大規(guī)模電網(wǎng)電磁暫態(tài)快速仿真方法

姚蜀軍，韓民曉，汪燕，萬磊

(1．華北電力大學，北京市102206;2．中國電力科學研究院，北京市100192)

0 引言

機電暫態(tài)仿真系統(tǒng)是分析電力系統(tǒng)穩(wěn)定的重要工具。隨著與直流輸電(high voltage direct current，HVDC)、柔性交流輸電(flexible AC transmission systems，F(xiàn)ACTS)、大規(guī)模新能源發(fā)電等相關(guān)的電力電子裝置和其他非線性元件廣泛應(yīng)用于電力系統(tǒng)，這些元件引起的波形畸變及其快速暫態(tài)過程對系統(tǒng)機電暫態(tài)過程的影響越來越大，機電暫態(tài)仿真已不能滿足電力系統(tǒng)的仿真需求。與機電暫態(tài)仿真不同，基于詳細建模和小步長的電磁暫態(tài)仿真在精確的電路層面上對系統(tǒng)元件進行建模、分析，并計算得到各種暫態(tài)響應(yīng)的時域波形，可以體現(xiàn)系統(tǒng)的電磁暫態(tài)行為［1-3］。然而，電磁暫態(tài)過程的變化很快，仿真步長一般選取μs級(50～100 μs)。由于所選取的步長小，占據(jù)的內(nèi)存大，計算速度很慢，這使電磁暫態(tài)仿真程序的仿真規(guī)模受到了限制。為此，人們嘗試多種方法來提高電磁暫態(tài)的仿真速度，擴大計算規(guī)模，這些方法可以分為以下幾類。

(1)實時仿真。針對應(yīng)用類型的不同，電磁暫態(tài)仿真可分為離線仿真和實時仿真。對于實時仿真，除了軟件技術(shù)外，還需要相關(guān)硬件裝置的配合。然而，考慮到經(jīng)濟性和硬件條件的限制，目前實時仿真器不能完全取代離線的仿真工具，并且仿真規(guī)模較小。

(2)改進模型。文獻［4-7］基于信號調(diào)制理論，提出了動態(tài)相量方法。該方法在信號的1個周期內(nèi)，得到信號的傅立葉系數(shù)，并基于不同頻次的傅立葉系數(shù)，通過Hilbert變換構(gòu)建不同頻次的動態(tài)相量。此時的方程包含代數(shù)和微分2部分，可以體現(xiàn)系統(tǒng)的動態(tài)行為。然而，動態(tài)相量法需要進行傅立葉分解，使其本質(zhì)上不能用于瞬時信號，而是對信號的一種動態(tài)平均處理。特別是在信號非線性的情況下，無法進行傅立葉分解，其精度難以保證。例如，對于傳統(tǒng)晶閘管型的HVDC，當不考慮換相失敗時，基于動態(tài)相量的模型比較準確，而當出現(xiàn)換相失敗時，由于此時閥電流的無規(guī)律性，無法進行動態(tài)相量的準確建模，因此，其換相失敗時的仿真精度很差。此外，對于基于IGBT的全控器件裝置，由于開關(guān)頻率很高，諧波次數(shù)也很高，需要同時建立與高次諧波對應(yīng)的動態(tài)相量方程，因而會極大增加求解的方程數(shù)，同時由于高次諧波的頻率很高，并不能有效減小仿真步長，因此，也不能有效減少仿真時間。文獻［8-11］提出了一種頻率偏移(shifted frequency analysis，SFA)的思想，通過對電力系統(tǒng)信號的頻率進行偏移處理，將快變化變成慢變化，從而增大仿真步長，但文中并沒有給出算例驗證。

