具有時(shí)變時(shí)滯離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的新準(zhǔn)則

康 衛(wèi)，程向陽(yáng)，鐘守銘

(1.阜陽(yáng)師范學(xué)院信息工程學(xué)院，安徽阜陽(yáng) 236041;2.電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川成都611731;3.阜陽(yáng)師范學(xué)院商學(xué)院，安徽阜陽(yáng) 236041)

1 引言

時(shí)滯經(jīng)常發(fā)生在各種各樣的工程、物理系統(tǒng)中，比如生物系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)等。眾所周知，時(shí)滯的出現(xiàn)往往會(huì)破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，甚至產(chǎn)生震蕩、混沌現(xiàn)象，從而給系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用過程中帶來許多困難。因此，對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究成為當(dāng)前的一個(gè)熱點(diǎn)問題，得到了很多重要的結(jié)果[1-8，15，16]。鑒于此，人們采用很多方法來減少系統(tǒng)的保守性，如自由矩陣的方法[2]，Jensen 不等式方法[6]，Reciprocally Convex 方法[3]，Wirtinger-based 積分不等式方法[4]。

值得注意的是，基于計(jì)算機(jī)計(jì)算技術(shù)的快速發(fā)展，一方面由于離散系統(tǒng)更加適用于計(jì)算實(shí)驗(yàn)、仿真等過程，另一方面因?yàn)殡x散系統(tǒng)穩(wěn)定性和控制與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)有著較大的區(qū)別。所以，近年來對(duì)于離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究得到更多的關(guān)注[9-14]。文獻(xiàn)[11]作者利用自有矩陣技術(shù)給出了離散系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。文獻(xiàn)[14]作者利用Reciprocally Convex方法進(jìn)一步分析了時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)穩(wěn)定性條件。由于在減少系統(tǒng)保守性方面，還有很大的研究空間。因此本文研究離散系統(tǒng)穩(wěn)定性問題，采用時(shí)滯分割方法和新的積分不等式以及Reciprocally Convex 方法，得到了系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)新的充分條件。最后，數(shù)值算例表明了新結(jié)果的可行性和有效性。

2 預(yù)備工作

考慮如下的時(shí)滯離散系統(tǒng):

其中，x(k) 是系統(tǒng)的狀態(tài)變量，A = (aij)n×n，B = (bij)n×n是常數(shù)矩陣; 時(shí)滯τ(k) 滿足τm≤τ(k) ≤τM;且τm，τM為正整數(shù)。

下面的引理和定義對(duì)于本文主要結(jié)論的證明是非常有用。

引理1[1，16]給定常數(shù)矩陣，Ω1，Ω2，Ω3且Ω1若

其中η( k )= x (k +1 )－ x( k )。

證明 事實(shí)上，

因此很容易可以得到

證畢。

引理3[3]對(duì)任意的向量ξ1，ξ2，給定矩陣T，N，參數(shù)α ＞0，β ＞0 且則

定義1[12，13，14]如果，則系統(tǒng)(1)是均方漸進(jìn)穩(wěn)定的。

3 主要結(jié)論

規(guī)定τ0∈ (τm，τM)，τ0m= τ0－τm，τM0= τM－τ0，η( k )= x (k +1 )－ x( k )。

定理1 給定整數(shù)τm，τM，系統(tǒng)(1) 是漸進(jìn)穩(wěn)定的，如果存在矩陣

及任意的矩陣N1，N2，下面線性矩陣不等式成立:

證明 首先定義如下的李雅普諾夫泛函

情形1:當(dāng)變時(shí)滯τ( k) ∈ [τm，τ]0 時(shí)，計(jì)算差分算子可以得到

又因?yàn)?/p>

利用引理2 可得:

當(dāng)τ( k )∈ (τm，τ0)時(shí)，由Jensen 不等式得到:

根據(jù)引理3 可以得到:

其中

τ( k) = τm或τ( k) = τ0，則有α1( k) = 0 或者α2( k) = 0 ，結(jié)論(7)顯然也是成立的。

利用Jensen 不等式，則有

由上面的計(jì)算，很顯然有

根據(jù)定理的條件T1－ X33≥0 和引理1

情形2:當(dāng)變時(shí)滯τ( k )∈ [τ0+1，τM]時(shí)

與情形1 相似的分析方法和處理技巧，可以得到

綜上所述，由(8)和(9)，根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)(1)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。證畢

注2 在處理時(shí)變時(shí)滯τ( k )∈ [τm，τM]，利用時(shí)滯分割的方法，把時(shí)滯區(qū)間 [τm，τM]分割成兩部分 [τm，τ0]和 [τ0，τM]，這樣的好處是可以利用更多的系統(tǒng)參數(shù)信息x (k － τ0)，同時(shí)也能夠減少系統(tǒng)的保守性。

注3 本文引用了Reciprocally Convex 方法和處理用Reciprocally Convex 方法的好處是在計(jì)算的結(jié)果中我們?cè)诰仃嚨闹鲗?duì)角線上引入了自由矩陣N1，N2，很明顯這樣可以有效地減少系統(tǒng)的保守性。

4 數(shù)值實(shí)例

例1 設(shè)系統(tǒng)(1)的參數(shù)如下

當(dāng)τm=2 時(shí)，文獻(xiàn)[11，12，13，14]中τM的最大上界分別是7，8，9，9 ，而根據(jù)定理1，可以得到τM的最大上界為11 。因此很明顯的看到本文提出的新方法得到了更低保守性的結(jié)果相比于文獻(xiàn)[11，12，13，14]。表1 進(jìn)一步的展示了當(dāng)τm取不同值得時(shí)候τM的最大上界，通過表1 更能直觀的看到本文定理1 的結(jié)果比文獻(xiàn)[11，12，13，14]的結(jié)果好，保守性更弱。

表1 τm 取不同的值τM 的最大上界

例2 設(shè)系統(tǒng)(1)的參數(shù)如下

當(dāng)τm=2 時(shí)，文獻(xiàn)[11，12，13，14]中τM的最大上界分別是13，14，17，17 ，而根據(jù)定理1，可以得到τM的最大上界為18 。因此很明顯的看到本文提出的新方法得到了更低保守性的結(jié)果相比于文獻(xiàn)[11，12，13，14]。表2 進(jìn)一步的展現(xiàn)了當(dāng)τm取不同值得時(shí)候τM的最大上界，通過表2 更能直觀的看到本文定理1 的結(jié)果比文獻(xiàn)[11，12，13，14]的結(jié)果好，保守性更弱。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用新的積分不等式、時(shí)滯分割方法及Reciprocally Convex 方法，研究了一類具有時(shí)變時(shí)滯離散系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性問題，得到了一個(gè)新的充分條件。新判據(jù)較以往文獻(xiàn)有更廣的應(yīng)用范圍，因此可以將本文的方法推廣到具有離散神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究，可以得到其魯棒穩(wěn)定的新的判定條件。

表2 τm 取不同的值τM 的最大上界

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