關(guān)于平衡態(tài)下費(fèi)米氣體最小冷原子數(shù)目的討論

劉艷萍

（山西職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程與自動(dòng)化系，山西太原030006）

（編輯 郭繼榮）

0 引言

近年來，超冷量子氣體理論是人們關(guān)注的研究領(lǐng)域之一.然而，人們研究超冷、弱相互作用的玻色氣體的觀點(diǎn)比較多，相比較而言，對超冷費(fèi)米氣體的研究理論卻比較少[2].研究發(fā)現(xiàn)，玻色氣體可以在極低溫度下發(fā)生玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象（BEC），而費(fèi)米氣體卻不能實(shí)現(xiàn).但是，簡并的費(fèi)米氣體系統(tǒng)可在極低溫度下利用合適的條件將費(fèi)米子形成庫柏對，顯現(xiàn)出一些宏觀的量子效應(yīng)，例如超導(dǎo)、超流等現(xiàn)象[2]，這一點(diǎn)與玻色系統(tǒng)極為相似.

1 超冷費(fèi)米氣體的研究現(xiàn)狀

20世紀(jì)90年代以來，人們對超冷原子氣體的特性進(jìn)行了大量的研究，主要從玻色氣體和費(fèi)米氣體兩方面認(rèn)識了相互作用的量子系統(tǒng).而組成這兩種量子氣體的粒子間所表現(xiàn)出的弱相互作用會(huì)極大地影響量子系統(tǒng)的性質(zhì).自從人們在實(shí)驗(yàn)上獲得堿金屬原子的玻色-愛因斯坦凝聚體以來[1]，為了實(shí)現(xiàn)分子的BEC，科學(xué)家們針對超冷費(fèi)米氣體的性質(zhì)做了大量的研究，而且取得了很大的進(jìn)步.

費(fèi)米子和玻色子的自旋差異使得它們有完全不同的特性，費(fèi)米子具有半整數(shù)的自旋，它是一種像電子的粒子；玻色子具有整數(shù)自旋[4]209~210，它是一種像光子的粒子.任何兩個(gè)費(fèi)米子都不可能有相同的量子態(tài)，如像6Li或40K這樣的費(fèi)米子，即使在極低的溫度下也具有或多或少不同的特性.物理學(xué)家們?yōu)榱藢?shí)現(xiàn)分子的BEC現(xiàn)象，采用了以下的方法：假設(shè)有兩組費(fèi)米氣體，全都被束縛在光勢阱中，且外加均勻的磁場，則可以利用磁場Feshbach共振的思想[1]來改變不同內(nèi)部狀態(tài)的原子之間的相互作用.當(dāng)外加磁場的強(qiáng)度小于共振磁場的強(qiáng)度時(shí)，原子間的相互作用主要表現(xiàn)為排斥作用，不同內(nèi)部態(tài)的原子會(huì)緊密結(jié)合在一起形成分子.在溫度低于某一臨界溫度的條件下就會(huì)發(fā)生分子的BEC現(xiàn)象.具體來講，就是物理學(xué)家將兩個(gè)費(fèi)米子轉(zhuǎn)變成一個(gè)玻色子，即兩個(gè)半整數(shù)的自旋結(jié)合組成一個(gè)整數(shù)自旋，成對的費(fèi)米子起到了玻色子的作用，能在極低的溫度下出現(xiàn)分子的BEC現(xiàn)象.利用這種方法，目前世界上已有多個(gè)實(shí)驗(yàn)小組成功地實(shí)現(xiàn)了分子的玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象.