(3)混合仿真。利用電磁暫態(tài)和機電暫態(tài)的各自特點，文獻［11-17］提出了混合仿真［11-17］。但是，由于電磁暫態(tài)仿真采用三相瞬時值的電磁暫態(tài)模型，暫態(tài)過程中，包含大量諧波成分，而機電暫態(tài)仿真采用基波有效值的機電暫態(tài)模型，機電暫態(tài)部分無法對電磁暫態(tài)部分的不同頻率進行響應(yīng)。為此，基于Prony方法等效和頻率相關(guān)網(wǎng)絡(luò)等值(frequency dependent network equivalent，F(xiàn)DNE)的電磁 － 機電暫態(tài)解耦混合仿真模型被提出。這類方法，通過辨識，得到交流網(wǎng)的頻率響應(yīng)等值模型，將其接入電磁暫態(tài)部分。然而，由于這類方法無法處理非線性元件，且系統(tǒng)規(guī)模越大，辨識越困難。

(4)并行與多速率。文獻［18-29］針對電磁暫態(tài)的快過程和機電暫態(tài)的慢過程，提出多速率的思想，對于需要詳細仿真的采用小步長，對于不需要詳細仿真的采用大步長。這些文獻中對于大步長采取什么方法沒有提及，而不同的大步長方法會極大影響仿真的精度、小步長和大步長間的接口方法和設(shè)計。

此外，并行也是一種提高計算速度的思路，目前，基于GPU的并行仿真，是最新的研究趨勢［15-19］。但是，由于GPU只能進行細粒度的簡單計算，特別是不能很好地處理稀疏矩陣或向量的計算，當沒有一個高效的稀疏矩陣求解方法出現(xiàn)之前，還看不到其良好的應(yīng)用前景。

本文提出一種電磁暫態(tài)的快速仿真方法。與SFA構(gòu)造方法不同，本方法是基于坐標系旋轉(zhuǎn)變換的思想進行推導的，通過旋轉(zhuǎn)變換降低信號的頻率，可以根據(jù)需要，靈活調(diào)節(jié)仿真步長，從而加快仿真速度。實際上，基于該方法還可以實現(xiàn)一種多速率的混合方法，對含有電力電子裝置或人為設(shè)定的部分采用小步長電磁暫態(tài)仿真，對于不需詳細了解的交流網(wǎng)部分采用本文的大步長電磁暫態(tài)仿真。小步長和大步長間按一定的原則接口，可以方便地實現(xiàn)并行計算。本文只給出大步長快速仿真的原理及仿真驗證，多速率混合仿真的方法將在后續(xù)文章中給出。

1 大步長電磁暫態(tài)仿真方法的提出

電力系統(tǒng)時域數(shù)字仿真可以看作是對電力系統(tǒng)信號的采樣。根據(jù)Shannon采樣定理，采樣頻率應(yīng)該至少是原始信號頻率的2倍才能保證采樣不丟失原始信號的信息。電磁暫態(tài)數(shù)字仿真中，根據(jù)精度要求，與仿真步長對應(yīng)的采樣頻率一般為原始信號的10倍［30］。顯然，如果能夠顯著降低原始信號的頻率，那么采樣頻率也會相應(yīng)減小，從而可以增大對應(yīng)的仿真步長，加快仿真速度。

式(1)是常用的從αβo靜止坐標系到dqo旋轉(zhuǎn)坐標系的旋轉(zhuǎn)變換，α、β、o是由三相信號構(gòu)造的。其變換結(jié)果，使αβ的工頻信號在三相對稱的情況下，變換成dq的直流信號。如果能在dqo旋轉(zhuǎn)坐標系下對這個直流信號進行數(shù)字仿真，顯然可以設(shè)定較大的仿真步長。

三相對稱時o軸實際和其他2個軸是解耦的，此時式(1)可以簡化成式(2)，即

由電機學知識可知，三相不對稱時，靜止坐標系下工頻變化的量在發(fā)電機中會感應(yīng)出不同頻率的量，這時旋轉(zhuǎn)坐標系下信號的頻率反而比靜止坐標系下的工頻大得多，無法實現(xiàn)大步長。

