一個說題比賽的案例

●陳芝飛(溫州市第十四高級中學(xué)浙江溫州32500)

一個說題比賽的案例

●陳芝飛(溫州市第十四高級中學(xué)浙江溫州32500)

2014年12月18日，浙江省第2屆高中數(shù)學(xué)說題比賽在寧波市鄞州中學(xué)落下帷幕，本次比賽分個人賽、接力賽，共6道精彩紛呈的題目.筆者有幸聆聽，感慨良多，受益匪淺.說題的對象盡管是教師，但醉翁之意不在酒，說題的目的是為了學(xué)生，正所謂此時無“生”勝有“生”.筆者就其中個人賽的第2題談?wù)勅绾巍罢f題”.

題目在非等腰直角△ABC中，已知∠C= 90°，D是BC的一個三等分點(diǎn).若，求sin∠BAC的值.

1 說解法

解法1設(shè)BC=3a，AC=b，∠BAD=α，∠BAC=β，因?yàn)椤螩=90°，所以α為銳角，又，可得.由題意知D是BC的三等分點(diǎn)，可得:

1)如圖1，若DC=a，則

2)若DC=2a，則易得2tanβ=3tan(β－α)，又，得

圖1

圖2

解法2(解析法)如圖2建立直角坐標(biāo)系，D是BC的三等分點(diǎn).若，則kAB=3kAD，又，從而

解法3不妨假設(shè)BC=3a，AC=1，D是BC的三等分點(diǎn).若，則

解法4(等面積法)不妨假設(shè)BC=3a，AC=1， D是BC的三等分點(diǎn).若，則

此外，本題還有向量法、正弦定理法、構(gòu)造直角三角形法等.

2 說背景及本質(zhì)

本題源于2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題:如圖3，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點(diǎn)，若，則sin∠BAC= ______.

圖3

其本質(zhì)是解三角形問題，即求三角形的3條邊及3個角的問題.將中點(diǎn)改為一個三等分點(diǎn)后，情況變復(fù)雜了，sin∠BAC的值的個數(shù)也發(fā)生了變化.

3 說教學(xué)功能

本題解法多樣，是培養(yǎng)學(xué)生一題多解、訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)秀思維品質(zhì)的好題.既考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性、發(fā)散性，也考查了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的敏銳性與創(chuàng)新性.體現(xiàn)了浙江省客觀題命制“起點(diǎn)低，入口寬，重通解，有內(nèi)涵，能力立意，重視思想，講究策略，小題不大做”的高考導(dǎo)向.既能幫助學(xué)生梳理關(guān)于解三角形問題的常用解法(如正弦、余弦定理法，向量法等)，也能培養(yǎng)學(xué)生優(yōu)化運(yùn)算能力與滲透解方程思想(如解法3、解法4，先固定AC=1，化兩元為一元，再分別用余弦定理、等面積法建立關(guān)于a的一元方程求解)，既能培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸能力(如解法1)，也能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維與優(yōu)化解題策略(如解法2，聯(lián)想到直線斜率與傾斜角，解析法建系用到角公式解題等).

4 拓展與延伸

變式1(一解到多解)在△ABC中，已知∠C=90°，D是BC的一個三等分點(diǎn).若，求tan∠BAC的值.

解設(shè)BC=3a，AC=b，∠BAD=α，∠BAC=β，因?yàn)椤螩=90°，所以α為銳角，又，從而.由題意知D是BC的三等分點(diǎn)，可得:

延伸cos∠BAD的值將影響tan∠BAC的解的個數(shù)，為方便交流，將tan∠BAD記為m，tan∠BAC記為n，其中m＞0，n＞0，變式1也就是探討m對n的解的個數(shù)的影響，用解析法易得:

變式2(定值到最值)在△ABC中，已知∠C=90°，D是邊BC上的一個點(diǎn)(不含點(diǎn)B，C).若CD=λBC，求tan∠BAD的最大值.

解設(shè)∠BAD=α，∠BAC=β.由于∠C=90°， CD=λBC，D是邊BC上的一個點(diǎn)(不含點(diǎn)B，C)，得tanβ＞0，λ∈(0，1).又由CD=λBC得

延伸本題也可以逆向設(shè)問改為求值問題:在△ABC中，已知∠C=90°，D是邊BC上的一個點(diǎn)(不含點(diǎn)B，C).若CD=λBC，且tan∠BAD的最大值為，求λ的值.

關(guān)于說題的功能，筆者認(rèn)為:一是能提高教師的解題素養(yǎng);二是能提高教師的教學(xué)素養(yǎng).這2者都是為了學(xué)生更好地學(xué).因此，說題具有教學(xué)功能.反思學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)，其中一個重要原因是我們不能有效地幫助學(xué)生開竅，從而失去了數(shù)學(xué)對于學(xué)生的教育功能.通過說題，至少需要解決以下5個問題:1)解答嚴(yán)密嗎?有沒有重復(fù)和遺漏?2)這道題還有沒有其他解法?3)你會變式嗎，甚至把這道題目變得面目全非?4)你會用類比的方法把這道題的結(jié)論進(jìn)行推廣嗎?5)這道題是怎么構(gòu)造出來的，它的背景是什么?這些問題分別從縱向研究挖掘思維的深度、橫向聯(lián)系培養(yǎng)思維的寬度、延伸拓展成就思維的高度.觸及數(shù)學(xué)本質(zhì)的教學(xué)更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，才能實(shí)現(xiàn)“減負(fù)提質(zhì)”的有效教學(xué).

［1］葛建華.讓“研題”成為數(shù)學(xué)教師的解題習(xí)慣［J］.中小學(xué)教學(xué)研究，2013(7):55-57.

［2］陸學(xué)政.數(shù)學(xué)教師更需培養(yǎng)研題意識與研題能力［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2010(5):6-8.

［3］陳柏良.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中開展說題活動的實(shí)踐與思考［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2002(6):20-22.