聚焦“點(diǎn)差法”應(yīng)用的三重境界

王榮鑫

“點(diǎn)差法”是圓錐曲線中的常見方法，如果能恰當(dāng)使用，可以降低運(yùn)算量，優(yōu)化解題過(guò)程. 我們對(duì)“點(diǎn)差法”的掌握也有境界高低之分，特舉以下幾例，談?wù)匋c(diǎn)差法在應(yīng)用中的三重境界.

術(shù)：熟練應(yīng)用，解決中點(diǎn)和斜率相關(guān)問(wèn)題

1. 點(diǎn)差法的步驟

設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），將A，B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，兩式作差后分解因式，得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，我們稱之為“點(diǎn)差法”. 應(yīng)用“點(diǎn)差法”的常見題型有：求中點(diǎn)弦方程、求弦中點(diǎn)軌跡、垂直平分線問(wèn)題，等等. 舉例如下：

例1 已知AB是橢圓+=1（a>b>0）不垂直于x軸的任意一條弦，P是AB的中點(diǎn)，O為橢圓的中心，求證：直線AB和直線OP的斜率之積是定值.

解答：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）且x1≠x2，則+=1 ①，+=1 ②.

①-②得=-，所以=-，所以kAB== -. 又kOP=，所以kAB= -·，所以kAB·kOP=-，原式得證.

2. 點(diǎn)差法的誤區(qū)

雖然“點(diǎn)差法”簡(jiǎn)潔易算，但仍存在著應(yīng)用的誤區(qū)：忽視直線與圓錐曲線必須有兩個(gè)不同的交點(diǎn)這一前提條件. 正確套用“點(diǎn)差法”的模型，按照步驟熟練求解，并明確知道它的適用條件，是第一重境界，我們不妨稱之為點(diǎn)差“術(shù)”. 舉例如下：

例2 已知雙曲線x2-y2=1，過(guò)B（1，1）能否作直線l，使l與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且B是線段PQ的中點(diǎn)，這樣的直線如果存在，求出它的方程；如果不存在，說(shuō)明理由.

解答：假設(shè)這樣的直線存在，設(shè)P，Q的坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2），則x1+x2=2，y1+y2=2. 又x-y=1 ①，x-y=1 ②.

①-②得（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）·（y1-y2）=0，所以2（x1-x2）-（y1-y2）=0，所以PQ的斜率k==2. 所以l的方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1.

（注：我們通常在這里匆匆結(jié)束，造成失誤.）

但若將y=2x-1代入x2-y2=1整理得方程2x2-4x+3=0，而此方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以滿足題設(shè)的直線不存在.

法：適時(shí)應(yīng)用，抓住整體代換的方法解題

很多同學(xué)認(rèn)為：“點(diǎn)差法只能解決同時(shí)與斜率、中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題. ”這句話有待商榷，因?yàn)辄c(diǎn)差法是“整體代換，設(shè)而不求”方法的具體運(yùn)用，并非只有同時(shí)出現(xiàn)中點(diǎn)或者斜率時(shí)才能應(yīng)用，舉例如下：

例3 （2011年高考江蘇卷）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M，N分別是橢圓+=1的頂點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中點(diǎn)P在第一象限. 過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B. 設(shè)直線PA的斜率為k.

（1）當(dāng)直線PA平分線段MN，求k的值；

（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)P到直線AB的距離d；

（3）對(duì)任意k>0，求證：PA⊥PB.

分析：第（3）問(wèn)的常規(guī)思路是，直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到點(diǎn)P，B，A的坐標(biāo)，從而求出斜率，證明結(jié)論. 但求出的點(diǎn)的坐標(biāo)非常復(fù)雜，再求斜率運(yùn)算難度較大. 換種思路，設(shè)出點(diǎn)P，B的坐標(biāo)，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)和直線PA，PB的斜率，利用P，B在橢圓上，使用“點(diǎn)差法”后，整體代換，不需要求出點(diǎn)P，B的坐標(biāo). 該題應(yīng)用了點(diǎn)差法，但與中點(diǎn)并沒(méi)有任何關(guān)系. 這就要求對(duì)“點(diǎn)差法”的“整體代換，設(shè)而不求”的方法有更深層次的理解，從“術(shù)”升華為“法”的境界.