本文借鑒上述思想，通過構(gòu)造單相信號而不是三相信號的旋轉(zhuǎn)變換實現(xiàn)信號頻率的降低，并且沒有上述的發(fā)電機問題，從而實現(xiàn)大步長的仿真。

1.1 復數(shù)信號的旋轉(zhuǎn)變換

交流電網(wǎng)中，電壓、電流x(t)是以工頻為主導頻率的正弦窄帶信號，即

其相量形式為

如果幅值不滿足準穩(wěn)態(tài)條件，可用式(5)來描述:

式中A(t)表示信號的幅值包絡(luò)。

信號的相量形式相應(yīng)變?yōu)?/p>

在靜止坐標系下，假設(shè)能夠從x(ω，t)構(gòu)造一個復數(shù)信號:

可以通過下面的變換建立Xdq(t)與Zxy(ω，t)間的關(guān)系:

將式(8)按實部和虛部展開:

觀察Xdq(t)與Zxy(ω，t)，式(9)實現(xiàn)了與式(2)相同的從靜止坐標系x－y到旋轉(zhuǎn)坐標系d－q的旋轉(zhuǎn)變換，也即式(8)中e－jωt是一個旋轉(zhuǎn)變換。在d－q旋轉(zhuǎn)坐標系中，xd(t)=A(t)cosθ，xq(t)=A(t)cosθ，不再是直流信號，但是由于A(t)是x(t)的包絡(luò)，其頻率較低，可以采用大步長。

當系統(tǒng)的頻率存在波動或偏差時，d－q坐標系的旋轉(zhuǎn)頻率ωr可以與信號頻率ω不同，設(shè):

對式(8)可做類似的旋轉(zhuǎn)變換:

按實部和虛部展開:

當ω，ωr相差不大時，Δω是一個比較小的數(shù)，xd(ω，ωr，t)，xq(ω，ωr，t)是一個低頻變化的量，式(12)、(13)實現(xiàn)的是快變信號與慢變信號間的旋轉(zhuǎn)變換，仍然可以采用大步長。

值得注意的是，這里的旋轉(zhuǎn)變換與式(1)、(2)的不同之處在于其是按單相進行的，因此沒有Park變換中由于三相不對稱負序產(chǎn)生倍頻而影響仿真步長大小的問題。

1.2 復數(shù)信號構(gòu)造

上述的變換實際是這樣一個過程:

因此，關(guān)鍵是如何從一個實數(shù)信號x(t)構(gòu)造出一個復數(shù)信號Zxy(t)。由于zx(ω，t)=x(t)，實際上就是如何構(gòu)造出正交的zy(ω，t)。交流電網(wǎng)中，電壓、電流即x(t)一般為正弦量，利用這一特點，可以有下面幾種方法。

(1)積分變換。由于微分變換會對高次諧波放大。根據(jù)電力系統(tǒng)信號的特點，也可以采用積分變換來構(gòu)造，即zy=ω∫zxdt。當含有諧波時，設(shè)

則:

從式(15)中可看出，諧波次數(shù)在分母上，因此，高次諧波的存在不會影響zx(ω，t)與zy(ω，t)的正交性，且諧波次數(shù)對數(shù)值影響不大。正常情況下，交流網(wǎng)中的諧波比例很小，系統(tǒng)的主導頻率仍然是基波。因此，經(jīng)過基波變換后zy與zx是近似正交的。

(2)Hilbert變換。在動態(tài)相量中用Hilbert變換來構(gòu)造zy(ω，t)。其特點是能在各頻次下保證實現(xiàn)zy與zx正交。但是由于Hilber變換是一個與原始信號的卷積，其計算量很大，影響了仿真速度。本文采用方法(1)來構(gòu)造單相的復數(shù)信號。

2 大步長下基本元件的電磁暫態(tài)等值模型

可以用式(16)得到原信號x(t):

