生甚至無法正確作出圖形，也很難進(jìn)行有效的分析和解答.本文就針對(duì)中考中的一些實(shí)例，剖析解決此類問題的一些方法和思考.

一、準(zhǔn)確畫圖解決多邊形的滾動(dòng)問題

對(duì)于多邊形的滾動(dòng)問題而言，準(zhǔn)確地作出圖形并進(jìn)行相應(yīng)的分析是解決問題的關(guān)鍵，以下以2015年的一個(gè)中考實(shí)例進(jìn)行剖析：

例1（2015年湖南邵陽(yáng)）如圖1，矩形ABCD中，已知相鄰兩邊長(zhǎng)AB=4，BC=3，矩形在直線l上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90°至①的位置，再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至②的位置，再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至③的位置，再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至④的位置，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2015次后，請(qǐng)你求出頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是（）.

圖1

A．2015πB．3019.5π

C．3018πD．3024π

分析：四次翻滾過程恰好回到起點(diǎn)位置，于是思路就可以這樣來設(shè)計(jì)，首先求得每一次轉(zhuǎn)動(dòng)的路線的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)每四次循環(huán)，找到規(guī)律然后計(jì)算即可．

第四次A恰好為頂點(diǎn)，則轉(zhuǎn)動(dòng)以后的路線長(zhǎng)是0，

由此可得，四次重復(fù)一循環(huán)，然后不斷地進(jìn)行下去.

因?yàn)?015÷4=503余3，那么，可得總的路線長(zhǎng)度= 6π×504=3024π．

反思：通過以上分析可知D為正確選項(xiàng)，本題的主要考點(diǎn)是探索弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用和規(guī)律問題，解決這一問題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)其中隱含的規(guī)律.

二、以靜制動(dòng)解決圓的滾動(dòng)問題

圓的滾動(dòng)問題也是近年來?？嫉囊粋€(gè)專題，相對(duì)于多邊形的滾動(dòng)而言，圓的滾動(dòng)情況相對(duì)要簡(jiǎn)單一些：如圖2，⊙O在直線AB上滾動(dòng)，設(shè)⊙O的半徑為r，當(dāng)⊙O自轉(zhuǎn)1圈時(shí)，圓心O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是2πr；當(dāng)⊙O自轉(zhuǎn)2圈時(shí)，圓心O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是4πr；當(dāng)⊙O自轉(zhuǎn)3圈時(shí)，圓心O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是6πr；…；當(dāng)⊙O自轉(zhuǎn)n圈時(shí)，圓心O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是2nπr.反之，當(dāng)圓心O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是2πr時(shí)，⊙O自轉(zhuǎn)1圈；當(dāng)圓心O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是4πr時(shí)，⊙O自轉(zhuǎn)2圈；當(dāng)圓心O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是6πr時(shí)，⊙O自轉(zhuǎn)3圈；…；當(dāng)圓心O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)是2nπr時(shí)，⊙O自轉(zhuǎn)n圈．因此，當(dāng)圓在直線上滾動(dòng)時(shí)，圓心經(jīng)過的路徑的長(zhǎng)度等于圓滾動(dòng)過的長(zhǎng)度，圓滾動(dòng)的圈數(shù)等于圓心O經(jīng)過的路徑長(zhǎng)除以圓O的周長(zhǎng)．

上面的解答過程實(shí)際也用到了一種“以靜制動(dòng)”的解題策略：硬幣滾動(dòng)時(shí)，雖然上面的每點(diǎn)都在運(yùn)動(dòng)，各個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律也不便把握，但硬幣的圓心始終在一個(gè)固定的圓上運(yùn)動(dòng)，這是解答本題的關(guān)鍵．抓住了這點(diǎn)，問題就迎刃而解了．

圖2

例2（2009年河南）操作應(yīng)用：如圖3中，若AB=2c，則⊙O自轉(zhuǎn)____周；若AB=l，則⊙O自轉(zhuǎn)____周．在圖3中，若∠ABC=120°，則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)____周；若∠ABC=60°，則⊙O在點(diǎn)B處自轉(zhuǎn)____周．

圖3

拓展聯(lián)想：（1）如圖4，△ABC的周長(zhǎng)為l，⊙O從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部，按順時(shí)針方向沿三角形滾動(dòng)，又回到與AB相切于點(diǎn)D的位置，⊙O自轉(zhuǎn)了多少周？請(qǐng)說明理由．