解答：（1）k=. （2）d=（過(guò)程略）. （3）設(shè)P（x1，y1），B（x2，y2），則x1>0，x2>0，x1≠x2，A（-x1，-y1），C（x1，0）. 因?yàn)镃在直線AB上，所以kAB===kPA. 因?yàn)镻，B在橢圓上，所以+=1 ①，+=1 ②.①-②得+=0，變形可得+·=0. 即+kAB·kPB=0，亦即+×kPA·kPB=0. 所以kPA·kPB=-1，所以PA⊥PB.

道：創(chuàng)新應(yīng)用，尋找變量之間的等量關(guān)系

以下是高三一輪復(fù)習(xí)中的一個(gè)教學(xué)片段：

例4 已知橢圓C1：+y2=1和圓C2：x2+y2=1，左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn)分別為A，B，F(xiàn)是橢圓C1的右焦點(diǎn).

（1）點(diǎn)P是曲線C2上位于第二象限的一點(diǎn)，若△APF的面積為+，求證：AP⊥OP；

（2）點(diǎn)M和N分別是橢圓C1和圓C2上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線BN的斜率是直線BM斜率的2倍，證明：直線MN恒過(guò)定點(diǎn).

分析：第（2）問(wèn)，常規(guī)思路為：設(shè)N（x1，y1），M（x2，y2），則直線MN的方程為y-y1=·（x-x1），化簡(jiǎn)得y=x+. 下一步是尋找x1，x2，y1，y2之間的數(shù)量關(guān)系，化簡(jiǎn)MN的直線方程，繼續(xù)運(yùn)用條件：因?yàn)閗BM=，kBN=，kBN=2kBM，所以=2，化簡(jiǎn)得：2x1y2-x2y1+2x1-x2=0. （進(jìn)行到這里，思維“卡殼”）

根據(jù)計(jì)算，并不能得到與x2y1-x1y2有關(guān)的條件從而化簡(jiǎn)MN的方程，需要尋找M，N坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系，但M，N兩點(diǎn)分別在曲線C1，C2上，而B點(diǎn)是溝通曲線C1，C2的一個(gè)橋梁，可以考慮分別尋找B點(diǎn)與M點(diǎn)，B點(diǎn)與N點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而得到M，N橫縱坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系. 因此，可以考慮對(duì)B，M點(diǎn)和B，N點(diǎn)分別使用點(diǎn)差法. “點(diǎn)差法”本質(zhì)是曲線上兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)和差之間的聯(lián)系與整體轉(zhuǎn)化，這是“點(diǎn)差法”中所蘊(yùn)涵的“道”.

解答：（1）略. （2）設(shè)N（x1，y1），M（x2，y2），B（x3，y3）（x3=0，y3=-1），代入橢圓C1的方程，得+y=1 ①，+y=1 ②，①-②得+（y3+y2）（y3-y2）=0，變形后可得kBM==-=-·=-·. 同理代入圓C2的方程變形可得：kBN==-=-. 因?yàn)閗BN=2kBM，所以-=2×-·，化簡(jiǎn)得x2y1-x1y2=x2-x1，則直線MN的方程y=x+可化為y=x+1，恒過(guò)定點(diǎn)（0，1）.

總之，對(duì)于點(diǎn)差法的應(yīng)用，要輕技巧，重本質(zhì)，不僅知道點(diǎn)差“術(shù)”，體會(huì)設(shè)點(diǎn)作差中整體代換的“法”，更要提升境界，領(lǐng)悟變量之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化之“道”.endprint