基于APOS理論的“代數式復習”教學設計探索

☉江蘇省江陰市敔山灣實驗學校 金岳

基于APOS理論的“代數式復習”教學設計探索

☉江蘇省江陰市敔山灣實驗學校 金岳

美國教育家杜賓斯基在上世紀80年代提出了一種關于數學概念教學的理論模型.他認為數學概念的建立應該包含以下四個階段：活動（Action）、程序（Process）、對象（Object）、圖示（Scheme），取四個階段的英文首字母，命名為APOS理論.APOS理論認為，學生學習數學概念的過程是一種自我心理的建構過程.因此，在數學概念的教學中，教師應努力引導學生經過思維的操作、過程和對象等多個階段，使學生在自主建構和不斷反思的基礎上，把概念組成圖示，不斷經過同化過程，完善自己的知識結構，順利完成對概念的理解和掌握.

鑒于APOS理論對于數學概念教學的科學性和實用性，筆者以蘇科版教材“代數式復習”為載體，對如何進行數學概念的教學設計進行一次有益的探索，借此談談筆者對于APOS理論運用于概念復習課的一些理解.

一、教學過程

（一）活動階段（Action）——提出問題，創(chuàng)設情境

教師：很好，剛才這位同學帶著我們梳理了本章知識要點，下面就來回顧做習題時我們曾經出現(xiàn)的錯誤，希望大家在今后的練習中引以為戒.

投影展示學生整理的錯題，教師歸納.

教師板演：單項式的系數、次數的錯誤.

（2）多項式-3a2b-x-y的次數是5，它是個五次三項式.

教師板演：多項式次數誤加.

教師板演：單項式、多項式、整式的歸類錯誤.

教師板演：去括號時系數漏乘.

教師板演：去括號時符號誤判.

教師：除了以上幾個錯誤，老師還提醒大家：（6）合并同類項時系數的誤算；（7）代數式求值時有理數運算出錯.這兩點也需要大家注意.

設計意圖：讓學生歸納整理練習中的錯誤，是對過去學習的回顧與反思，讓學生再次梳理平時曾出現(xiàn)的錯誤，更是對今后解題的提醒，學生自我的提醒比教師直接給出的提醒，對于學生來說印象更為深刻.

教后反思：本環(huán)節(jié)中，學生對于錯誤一眼識別，起到了很好的警示作用.同時也教會了學生在今后的學習中也要經常對自己犯過的錯誤回顧反思，避免相同錯誤的多次發(fā)生.

（二）過程階段（Process）——嘗試探索，體驗新知

（1）用代數式表示：

①比a的相反數大2的數________；②x的平方的3倍與-7的和________.

（3）單項式-π2x2y的系數是______，次數是_______.

（4）若5a4b與2a2xby是同類項，則x-y=___________.

讓學生練習，教師投影后，集體批改.

設計意圖：通過練習，進一步夯實基礎，也是對上一個環(huán)節(jié)的檢驗，趁熱打鐵，在練習中避免上述錯誤的發(fā)生.

教后反思：學生解題時，教師應該指出學生練習中的錯誤，實時批改，加深學生印象.

（三）對象階段（Object）——認識概念，動手操作

（1）請你按照如下的數字規(guī)律，分別寫出第n個數字：（n為正整數）

①2，4，6，8，10，…，____；

②1，3，5，7，9，…，____；

③3，5，7，9，11，…，____；

④2，4，8，16，32，…，______.

（2）用火柴棒按以下方式拼搭，第n個圖形需要_____根火柴棒.

把第一根火柴棒單獨看，第一個圖形需要（1+3）根火柴棒，第二個圖形需要（1+3×2）根火柴棒，…，所以第n個圖形需要（3n+1）根火柴棒.

……

把前兩根火柴棒單獨看，第一個圖形需要（2+5）根火柴棒，第二個圖形需要（2+5×2）根火柴棒，…，所以第n個圖形需要（5n+2）根火柴棒.

……

把前三根火柴棒單獨看，第一個圖形需要（3+7）根火柴棒，第二個圖形需要（3+7×2）根火柴棒，…，所以第n個圖形需要（7n+3）根火柴棒.

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學生分組討論，把前m根火柴棒單獨來看，第一個圖形需要（m+2m+1）根火柴棒，第二個圖形需要［m+ 2（2m+1）］根火柴棒，…，所以第n個圖形需要［m+（2m+ 1）n］根火柴棒.

設計意圖：讓學生感受到代數式是數學符號組成的語言，是刻畫數量關系的重要工具.在數學中，從幾個簡單的例子入手，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用代數式來表示規(guī)律，體現(xiàn)了數學中的歸納思想，讓學生了解數學思想方法.