之后不久，人們又很快通過實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)了原子庫柏對的凝聚體，并對它的性質(zhì)做了大量的研究[1].對于費(fèi)米冷原子系統(tǒng)，在外加磁場的強(qiáng)度大于共振磁場強(qiáng)度時(shí)，原子間的相互作用主要表現(xiàn)為弱吸引作用，并可配對形成弱束縛的費(fèi)米原子對.在低溫條件下，可形成費(fèi)米原子對的凝聚體.目前，超冷簡并費(fèi)米氣體正成為理想的研究強(qiáng)關(guān)聯(lián)體系的實(shí)驗(yàn)對象，對于超冷簡并費(fèi)米氣體的理論和實(shí)驗(yàn)研究正在進(jìn)行，并處于蓬勃發(fā)展時(shí)期.這些研究將進(jìn)一步深化原子物理、凝聚態(tài)物理等學(xué)科間的結(jié)合，同時(shí)會(huì)解決一些固態(tài)物理中尚存的問題.

2 平衡態(tài)下弱相互作用費(fèi)米氣體的最小冷原子數(shù)估算的思路及熱容量的導(dǎo)出

要估算出低溫下弱相互作用費(fèi)米氣體的最小粒子數(shù)的量級，我們必須先知道此時(shí)氣體熱容量的表達(dá)式，即熱容量是非常關(guān)鍵的一個(gè)物理量，下面我們所做的工作就是利用熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理的知識求出這個(gè)定容熱容量的解析式，主要分無外磁場和諧振勢約束兩種情況來分別討論.

2.1 無外磁場情況的弱相互作用費(fèi)米氣體的熱容量

假設(shè)有一限定在體積V中的系統(tǒng)，由N個(gè)自旋為1 2、弱相互作用的費(fèi)米子組成，其能譜為：

上式中的p為量子態(tài)的動(dòng)量；m為單個(gè)粒子的質(zhì)量；?＝h 2π，其中h為普朗克常量；N↑、N↓分別表示自旋為向上、向下的總粒子數(shù)；np↑、np↓分別表示處于動(dòng)量為p的量子態(tài)上且自旋為向上、向下的粒子數(shù)目；ɑ為波散射的長度（存在于粒子之間的相互作用的），它滿足以下式子所表示的弱相互作用的條件：

p

根據(jù)式（1）可得到該系統(tǒng)的配分函數(shù)[2]為：

對于弱相互作用的費(fèi)米系統(tǒng)，總有kF0ɑ＜π 2（其中kF0為對應(yīng)于費(fèi)米能級EF0的波數(shù)），且N↑＝N 2時(shí)（4）式中的求和項(xiàng)最大，故（4）式可表示為：，再由（3）式得到費(fèi)米系統(tǒng)的自由能[2]為：

再由以上的式子可求出系統(tǒng)的化學(xué)勢、內(nèi)能和定容熱容量[2]，它們分別表示為：

我們僅討論低溫時(shí)系統(tǒng)的這幾個(gè)熱力學(xué)量，經(jīng)計(jì)算得低溫極限下系統(tǒng)的化學(xué)勢、內(nèi)能和定容熱容量分別為：

上式中的EF0＝ （?22m）（3π2n ）23為理想費(fèi)米系統(tǒng)的費(fèi)米能[5]87~92，TF0＝EF0kB為費(fèi)米溫度，λF0＝

2.2 諧振勢約束情況的弱相互作用費(fèi)米氣體的熱容量

現(xiàn)討論一約束在諧振外勢中的弱相互作用的費(fèi)米氣體，設(shè)束縛在光勢阱中的費(fèi)米原子感受到的外勢可近似為如下的諧振勢：

式中的x、y和z為費(fèi)米粒子在三個(gè)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)，ωx、ωy和ωz為諧振勢沿三個(gè)坐標(biāo)軸的角頻率.處于外勢中的非均勻系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的化學(xué)勢可表示為：

同理，非均勻系統(tǒng)空間r處的能量密度ε（）

r[2]可表示為：

再通過數(shù)學(xué)運(yùn)算我們可求出外勢中弱相互作用費(fèi)米系統(tǒng)的粒子數(shù)密度n（）r和能量密度ε（）r的表達(dá)式分別如下：