則電壓和電流的實際信號u(t)、i(t)可用d－q下的復數(shù)信號還原。為了簡潔，不再給出頻率參數(shù)項，即:電磁暫態(tài)仿真中電力元件一般采用Dommel等值模型，下面推導d-q坐標系下各元件的Dommel等值模型。

2.1 電阻模型

可見，在d-q坐標系下，電阻的形式與靜止坐標系下一致。

2.2 電感模型

設(shè)RL=2L/h，ZL=RL+jωrL，YL=1/RL+jωrL ，Z*L=RL－ jωrL則式(31)可記為

即

寫成Dommel的等值形式:

其中，iL．dq．his(t)=YLudq(t－ h)+表示歷史電流。

需要注意的是，以上變量都為復數(shù)。

2.3 電容模型

與電感類似:

寫成Dommel的等值形式:

其他設(shè)備如發(fā)電機、變壓器、傳輸線、電動機等因為篇幅所限這里不一一推導。

3 電磁暫態(tài)仿真步長的選取

上面元件的公式中，由于出現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)頻率ωr，隨著ωr的取值不同，可以實現(xiàn)仿真步長的自適應(yīng)調(diào)整。當需要詳細仿真時，取ωr=0，即不旋轉(zhuǎn)，仿真可以取小步長，當不需要詳細仿真時，取ωr為主導頻率50 Hz，變換到旋轉(zhuǎn)坐標系下，可以取大步長。此外，ωr如果取次同步振蕩的頻率，還可以用來進行次同步振蕩的仿真分析。一般，對于含有電力電子器件的FACTS、HVDC等裝置時，由于其開關(guān)頻率高，仿真可以取小步長，而對于常規(guī)的交流電網(wǎng)部分，其主導頻率為工頻，可以將旋轉(zhuǎn)頻率設(shè)為工頻，通過旋轉(zhuǎn)變換后，仿真可以取大步長。

實際上，以此為基礎(chǔ)可以設(shè)計一種多速率的混合仿真方案。該方案中應(yīng)該充分考慮如下幾個因素:(1)如何方便地實現(xiàn)不同速率仿真的接口;(2)該接口是否易于實現(xiàn)不同速率仿真的并行計算;(3)采用何種高效的電網(wǎng)劃分和并行計算方法。限于篇幅，這些研究將在后續(xù)文章中給出。

4 算例

這里給出IEEE14的仿真算例，以驗證本文提出的大步長快速仿真的有效性，如圖1所示。為了簡化程序，其中發(fā)電機目前用等值電壓源代替，線路用π型集中等值模型。

圖1 IEEE 14節(jié)點系統(tǒng)圖Fig.1 IEEE 14 node system

圖2 是支路1－5首端電流的仿真結(jié)果。其中EMTDC表示的是采用PSCAD/EMTDC軟件的仿真結(jié)果。小步長、大步長是本文程序采用不同仿真步長的結(jié)果。EMTDC的仿真步長為100 μs，小步長為100 μs，大步長為5 ms。圖2(a)表示的是瞬時值，圖2(b)是為了比較精度，對圖2(a)的局部放大。從仿真結(jié)果可以看出，本文的仿真步長可以靈活設(shè)置，精度與PSCAD/EMTDC的精度近似一致。

5 結(jié)語

本文基于坐標系旋轉(zhuǎn)變換的思想，提出了一種大步長的快速電磁暫態(tài)仿真方法。仿真算例表明本方法具有可行性。由于目前的工作尚處于初始階段，發(fā)電機、傳輸線等模型的完善還需進一步開展。此外，基于該方法還可以實現(xiàn)一種多速率的混合方法，對含有電力電子裝置或人為設(shè)定的部分采用小步長電磁暫態(tài)仿真，對于不需詳細了解的交流網(wǎng)部分采用本文的大步長電磁暫態(tài)仿真。小步長和大步長間按一定的原則接口，可以方便地實現(xiàn)并行計算。這些工作留待后面繼續(xù)深入研究。

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