教后反思：第（2）題中用代數式來表示規(guī)律，不僅可以從圖形中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據數形結合的思想，其實從前三小題中，也可以根據數的規(guī)律來得到第（2）題第④小問的規(guī)律，更為簡便.在數學歸納思想中，規(guī)律的推出還需要證明，還應指導學生將第一個圖形的答案代入式子，以檢驗用于表示規(guī)律的代數式是否正確.

（四）圖示階段（Scheme）——作圖比較，共同提高

學生到對照屏幕，進行講解，復習本章基本概念.

設計意圖：讓學生自行梳理知識結構，讓學生自主參與復習，培養(yǎng)學生復習的習慣，提高學生學習的積極性，讓學生的說代替教師的講，更好地體現(xiàn)課堂上以學生為主體的教學理念.

教后反思：在本環(huán)節(jié)中學生積極參與，在優(yōu)秀作業(yè)的展示中激發(fā)了學生學習的興趣，也教會了學生知識梳理的方法，對于以后學生其他知識的復習也起到了很好的示范作用.

二、課后反思

APOS理論認為，對于代數式概念的理解是一個循序漸進、螺旋上升、逐步深入的長期過程，因此教師對代數式概念的教學過程也必定是長期的，在這個漫長的過程中，筆者認為應該注意以下幾點.

1.關注概念形成和概念內涵之間的關系，選擇恰當的教學策略

幾何直觀是一種重要的科學的研究方式，它是認識科學知識的基礎，有助于學生對數學知識的理解.同時它又是一種創(chuàng)造性思維，是揭示現(xiàn)代數學本質特性的一個重要工具.教師在教學過程中，設法針對學生的認知特點，充分利用圖形幫助學生去認識和感受代數式的圖形應用，幫助學生建立用圖形觀念去解決問題的意識，讓學生借助圖形感受代數式在研究數學問題和生活實際問題中的作用，從而加深對代數式概念本質的認識和理解，同時也體現(xiàn)了幾何直觀、數形結合等重要數學思想方法在數學學習中的意義和作用.在代數式教學中，學習代數式的形式化表述是一個基本要求，我們更主要的是讓學生理解為何要形式化、為何要這樣形式化，突出對數學本質的認識，否則生動活潑的數學思維活動將淹沒在形式化的海洋里.所以在教學中，應當把直觀和形式進行有機結合，通過對生活現(xiàn)象中的典型案例進行直觀分析和自主探索，讓學生體驗代數式概念逐步形成的過程，感受蘊含其中的數學思想方法，跟隨代數式概念發(fā)展的足跡，將數學知識從抽象的學術形態(tài)轉化為學生易于接受的教育形態(tài).在創(chuàng)設問題情境時要注意：問題情境要適合學生的生活體驗，并且能夠揭示代數式概念的現(xiàn)實背景、形成過程.

2.重視與其他知識的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的數學思維能力

本課是《代數式》一章的復習課，對于基本概念、基本知識、基本技能的掌握，在復習課上不應該是簡單的重復，所以采取了學生自主復習的形式，讓學生自己梳理知識脈絡，自己歸納整理錯題，讓所有學生參與到復習中來，也指導了學生復習的方法，希望學生學會復習.溫故而知新，希望學生通過本課能有所提升，讓學生更深刻地理解本章內容，所以對本章涉及的數學思想進行了整理復習.代數式作為方程及函數學習的基礎，對于后續(xù)的學習有著非常重要的作用，因此這一點也應在本課上讓學生有所體會.在課堂上，還有許多細節(jié)之處沒有很好地處理，也需要在今后的教學中不斷改進提高.

所以在教學過程中，教師應該關注學生代數式概念的認知發(fā)展情況，不斷調整教學策略，引導學生運用觀察、分析、抽象、綜合等數學思維方法主動獲取知識，在總結歸納中幫助學生理清知識結構，為進行更高層次的思維活動打好基礎.同時合理設計問題，促使學生進行積極地反思，“為何這么做”“如何得到”等，在總結和反思中形成數學思想方法.這對學生的代數式概念認知從“活動”到“過程”再到“對象”，最后建立“圖式”這樣分層次的建構過程有著重要意義.

1.張維忠.文化視野中的數學與數學教育［M］.北京：人民教育出版社，2005.

2.朱宸材，浦敘德.慧眼識圖巧手指路思維提煉［J］.中學數學教學參考（中），2013（9）.

3.于新華，楊之.數學理解的層次性及其教學意義［J］.數學通報，2005（2）.Z