上式中的z為系統(tǒng)的無相互作用逸度，現(xiàn)將化學(xué)勢μ和內(nèi)能U分別表示為z的函數(shù)[2]，結(jié)果是：

接下來我們著重討論低溫時(shí)弱相互作用費(fèi)米氣體的這幾個(gè)熱力學(xué)量，將以上式子通過大量的運(yùn)算可得到超低溫下、弱相互作用的費(fèi)米氣體在諧振勢約束條件下的化學(xué)勢、內(nèi)能和熱容量的解析表達(dá)式[2]分別為：

再由下式求解系統(tǒng)的熱容量：

3 熱平衡狀態(tài)下弱相互作用費(fèi)米氣體的最小冷原子數(shù)的估算

3.1 估算方法

超低溫下，一個(gè)系統(tǒng)若能滿足熱力學(xué)第三定律，且溫度的漲落必須足夠小[3]，這是一個(gè)系統(tǒng)能夠達(dá)到熱力學(xué)平衡狀態(tài)必備的條件.

由度的相對漲落公式[4]得到溫度的漲落公式：

由于經(jīng)典粒子系統(tǒng)的熱容量Cx與粒子數(shù)N成正比，即Cx∝N k[4]，故相對溫度漲落當(dāng)相對溫度漲落趨近于零時(shí)，系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)，此時(shí)粒子數(shù)很大[3].

表示每個(gè)粒子的平均熱容量，則有低溫下系統(tǒng)達(dá)到平衡態(tài)時(shí)所具有的最小粒子數(shù)為：

以下部分將按照這種討論方法分別求出兩種情況下弱相互作用下費(fèi)米系統(tǒng)最小粒子數(shù)的量級.

3.2 具體估算過程

3.2.1無外磁場的情況

由式（12）和式（24）得到無外加磁場時(shí)，超低溫的弱相互作用的費(fèi)米氣體單個(gè)粒子的平均熱容量為：

將式（26）代入式（25）得

由此式可知，低溫下、無外磁場情況下的弱相互作用費(fèi)米氣體，系統(tǒng)要處于熱力學(xué)平衡態(tài)時(shí)所需的最小粒子數(shù)目會(huì)隨溫度的降低而迅速增加，即低溫溫度越低，系統(tǒng)的粒子數(shù)目Nmin將越大.

在此，近似給α取一個(gè)很小的定值，如α＝0.001，π＝3.14，經(jīng)查得得出Nmin≈2.03×107個(gè)，因此，低溫下、無外磁場情況下的弱相互作用費(fèi)米氣體要達(dá)到熱力學(xué)平衡狀態(tài)，至少需要數(shù)目量級為107的粒子數(shù)存在.，將這幾個(gè)數(shù)值代入式（27）

3.2.2諧振勢約束的情況

由式（23）和式（24）可得到有諧振勢約束時(shí)、超低溫的弱相互作用的費(fèi)米氣體單個(gè)粒子的平均熱容量為：

將式（28）代入式（25）得：

由此式可知，低溫下、受諧振勢約束的情況下的弱相互作用費(fèi)米氣體，系統(tǒng)要達(dá)到熱平衡態(tài)時(shí)所需的最小粒子數(shù)會(huì)隨溫度的降低而迅速增加，即低溫溫度越低，系統(tǒng)的粒子數(shù)目Nmin反而越大.

4 結(jié)論

文章主要研究了超低溫下、處于熱力學(xué)平衡態(tài)的費(fèi)米氣體可能具有的最小的粒子數(shù)，并試著應(yīng)用統(tǒng)計(jì)物理等知識得到費(fèi)米氣體的定容熱容量Cr的解析表達(dá)式，再利用熱容量與平衡態(tài)下冷原子的最小數(shù)目Nmin之間的關(guān)系分析討論了弱相互作用費(fèi)米氣體在無外磁場和諧振勢約束兩種情況，給出了對這種系統(tǒng)的最小粒子數(shù)量級的估計(jì).由此可知，在低溫極限下，對于一個(gè)弱相互作用費(fèi)米氣體系統(tǒng)，無外磁場情況下至少要有量級為107的粒子才能構(gòu)成一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，而諧振勢約束情況下則至少需要量級為105的粒子.

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