圖4

圖5

（2）如圖5，多邊形的周長(zhǎng)為l，⊙O從與某條邊相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在多邊形外部，按順時(shí)針方向沿多邊形滾動(dòng)，最后又回到起始位置點(diǎn)D處，請(qǐng)直接寫出⊙O自轉(zhuǎn)的周數(shù)．

如果兩枚硬幣的大小不同，又該怎樣計(jì)算？

變式1：如圖6，一個(gè)小圓幣，繞一個(gè)直徑4倍大的圓片邊緣滾動(dòng)一周，回到原處．試問，在以上過程中，小圓幣一共轉(zhuǎn)了幾圈？

圖6

圖7

解析：如圖7，設(shè)小圓的半徑為r，則大圓的半徑為4r，由之前的分析和解答過程很容易得到此時(shí)小圓滾動(dòng)的

圖8

變式1是小圓沿大圓滾動(dòng)，如果大圓沿小圓滾動(dòng)，情況又該怎樣呢？

變式2：如圖8，兩枚大小不同的硬幣⊙O1和⊙O2，其中⊙O1的半徑為⊙O2的半徑的2倍，⊙O2固定不動(dòng)，⊙O1沿⊙O2周圍滾動(dòng)，滾動(dòng)時(shí)，兩枚硬幣總是保持有一點(diǎn)相接觸（相切）．當(dāng)硬幣⊙O1沿⊙O2周圍滾動(dòng)一圈，回到原來的位置時(shí)，硬幣⊙O1自轉(zhuǎn)了______圈．

解析：按照上面的分析和解答過程，很容易得到此時(shí)大硬幣滾動(dòng)的圈數(shù)為

可見，對(duì)于一類圓的滾動(dòng)問題，抓住關(guān)鍵轉(zhuǎn)了幾圈，問題便能很好地得到解決了.

三、展開問題思滾動(dòng)，異曲同工巧解決

對(duì)于圓錐的側(cè)面展開問題，看似與滾動(dòng)問題無關(guān)，實(shí)則展開即為滾動(dòng)，其實(shí)質(zhì)是求側(cè)面展開的扇形所對(duì)的圓弧長(zhǎng)度，下面來看一道今年的中考原題：

例3（2015年呼和浩特）已知，一圓錐的側(cè)面積為8π，母線長(zhǎng)為4，則這個(gè)圓錐的全面積可以表示為_____.

分析：圓錐展開相關(guān)公式，結(jié)合圓的滾動(dòng)問題的特點(diǎn)，思考如何使用方程思想來審題和解答.在這個(gè)問題中，需要進(jìn)行如下的思考：什么是圓錐的全面積？側(cè)面積加上底面圓的面積.在初中階段，什么是方程思想？給出的定義是：為了在解題過程中讓沒有具體數(shù)值的變量參與運(yùn)算或推導(dǎo)，我們把這個(gè)變量設(shè)成未知數(shù)，這個(gè)未知數(shù)不是我們要的最終結(jié)果，所以稱為中間未知數(shù)，叫做過渡量，那么在你的運(yùn)算或推導(dǎo)過程中，有可能解出這個(gè)過渡量的具體值，也有可能在過程中這個(gè)量被約掉或消掉.根據(jù)你之前的經(jīng)驗(yàn)，你算過一些圓錐展開的題目，其中大部分用到底面圓的半徑，題目中沒有，就設(shè)出來.

對(duì)于這個(gè)問題，我們可以這樣理解，不妨設(shè)該圓錐底面圓的半徑為r，畫出草圖（圖9）來，因?yàn)檎_地作圖往往可以幫助你更好地解決問題，而且也不容易出現(xiàn)思考上的盲點(diǎn).圓錐的側(cè)面積實(shí)際上就是圓錐展開后得到的扇形面積，根據(jù)扇形面積公式，可以很快地建立如下的方程觀察這個(gè)方程，其中只含有一個(gè)未知數(shù)r，得到r=2，此時(shí)可以很快地得到答案4π，不過在解決這一問題的時(shí)候，還需要關(guān)注一個(gè)關(guān)鍵詞“全面積”，這也是有些學(xué)生在答題時(shí)容易忽視的.

最后，通過以上三個(gè)問題的解答，筆者歸納一下今后中考可能出現(xiàn)的試題方向，綜合以上三類問題的共同特點(diǎn)結(jié)合起來命題可能是一個(gè)很好的方向.

圖9

1.陳克勝.基于數(shù)學(xué)文化的數(shù)學(xué)課程再思考［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009（1）.

2.徐明華.從一節(jié)隨堂課看數(shù)學(xué)文化教育的實(shí)施［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2010（7）.

3.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.